последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.
Вот это утверждение нужно четко сформулировать и доказать.
Слово 'превращается' математического смысла не имеет
Полностью с этим согласен, поэтому выделю отдельно теорему по ПСВ и отдельно теорему по простым числам, где будет описан этот переход. Сначала теорема о ПСВ.
Количественные оценки некоторых кортежей чисел в последовательности ПСВ и простых чиселРассмотрим приведенную систему вычетов по модулю
- ПСВ(m), где
- простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
(1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
(2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
(3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".
средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
(4), где r>k+1.
Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности в ПСВ(m).
Теорема
, где
- число указанных кортежей из k чисел не более действительного x в ПСВ(m).
Доказательство
Рассмотрим
, где
, а m достаточно большое число.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение
:
.
Используем формулу:
, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
.
Потенциируем и получаем:
.
Следовательно,
(5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных кортежей в ПСВ(m):
(6), где
.
Лемма
Пусть
,
и
, то
(6.1) или
(6.2).
Доказательство
Рассмотрим (6.1). Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Так как
,
и производная и числителя и знаменателя существуют, то найдем (6.1) по правилу Лопиталя:
.
На основании
следует, что
.
Следовательно,
(6.1) или
.
На основании указанной леммы предел отношения:
(7).
Следствие
Из формулы (7) и определения асимптотики функций следует:
, (8)
где
, а m достаточно большое число.
При
(8.1).
Поэтому число кортежей в ПСВ(m) от x до m определяется асимптотической формулой:
(8.2).
Продолжение следует.