Теория Относительности. Парадокс близнецов.

[EEater]

yk2ru в сообщении #618927 писал(а):

Наверное потому, что обе системы равноправны. С какой стати выделять одну из двух?

Почему быстрее?

[yk2ru]

EEater в сообщении #618947 писал(а):

Почему быстрее?

Опечатка там. Хотели сказать наверное медленнее.

[Joker_vD]

Filolai в сообщении #618894 писал(а):

Кстати о мировых линиях: в скольких точках могут пересекаться мировые линии наших братьев?

Зависит от того, как они движутся. Если они как родились, так никуда друг от друга не отходили, то мировые линии совпадут. А если с самого рождения одного запустили в космос, да так он там и сгинул, то их мировые линии всего в одной точке пересекутся.

[powerZ]

Munin в сообщении #618701 писал(а):

Поздравляю с успехами! Ну так, опишите вкратце, чего вы в СТО разобрались, а чего не разобрались ещё?

Разобрался как получается коэффициент, вроде как преобразовывать время разобрался, выяснил, что у космонавта часы показывают меньше, сейчас думаю над преобразованием координат, то есть как пересчитать вообще любую точку из одной ИСО в другую. Не совсем понимаю пока, как интерпретировать сокращение длины, подозреваю, что там можно трактовать, что на движущемся стержне один конец может находиться в прошлом, относительно другого.
Пока напишу как я вывел коэффициент $K$.
Итак. В ИСО Земли

Во первых, я ввел сокращение длины движущихся объектов: в начальный момент, координата корабельной станции взята $x_o K$ вместо $x_o$. Этот коэффициент нужно выбрать так, чтобы согласовать расчеты в обеих ИСО (в этом суть проблемы).
Так как часы в обеих ИСО идут одинаково, то время можно пересчитать.
Длина основания красно-зеленого треугольника будет пропорциональна периоду $T$. Обозначим коэффициент пропорциональности $K_3$.
Тогда, по теореме Пифагора, длина красного основания:
$K_3 T = \sqrt{t_4^2+(v_1 t_4)^2}$,
где $t_4$ - время, когда зеленая линия пересекает красную (в ИСО корабля это время соответствует T). $t_4$ нетрудно рассчитать, и тогда получаем, что
$K_3 T = \frac {c^2}{c^2-v_1^2} \sqrt{1+v_1^2} K$,
Вообще этот пересчет с помощью $K_3$, будет верен для любой длины отрезка красной линии, не только для $T$. Так для момента прилета на станцию можно записать:
$K_3 t_{2a}=t_2$,
где $t_2$ - время прилета на станцию в ИСО Земли, а $t_{2a}$ - в ИСО корабля.
Но раз $K_3$ пропорционален $K$, то можно дальше использовать только $K$. Тогда:
(1) $ t_{2a}=(1-\frac {v_1^2}{c^2})\frac {1}{K} t_2 $
Последнее, что нужно сделать в этой ИСО - это рассчитать время прилета на станцию $t_2$:
$t_2=\frac{x_o}{v_1}$,
Кстати, координата $x_o$ связана с $T$ очевидным соотношением (одинаковым для обеих ИСО):
$x_o=c \frac{T}{2}$

Дальше переходим в ИСО корабля:

Время прилета на станцию вычисляется по формуле:
(2) $t_{2a}=\frac{x_o K}{v_1}$

Приравнивая (1) и (2) и подставляя найденное значение $t_2$, получаем соотношение:
$K \frac{x_o}{v_1}=(1-\frac {v_1^2}{c^2})\frac {1}{K} \frac{x_o}{v_1} $
Откуда:
$K=\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}$

[Munin]

powerZ в сообщении #619009 писал(а):

Не совсем понимаю пока, как интерпретировать сокращение длины, подозреваю, что там можно трактовать, что на движущемся стержне один конец может находиться в прошлом, относительно другого.

Да, вы верно сообразили! :-)

[yk2ru]

powerZ в сообщении #619009 писал(а):

Разобрался как получается коэффициент, вроде как преобразовывать время разобрался

Если разобрались, то попробуйте получить формулу замедления времени по мотивам вывода этой формулы в википедии. Писал об этом тут - post618713.html#p618713 . Расположите приёмник света на оси $X$ справа, потом слева. Попробуйте получить в обоих случаях результат. Потом попробуйте рассмотреть общий случай - приёмник расположен в любом месте, но на определённом расстоянии от начала координат.

[Munin]

yk2ru
Задачка среднего уровня, а вы её даёте начинающему.

[powerZ]

yk2ru в сообщении #619344 писал(а):

powerZ в сообщении #619009 писал(а):

Разобрался как получается коэффициент, вроде как преобразовывать время разобрался

Если разобрались, то попробуйте получить формулу замедления времени по мотивам вывода этой формулы в википедии. Писал об этом тут - post618713.html#p618713 . Расположите приёмник света на оси $X$ справа, потом слева. Попробуйте получить в обоих случаях результат. Потом попробуйте рассмотреть общий случай - приёмник расположен в любом месте, но на определённом расстоянии от начала координат.

Не знаю, что там в википедии, но я и сам догадался проверить вариант, когда часы запускают свет не вперед, а назад. Результат получился такой же. Можно наверное придумать много вариантов, как работают часы, допустим одини часы будут пускать свет назад, а другие вперед, или вообще в перпендикулярном направлении, но я думаю, что не в часах дело. Время у космонавта замедляется не из-за каких-то нюансов с часами. Они замедляются потому, что он летит к точке НЕПОДВИЖНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ. Поэтому наоборот рассуждения не работают. Земля же не летит к точке, неподвижной относительно космонавта. Поэтому никакой зеркальности, о которой тут много рассуждают, на самом деле нет, это ИМХО миф какой-то, в расчетах этого нет.

-- Вс сен 16, 2012 19:44:28 --

Munin в сообщении #619353 писал(а):

yk2ru
Задачка среднего уровня, а вы её даёте начинающему.

Почему, сейчас вот закончу с преобразованием координат, а потом рассмотрю случай когда начала отсчетов не совпадают. Теперь я уже более менее понимаю, как все считается.

(Оффтоп)

Я же всё-таки московский студент инженер, а не шариков

upd: преобразования координат вывел: все как Угвей предсказал... в Википедии написано... Ну в общем, СТО-шные формулы получились

[Munin]

(Оффтоп)

Угвэй велик! :-)

[casualvisitor]

powerZ в сообщении #619546 писал(а):

Время у космонавта замедляется не из-за каких-то нюансов с часами. Они замедляются потому, что он летит к точке НЕПОДВИЖНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ. Поэтому наоборот рассуждения не работают. Земля же не летит к точке, неподвижной относительно космонавта. Поэтому никакой зеркальности, о которой тут много рассуждают, на самом деле нет, ...

Не то чтобы никакой ... все-таки часы каждого из братьев замедляют ход относительно ИСО другого брата. Но полной симметрии действительно нет - старт брата-путешественника и достижение им самой дальней (от дома) точки полета имеют одинаковые пространственные координаты в ИСО этого брата, но не в ИСО брата-домоседа. Т.е. симметрии между братьями нет, даже если мы ограничиваемся расмотрением "половинки" "парадокса близнецов". А тот факт, что брат-путешественник в точке разворота переходит в другую ИСО, только "добавляет асимметрии".

[yk2ru]

casualvisitor в сообщении #619680 писал(а):

старт брата-путешественника и достижение им самой дальней (от дома) точки полета имеют одинаковые пространственные координаты в ИСО этого брата, но не в ИСО брата-домоседа. Т.е. симметрии между братьями нет

Неужели, а наоборот сказать не получится? Это вы про что - "одинаковые пространственные координаты в ИСО этого брата"? Старт и финиш (их координаты) разве совпадают для пути от земли до дальней точки?

[powerZ]

casualvisitor в сообщении #619680 писал(а):

Не то чтобы никакой ... все-таки часы каждого из братьев замедляют ход относительно ИСО другого брата. Но полной симметрии действительно нет - старт брата-путешественника и достижение им самой дальней (от дома) точки полета имеют одинаковые пространственные координаты в ИСО этого брата, но не в ИСО брата-домоседа.

Симметрия в том, что пространственно-временные координаты пересчитываются по одним и тем же формулам. А различие во времени получается из-за того, что в ИСО земли, когда корабль достигает станции, расстояние до Земли равно $x_o$, а в ИСО корабля, при том же событии, расстояние до Земли равно $x_o K$, то есть в ИСО корабля пройденный путь оказывается меньше, чем в ИСО Земли (при той же скорости).

[Алия87]

Симметрии в этой ситуации нет. Для брата-путешественника(корабль) время между конкретными событиями А и В – собственное. Для брата-домоседа(Земля) время для этих же событий А и В – координатное. Это принципиальное и важное отличие.

[casualvisitor]

yk2ru в сообщении #619866 писал(а):

casualvisitor в сообщении #619680 писал(а):

старт брата-путешественника и достижение им самой дальней (от дома) точки полета имеют одинаковые пространственные координаты в ИСО этого брата, но не в ИСО брата-домоседа. Т.е. симметрии между братьями нет

Неужели, а наоборот сказать не получится? Это вы про что - "одинаковые пространственные координаты в ИСО этого брата"? Старт и финиш (их координаты) разве совпадают для пути от земли до дальней точки?

Я про то, что ИСО - это не только множество синхронизированных часов, но и система пространственных координат. Начало пространственных координат ИСО домоседа привязано к его дому. Начало пространственных координат ИСО путешественника привязано к его кораблю. Событие «Старт» имеет пространственную координату 0 в обеих ИСО. Событие «Финиш» (если финишем считать достижение точки поворота путешественника на обратный курс) имеет разные пространственные координаты в этих ИСО. В чем и состоит асимметрия рассматриваемого СЦЕНАРИЯ.

Все ИСО совершенно равноправны. Но СЦЕНАРИЙ «парадокса» заставляет нас рассматривать пару событий, относительно которых две конкретные ИСО не симметричны. Равноправие этих ИСО проявляется в том, что наряду с данным сценарием можно рассмотреть и другой сценарий, симметричный первому. В первом («нашем») сценарии по прошествии, скажем, 7 лет по часам одной ИСО (ИСО брата-путешественника) после события «Старт» происходит событие «Финиш», имеющее ту же пространственную координату (в этой ИСО), что и событие «Старт». В симметричном сценарии по прошествии 7 лет по часам другой ИСО после события «Старт» в точке, имеющей в этой ИСО ту же координату, что и событие «Старт», произошло бы событие «Финиш №2» ( другое событие нежели событие «Финиш»). ... Попробуйте нарисовать ПВ-диаграмму.

(Оффтоп)

... Или попросите Алия87 ...

-- 16.09.2012, 19:32 --

casualvisitor в сообщении #614586 писал(а):

В ту разницу в возрасте, которую обнаружат близнецы после возвращения путешественника, вносит вклад не только замедление времени, но и другой релятивистский эффект - относительность одновременности. Подробности я объяснять пока (или совсем) не буду.

Сейчас я попробую эти «подробности» объяснить. При этом я буду считать, что читатель понимает, что при построении всякой ИСО в каждой точке пространства размещаются часы, которые затем синхронизируются между собой (см. post614097.html#p614097). Когда мы рассматриваем две ИСО, мы имеем в каждой точке пространства двое часов. Если одна из этих ИСО неподвижна, то в фиксированной в этой ИСО точке пространства (в точке, имеющей постоянную координату в этой ИСО) имеются одни неподвижные часы. Если вторая ИСО движется относительно первой, то через эту (и через каждую) точку пространства все время «пролетают» какие-то часы движущейся ИСО. Сравнивая показания часов неподвижной ИСО (все время одних и тех же) и часов движущиейся ИСО, находящихся в данный момент в той же точке (и все время сменяемых новыми часами, принадлежащими все той же движущейся ИСО), мы обнаружили эффект, называемый замедлением времени (см. post614612.html#p614612). Замечу, что для сравнения хода двух часов, находящихся в одной точке пространства, нет необходимости посылать какие-либо сигналы на расстояние, что значительно упрощает анализ.

Сравним наблюдения каждого из двух близнецов над часами, находящимися в той точке пространства, в которой находится данный близнец. Ускорениям и замедлниями по-прежнему пренебрегаем. Считаем, что брат-путешественник с первого же момента своего путешествия находится в движущейся ИСО, а в момент разворота на обратный курс он «пересживается» в другую ИСО, которая и «довозит» его домой к брату-домоседу. В каждом направлении брат-путешественник движется 7 лет (по своим часам) со скоростью 0,96 скорости света (цифры взяты мной такими же, как в упражнении 27 первой главы книги Тейлора и Уилера, поэтому весь мой пост иллюстрируется Рис. 71 из этой книги).


Брат-путешественник узнает о показаниях часов ИСО брата-домоседа, глядя на «пролетающие» мимо иллюминатора его корабля часы этой ИСО. Мы уже знаем, что он наблюдает замедленный ход своих часов относительно часов в «мультфильме», идущем в иллюминаторе. «Мультфильм», который этот брат видит, состоит из двух «серий»:
• в течение первых семи (по часам путешественника) лет путешествия этот «мультфильм» показывает как в ИСО брата-домоседа проходят 25 лет;
• в момент разворота брата-путешественника на обратный курс направление «полета» часов ИСО домоседа за иллюминатором корабля брата-путешественника изменяется на противоположное;
• в течение остальных семи (по часам путешественника) лет путешествия «мультфильм» за иллюминатором показывает как в ИСО брата-домоседа проходят еще 25 лет.

Брат-домосед узнает о показаниях часов ИСО брата-путешественника, глядя на «пролетающие» мимо окошка его дома часы этой ИСО. Мы уже знаем, что он наблюдает замедленный ход своих часов относительно часов в «мультфильме», идущем в этом окошке. «Мультфильм», который этот брат видит, тоже состоит из двух серий, но демонстрируемых с перерывом(!):

• в течение первых 1,96 (по часам домоседа) года разлуки с братом этот «мультфильм» показывает как в ИСО брата-путешественника проходят 7 лет.
• По прошествии 1,96 года часы той ИСО, в которой находился брат-путешественник, удаляясь от домоседа, продолжают «лететь» мимо окошка домоседа, но их показания уже не представляют никакого интереса, так как брат-путешественник более не находится в этой ИСО (в его борт-журнале нет и не будет записей о показаниях часов этой ИСО, превышающих 7 лет).
• Аналогично, поначалу не представляют интереса показания часов той ИСО, в которую «пересел» брат-путешественник, развернувшись на обратный курс.
• Таким образом, в течение некоторого времени (а именно, в течение 46,08 лет) за окошком брата-домоседа не демонстрируется никакого «мультфильма» никакой ИСО, относящейся к брату-путешественнику. Этот «перерыв» между «сериями мультика» - причина того, что брат-домосед окажется при встрече старше, несмотря на то, что он старится медленнее во время демонстрации как первой, так и второй «серий» наблюдаемого им «мультика».
• Но за 1,96 года до встречи, окно брата-домоседа начинает демонстрировать те показания часов (второй) ИСО брата-путешественника, записи о которых после встречи братьев будут обнаружены в борт-журнале брата-космонавта. Эта «серия мультфильма» окончится в момент встречи братьев (этот момент отстоит от момента старта на 50 лет по часам брата-домоседа). Сравнивая показания своих часов, братья увидят, что они постарели по-разному. Сравнивая записи в своих дневниках, они поймут откуда взялась эта разница.

[powerZ]

Мне вот в проблеме возврата близнеца на Землю не понятен перескок из одной ИСО в другую. Если при этом в момент перехода космонавт "сбросит" часы, то результат замедления времени вроде бы совпадает с предсказанием СТО (показания на часах космонавта будут меньше в $K$ раз). Туда слетал за время $K T$ и обратно за столько же. А на Земле прошло время $2 T$. Но если он сброса часов делать не станет, то у него "натикает" даже меньше! Вот картинка для частного случая, когда скорость $v_1=c/2$, я аналитически ещё не вывел насколько меньше, но численно - получилось меньше. Но почему? Ведь ИСО Земли вроде неподвижна, во время маневра возвращения, и считать в ней вроде как корректно.

Во-вторых не понятна ситуация со станцией, которая связана с кораблем. В момент старта с земли, она как-бы находится в прошлом, а нулевой момент времени соответствует точке (1). Но в момент разворота корабля, станция всё еще будет находиться в прошлом. Как она развернется в этот момент вместе с кораблем? Она должна будет развернуться в точке (2), но как же быть тогда с лоренцевым сокращением расстояния для неё? Да ещё ей нужно будет перескочить в приближающуюся к Земле сопутсвующую ИСО, в которой станция будет уже не в прошлом, а в будущем, по отношению к кораблю (а её настоящее - это точка (3)). Как быть со станцией? Она что, должна совершать какие-то скачки во времени и пространсве? Пока у меня складывается впечатление, что рассуждать о возвращении в рамках СТО просто некорректно.