Я так понял, что

- аффинные координаты. А что такое по определению аффинное преобразование?
Например, то, которое корректно определено на векторах и индуцирует линейное преобразование соответствующего векторного пространства. То есть, нужно научиться от аффинного пространства переходить обратно к векторному (фиксировать начало координат) и сказать, что аффинное преобразование должно переноситься на это векторное.
Цитата:
Не понял. Зачем

превращать в аффинное пространство? Чтобы определить множество бесконечно удаленных точек

?
Ну да, если хочется увидеть связь с тем определением, где есть выделенные обычные точки и бесконечно удаленные.
Цитата:
Вот есть 3 аксиомы аффинной геометрии и 4 аксиомы проективной геометрии, в любом случае на них придётся ориентироваться при построении аффинного пространства?
Совершенно не обязательно; можно сказать, что проективное пространство, например, это фактор векторного пространства

над каким-нибудь полем по действию мультипликативной группы, а его преобразования — те, что индуцируются линейными; никакой аксиоматики тут знать не нужно.
Цитата:
Спасибо, именно так Артин эту группу и определяет. Но тогда мне не ясно, какой смысл придать этому:

. Ведь множество всех таких преобразований, названных дробно-линейными определили как

. Про фактор не было сказано ни слова

Если перейти к однородным координатам

, это преобразование запишется как преобразование пар

,

, что можно записать (невырожденной) матрицей

; однако, разные матрицы могут задавать одно и то же преобразование однородных координат. Нетрудно понять, что это происходит тогда, когда эти матрицы пропорциональны друг другу. Вот и получаем фактор

по центру.
Можно при этом заметить, что над

условие

можно домножением всех элементов на что-нибудь превратить в

, поэтому это то же самое, что факторизовать

по центру; но это совершенно случайное совпадение; над произвольным полем

уже

не совпадает с

(а над кольцом ни то, ни другое, может не совпадать с

, если группа Пикара нетривиальна).