Что такое окружность?

[xmaister]

Спасибо за пояснение. Значит аффинное пространство $\mathbb{A}$ над $k$ определяется тупо введением аффных координат и заданием прямых. А где бы посмотреть, что проектиное пространство над $k$ как пополнение $\mathbb{A}$ и в том смысле в котром Вы определили выше, эквивалентны. Эквивалентны, как думается, в смысле что всякое утверждение либо доказуемо либо не доказуемо одновременно...

(Оффтоп)

Посоветуйте, пожалуйста, книгу по алгебраической геометрии, желательно по проще. Я недавно посмотрел Хартсхорна, но сейчас я не могу понимать о чем он пишет... Следует ли перед чтением АГ ознакомится с коммутативной алгеброй наа уровне?...

-- 14.09.2012, 18:30 --

BVR, я не понимаю,что такое "модель проективной плоскости". Предоставьте, пожалуйста, определение. Если поььзоваться конструкцией, которую указал apriv то понятно.

[BVR]

Модель - это множество (или несколько множеств) на котором можно построить интерпретацию системы аксиом проективной плоскости (пр-ва), если придать конкретный смысл отношению "инцидентности" (которое и определяется аксиомами).

Цитата:

Если поььзоваться конструкцией, которую указал apriv то понятно.

Он и строит модель на том фактор-пространстве.

[apriv]

xmaister в сообщении #618762 писал(а):

Спасибо за пояснение. Значит аффинное пространство $\mathbb{A}$ над $k$ определяется тупо введением аффных координат и заданием прямых. А где бы посмотреть, что проектиное пространство над $k$ как пополнение $\mathbb{A}$ и в том смысле в котром Вы определили выше, эквивалентны.

Чего уж там, ежели однородные координаты точки $[x_0:\dots:x_n]$ таковы, что $x_n\neq 0$, то можно сделать так, что $x_n=1$ и тогда $(x_0,\dots,x_{n-1})$ — координаты обычной точки в аффинном пространстве; а ежели $x_n=0$, то, стало быть, это бесконечно удаленная точка; все такие образуют проективное пространство на единицу меньшей размерности.

Цитата:

Посоветуйте, пожалуйста, книгу по алгебраической геометрии, желательно по проще. Я недавно посмотрел Хартсхорна, но сейчас я не могу понимать о чем он пишет... Следует ли перед чтением АГ ознакомится с коммутативной алгеброй наа уровне?...

Алгебраическая геометрия — это и есть коммутативная алгебра, по большому счету. Есть хорошая книжка Харриса, есть «Алгебраическая геометрия для всех» Майлза Рида, но там немного. Это если на русском. На нерусском книжек огромное количество.

[xmaister]

apriv, Пусть у нас есть аффинное пространство $\mathbb{A}^n$ над телом $k$. И есть группа всех невырожденных линейных преобразваий $\mathrm{GL}_n(k)$. Т.е для каждого $L\in\mathrm{GL}_n(k)$ определим $\varphi:\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n$, такое что для всякого $x\in\mathbb{A}^n$$x\mapsto L(x)$ и прямые в соотвестующие прямые. Тогда такое $\varphi$ назовем аффинным преобразованием $\mathbb{A}^n$. Я правильно Вас понял?

[xmaister]

Пусть $\matnbb{R}$- действительное векторное пространство. Я хочу опрделить $\mathbb{R}P^1$ как фактор по действию мультипликативной группы, получается $(\mathbb{R}\setminus \{0\})/x\sim\lambda x$. 1 точка? Затупил, таким образом вообще какое-то $\mathbb{R}P^0$ получается, такое вообще есть?

[apriv]

xmaister в сообщении #618997 писал(а):

Тогда такое $\varphi$ назовем аффинным преобразованием $\mathbb{A}^n$. Я правильно Вас понял?

Это просто линейное преобразование; аффинное преобразование $V\to V$ выглядит так: $x\mapsto gx+v$ для некоторых $x\in\mathrm{GL}(V)$, $v\in V$.

[xmaister]

Там случайно не $g\in\mathrm{GL}(V)$? Ачто замечательног в таких преобразованиях, кроме того что точки переоят в точи а прямык в прямые?

[apriv]

xmaister в сообщении #619161 писал(а):

Там случайно не $g\in\mathrm{GL}(V)$? Ачто замечательног в таких преобразованиях, кроме того что точки переоят в точи а прямык в прямые?

Действительно, $g\in\mathrm{GL}(V)$. А что еще нужно кроме этого?

[xmaister]

Ну ясно что $\mathrm{Aff}(V)$ образуют группу у которой $\mathrm{Gl}(V)$- подгруппа... Пока что больше ничего и не ясно...

[apriv]

xmaister в сообщении #619194 писал(а):

Ну ясно что $\mathrm{Aff}(V)$ образуют группу у которой $\mathrm{Gl}(V)$- подгруппа... Пока что больше ничего и не ясно...

А что еще надо-то? При желании $\mathrm{Aff}(V)$ можно вложить в $\mathrm{GL}$ от пространства на единицу большей размерности.

[xmaister]

Вот пример: Пусть $V$- $2n-1$- мерное векторное пространство. Рассмотрим множество $v_1, \ldots ,v_{4n-1}$. Докажите, что существует последовательность индексов $1<i_1<\ldots <i_{2n-1}$, такая что $v_1+\ldots v_{2n-1}=0$.

[apriv]

xmaister в сообщении #619317 писал(а):

Вот пример: Пусть $V$- $2n-1$- мерное векторное пространство. Рассмотрим множество $v_1, \ldots ,v_{4n-1}$. Докажите, что существует последовательность индексов $1<i_1<\ldots <i_{2n-1}$, такая что $v_1+\ldots v_{2n-1}=0$.

Это неверно.

[xmaister]

Пусть $V$- $2n-1$- мерное векторное пространство над двух элементным полем. Рассмотрим множество $v_1, \ldots ,v_{4n-1}$. Докажите, что существует последовательность индексов $1\le i_1\le i_2\le\ldots\le i_{2n}\le 4n-1$, такая что $v_{i_1}+v_{i_2}+\ldots +v_{i_{2n}}=0$.

-- 16.09.2012, 20:07 --

Какая тут может быть идея?

[apriv]

xmaister в сообщении #619702 писал(а):

Какая тут может быть идея?

Идея простая: это неверно. Возьмем $n=1$. Пусть $V$ — одномерное векторное пространство над, скажем, $\mathbb Q$. Рассмотрим множество $v_1=v_2=v_3=v$, где $v$ — какой-нибудь ненулевой вектор. Докажите, что сумма двух из них равна 0? Чего?

[xmaister]

Прошу прощения, поле двух элементное

-- 16.09.2012, 20:18 --

Исправил.