Что такое окружность?

[xmaister]

Пусть $\overline{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \{\infty\}$. Как я понял $\overline{\mathbb{C}}$- линейное пространство $\cong\mathbb{C}P^1$. Мне непонятно, что такое окружность в $\mathbb{C}P^1$. Нам говорили, что нужно ввести афинную карту (афинное преобразование?) и как-то хитро там определить там окружность. Ещё сказано, что окружность и прямую вместе с точкой $\infty$ будем называть обобщенной окружностью. Это меня вообще в тупик поставило. Мы же в $\mathbb{C}P^1$, откуда там всё это?

-- 13.09.2012, 01:31 --

А как понимать фразу "модель проективной геометрии"? Как понимается в данном случаем эта "модель". Есть ли у неё определение? Как с ней работать? Для чего это вообще?

[xmaister]

xmaister в сообщении #618076 писал(а):

А как понимать фразу "модель проективной геометрии"?

Кажется начинаю понимать, т.е. у нас есть пара $(X:G)$, где $X$- множество, а $G$- его группа преобразований. Получается, что модель- это множество, а парой называем геометрией в смысле Клейна. Модель проективной прямой это $\mathbb{S}^2$. А геометрия задаётся $(\mathbb{S}^n:G)$, а где брать $G$? Из того, что я написал есть хоть что-то осмысленное?

[Someone]

xmaister в сообщении #618076 писал(а):

Пусть $\overline{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \{\infty\}$. Как я понял $\overline{\mathbb{C}}$- линейное пространство $\cong\mathbb{C}P^1$.

С чего Вы взяли? $\mathbb C$ (множество комплексных чисел) - это действительно линейное пространство. А $\overline{\mathbb{C}}$ - ни в коем случае. Топологически это двумерная сфера. Поищите термин "сфера Римана".

[xmaister]

Мне вообще никак не понятно, что за $\overline{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \{\infty\}$. Про сферу Римана почитал в вики. Изначально у нас есть вещественное векторное пространство $\mathbb{C}$. Оно и топологическое. Потом к $\mathbb{C}$ добавляем элемент $\{\infty\}$, который определяется так, что для всякого $z\in\mathbb{C}$ имеем $\|\infty\|>\|z\|$, который к $\mathbb{C}$ никак не принадлежит. Вопрос, скорее всего, глупый, но почему такой элемент $\infty$ вообще существует? Пусть такой элемент $\infty$ существует и мы его добавили к $\mathbb{C}$. Что за объект мы получили? Ни алгебраической, ни топологической структуры пока что нет. Вот с $\mathbb{C}P^1=(\mathbb{C}^2\setminus\{0\})/(z_1,z_2)\sim (\lambda z_1,\lambda z_2)$ всё ясно. Можно смотреть как на топологическое пространство с фактортопологией.

Someone в сообщении #618116 писал(а):

А $\overline{\mathbb{C}}$ - ни в коем случае.

Не понял, а как же дробно-линейное преобразование? Элементы $\overline{\mathbb{C}}$ надо уметь умножать на действительные числа... Т.е. проективное пространство и веторное пространство над телом $K$ нарпимер- совершенно разные вещи?

[Padawan]

$\overline{\mathbb C}$ топологически -- одноточечная компактификация $\mathbb C$. Алгебраически -- риманова поверхность (сфера Римана).

[olenellus]

Обычно в базу топологии добавляют окрестности бесконечности (те самы, что используются в ТФКП для пределов на бесконечности). Получается топологическое пространство, гомеоморфное $\mathbb{S}^2$

А можно, как, скорее всего, и делалось у Вас на лекции, рассматривать $\mathbb{C}$ как одномерное аффинное пространство над полем $\mathbb{C}$. Дальше вводить однородные координаты и присоединять по общей схеме бесконечно удалённые точки (коих будет всего одна, которую мы и называем $\infty$).

xmaister в сообщении #618188 писал(а):

Т.е. проективное пространство и веторное пространство над телом $K$ нарпимер- совершенно разные вещи?

В общем случае они даже топологически разные.

[xmaister]

olenellus в сообщении #618267 писал(а):

А можно, как, скорее всего, и делалось у Вас на лекции, рассматривать $\mathbb{C}$ как одномерное аффинное пространство над полем $\mathbb{C}$. Дальше вводить однородные координаты и присоединять по общей схеме бесконечно удалённые точки (коих будет всего одна, которую мы и называем $\infty$)

Да, где-то так и делалось. Посмотрел Харстхорна. Там написано, что пусть $A$- афинная плоскость. Для каждой прямой $l$ обозначим через $[l]$- семейство всех параллельных ей прямых и называем это семейство бесконечной точкой. Далее определяют пополнение $A$ как множество $S$, такое что точки $S$- все точки $A$ и все бесконечные точки. Прямые $S$- все прямые $A$ с соответствующими бесконечными точками. И бесконечная прямая- прямая, состоящая из бесконечно удаленных точек. И дальше написано 4 аксиомы проективной плоскости, которым удовлетворяет $S$. Посмотрел Артина- геометрическая алгебра. Он говорит, что если $V$- векторное пространство над полем $K$, то проективное пространство $\overline{V}$ называют семейство всех одномерных подпространств $V$, т.е. $V/x\sim\lambda x$. Не вижу где тут "бесконечно удаленная точка". А ещё видел, что проективная геометрия определяется как пара $(X:G)$, $X$- множество, $G$- группа проективных преобразований $X$. И везде по разному и какой конструкцией пользоваться ? Ещё вводилась группа дробно-линенйых преобразований $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$- это преобразвания вида $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$. Можно ли такую группу определить для произвольного проективного пространства $\overline{\mathbb{V}}$ над полем $K$?

[apriv]

xmaister в сообщении #618481 писал(а):

Он говорит, что если $V$- векторное пространство над полем $K$, то проективное пространство $\overline{V}$ называют семейство всех одномерных подпространств $V$, т.е. $V/x\sim\lambda x$. Не вижу где тут "бесконечно удаленная точка".

Если выбрать какую-нибудь аффинную гиперплоскость $U$ в $V$, то одномерные подпространства, пересекающие $U$, биективно соответствуют точкам $V$, а подпространства, параллельные $V$, дают новые, бесконечно удаленные точки.

Цитата:

А ещё видел, что проективная геометрия определяется как пара $(X:G)$, $X$- множество, $G$- группа проективных преобразований $X$. И везде по разному и какой конструкцией пользоваться ?

Более или менее очевидно, что они все (более или менее) эквивалентны.

Цитата:

Ещё вводилась группа дробно-линенйых преобразований $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$- это преобразвания вида $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$. Можно ли такую группу определить для произвольного проективного пространства $\overline{\mathbb{V}}$ над полем $K$?

Группа автоморфизмов $n$-мерного проективного пространства изоморфна $\mathrm{PGL}_{n+1}$.

[xmaister]

apriv в сообщении #618505 писал(а):

Группа автоморфизмов $n$-мерного проективного пространства изоморфна $\mathrm{PGL}_{n+1}$

А какие морфизмы у проективных пространств? Это определение группы $\mathrm{PGL}_{n+1}$? А $\mathrm{PSL}_{n+1}$ тогда что такое? Я забыл добавить в предыдущем сообщении, что $ad-bc\ne 0$

[apriv]

xmaister в сообщении #618509 писал(а):

А какие морфизмы у проективных пространств?

Преобразования точек в точек и прямых в прямых, сохраняющие отношение «лежать на». По «основной теореме проективной геометрии» это в точности то, что индуцируется линейными отображениями пространства $V$.

Цитата:

Это определение группы $\mathrm{PGL}_{n+1}$? А $\mathrm{PSL}_{n+1}$ тогда что такое? Я забыл добавить в предыдущем сообщении, что $ad-bc\ne 0$

Можно считать определением, а можно считать, что $\mathrm{PGL}_{n+1}$ — это фактор $\mathrm{GL}_{n+1}$ по центру (это то же самое в силу основной теоремы). Под $\mathrm{PSL}_{n+1}$ иногда понимают фактор $\mathrm{SL}_{n+1}$ по центру, но это вообще не алгебраическая группа (то есть, не пучок, а всего лишь предпучок; функтор, но не представимый).

[xmaister]

Ещё уточнение. Я понимаю, что аффинное пространство над $k$ задаётся следующим образом. Пусть у нас есть тело $k$ и $V$- $n$- мерное векторное пространство над $k$. Таким образом определено аффинное пространство над $k$, точки которого имеют вид $P=(x_1,\ldots x_n),x_i\in k$, а прямые $l=A+tB,t\in k$, $A$ и $B$- точки аффинного пространства. Я так понял, что $x_1,\ldots ,x_n$- аффинные координаты. А что такое по определению аффинное преобразование?

apriv в сообщении #618505 писал(а):

Если выбрать какую-нибудь аффинную гиперплоскость $U$ в $V$, то одномерные подпространства, пересекающие $U$, биективно соответствуют точкам $V$, а подпространства, параллельные $V$, дают новые, бесконечно удаленные точки.

Не понял. Зачем $U$ превращать в аффинное пространство? Чтобы определить множество бесконечно удаленных точек $U$?

-- 14.09.2012, 02:04 --

Вот есть 3 аксиомы аффинной геометрии и 4 аксиомы проективной геометрии, в любом случае на них придётся ориентироваться при построении аффинного пространства? А есть ещё какая-то Эрлангенская программа Клейна в которой есть только пара $(X:G)$. Для проективной геометрии какое множество $X$ берётся? Сколько вообще таких подходов для определения геометрии? Аксиоматический и Эрлангенская программа или ещё есть какие-то?

-- 14.09.2012, 02:20 --

apriv в сообщении #618510 писал(а):

Под $\mathrm{PSL}_{n+1}$ иногда понимают фактор $\mathrm{SL}_{n+1}$ по центру

Спасибо, именно так Артин эту группу и определяет. Но тогда мне не ясно, какой смысл придать этому: $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}(a,b,c,d\in\mathbb{C},ad-bc\ne 0)$. Ведь множество всех таких преобразований, названных дробно-линейными определили как $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$. Про фактор не было сказано ни слова

[apriv]

xmaister в сообщении #618518 писал(а):

Я так понял, что $x_1,\ldots ,x_n$- аффинные координаты. А что такое по определению аффинное преобразование?

Например, то, которое корректно определено на векторах и индуцирует линейное преобразование соответствующего векторного пространства. То есть, нужно научиться от аффинного пространства переходить обратно к векторному (фиксировать начало координат) и сказать, что аффинное преобразование должно переноситься на это векторное.

Цитата:

Не понял. Зачем $U$ превращать в аффинное пространство? Чтобы определить множество бесконечно удаленных точек $U$?

Ну да, если хочется увидеть связь с тем определением, где есть выделенные обычные точки и бесконечно удаленные.

Цитата:

Вот есть 3 аксиомы аффинной геометрии и 4 аксиомы проективной геометрии, в любом случае на них придётся ориентироваться при построении аффинного пространства?

Совершенно не обязательно; можно сказать, что проективное пространство, например, это фактор векторного пространства $V\setminus\{0\}$ над каким-нибудь полем по действию мультипликативной группы, а его преобразования — те, что индуцируются линейными; никакой аксиоматики тут знать не нужно.

Цитата:

Спасибо, именно так Артин эту группу и определяет. Но тогда мне не ясно, какой смысл придать этому: $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}(a,b,c,d\in\mathbb{C},ad-bc\ne 0)$. Ведь множество всех таких преобразований, названных дробно-линейными определили как $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$. Про фактор не было сказано ни слова

Если перейти к однородным координатам $z=x/y$, это преобразование запишется как преобразование пар $x\mapsto ax+by$, $y\mapsto cx+dy$, что можно записать (невырожденной) матрицей $2\times 2$; однако, разные матрицы могут задавать одно и то же преобразование однородных координат. Нетрудно понять, что это происходит тогда, когда эти матрицы пропорциональны друг другу. Вот и получаем фактор $\mathrm{GL}_2$ по центру.

Можно при этом заметить, что над $\mathbb C$ условие $ad-bc\neq 0$ можно домножением всех элементов на что-нибудь превратить в $ad-bc=1$, поэтому это то же самое, что факторизовать $\mathrm{SL}_2$ по центру; но это совершенно случайное совпадение; над произвольным полем $K$ уже $\mathrm{SL}_n(K)/Cent(\mathrm{SL}_n(K))$ не совпадает с $\mathrm{GL}_n(K)/Cent(\mathrm{GL}_n(K))$ (а над кольцом ни то, ни другое, может не совпадать с $\mathrm{PGL}_n(K)$, если группа Пикара нетривиальна).

[xmaister]

apriv в сообщении #618583 писал(а):

Совершенно не обязательно; можно сказать, что проективное пространство, например, это фактор векторного пространства $V\setminus\{0\}$ над каким-нибудь полем по действию мультипликативной группы

Т.е. в этом случае задан гомоморфизм $\varphi: k^{\times}\to\mathrm{End}(V)$? Это смахивает на представление $k^{\times}$ в $V$. Отношение эквивалентности определяем, как $x_1\sim x_2\Leftrightarrow\exists g_1\exists g_2 :g_1x_1=g_2x_2$. Тогда фактор множество $V\setminus \{0\}/\sim$. Пока что множество точек и множество прямых не определено же и мы не можем говорить, что задано аффинное пространство... Или это аффинное пространство по определению? Если так, то тогда и получается, что мы определили пару $(X:G)$.

(Оффтоп)

В какой книге можно прочитать про такой подход к определнию аффинного пространства? У Артина всё опирается, как я понял, на аксиоматику.

apriv в сообщении #618583 писал(а):

а его преобразования — те, что индуцируются линейными

Не понимаю, что значит элементы группы $G\subset \mathrm{Bij}((V\setminus \{0\})/\sim)$ индуцируются линейными?

[apriv]

xmaister в сообщении #618616 писал(а):

В какой книге можно прочитать про такой подход к определнию аффинного пространства? У Артина всё опирается, как я понял, на аксиоматику.

Проективного, а не аффинного. Это написано в любой книге по алгебраической геометрии.

Цитата:

Не понимаю, что значит элементы группы $G\subset \mathrm{Bij}((V\setminus \{0\})/\sim)$ индуцируются линейными?

Пусть $f\colon V\to V$ — линейное отображение, тогда $f(0)=0$, поэтому можно ограничить его и рассматривать $f_1\colon (V\setminus\{0\})\to (V\setminus\{0\})$. На $V\setminus\{0\}$ задано отношение эквивалентности, как Вы выше заметили: $v_1\sim v_2$, если $v_1=\lambda v_2$ для некоторого $\lambda\in k^*$. При этом из $v_1\sim v_2$ следует $f_1(v_1)\sim f_1(v_2)$, поэтому $f_1$ пропускается через каноническую проекцию на фактор-множество, поэтому получается отображение $\tilde{f}$ из $V\setminus\{0\}$ в себя. Нетрудно видеть, что $\tilde{f}$ биективно тогда и только тогда, когда $f$ невырожденно. Вот в этом случае и говорят, что $f$ индуцирует биекцию $\tilde{f}$; такие $\tilde{f}$ называются проективными преобразованиями проективного пространства $(V\setminus\{0\})/\sim$. Точки этого пространства — это образы одномерных линейных подпространств при канонической проекции, прямые — образы двумерных линейных подпространств, и так далее.

[BVR]

xmaister в сообщении #618481 писал(а):

olenellus в сообщении #618267 писал(а):

Он говорит, что если $V$- векторное пространство над полем $K$, то проективное пространство $\overline{V}$ называют семейство всех одномерных подпространств $V$, т.е. $V/x\sim\lambda x$. Не вижу где тут "бесконечно удаленная точка".

А ее и нету. В проективном пространстве все точки равноправны. "бесконечно удаленные" возникают при построении этой структуры на других (более привычных) объектах. они добавляются, чтобы имел место изоморфизм структур.
Например: в качестве модели проективной плоскости можно взять связку прямых в трехмерном аффинном пространстве. Точкой назовем прямую связки, прямой - пучок этой связки (пучок - это множество прямых плоскости, проходящих через одну точку (центр пучка)). Тогда все 4 аксиомы проективной плоскости будут выполнены. Здесь, как видите, нет никакой особой точки, которую захотелось бы назвать бесконечно удаленной.
Если теперь мы возьмем плоскость, не проходящую через центр связки, то она какие-то прямые пресечет, а какие-то нет. Тем, что пересечет поставим в соответствие сами точки пересечения, а тем, что не пересечет поставим в соответствие некие выдуманные точки - "бесконечно-удаленные". Это новые точки можно "увидеть" как точки пересечения параллельных прямых. А без них ничего не получится. Примерно то же и с моделью в комплексных числах...