Длительное наблюдение за нелинейным процессом

[statistonline]

Скажите, кто разбирается (у меня преподаватель не стал особо разбираться), возможна ли такая ситуация:
если мы достаточно долго (в пределе при t $\mapsto$ inf) наблюдаем за неким параметром системы, который, к примеру, гармонически (или схожим образом) зависит от времени, то значит ли это, что большая часть наблюдений будет приходиться на критические точки? Ведь вблизи них скорость изменения параметра замедляется, и система находится в окрестности этих точек большую часть времени? А значит и вероятность наугад выбрать именно эту окрестность - выше.

[Munin]

Я так понимаю, нелинейность тут ни при чём.

Да, маятник больше времени проводит вблизи крайних положений, чем в центре. Если мы будем с равной вероятностью проводить наблюдения в каждый равный интервал $\delta t,$ то на них будет приходиться отрезок параметра $\delta x=\tfrac{dx}{dt}\,\delta t.$ Поскольку у нас процесс, к счастью, периодический, то вероятность обнаружить параметр на данном отрезке за всё время, равна вероятности обнаружить его там, за один период (а для гармонического маятника - даже за полпериода). Функция плотности вероятности будет обратно пропорциональна длине отрезков, на которые приходится равная вероятность: $f(x)\sim\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{-1}.$ Для гармонического маятника получается $(\arcsin x)'=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

[statistonline]

Munin в сообщении #617095 писал(а):

Я так понимаю, нелинейность тут ни при чём.

Как это ни при чем? Как раз нелинейность процесса и позволяет наблюдать чаще процесс вблизи критических точек, нежели вдали от них.
Просто вот о чем я подумал: если мы получаем выборку по наблюдениям за неким процессом, и существует значимое разбиение этих наблюдений на некоторое количество групп (например, с помощью дискриминантного или кластерного анализа), то будет ли это служить подтверждением нелинейности нашего процесса?

[shwedka]

statistonline в сообщении #617296 писал(а):

Munin в сообщении #617095 писал(а):

Я так понимаю, нелинейность тут ни при чём.

Как это ни при чем? Как раз нелинейность процесса и позволяет наблюдать чаще процесс вблизи критических точек, нежели вдали от них.
Просто вот о чем я подумал: если мы получаем выборку по наблюдениям за неким процессом, и существует значимое разбиение этих наблюдений на некоторое количество групп (например, с помощью дискриминантного или кластерного анализа), то будет ли это служить подтверждением нелинейности нашего процесса?

Содержательное обсуждение может начаться после того, как ТС определит, какие процессы он называет нелинейными.

[Munin]

statistonline в сообщении #617296 писал(а):

Как это ни при чем? Как раз нелинейность процесса и позволяет наблюдать чаще процесс вблизи критических точек, нежели вдали от них.

Колебания гармонического маятника - линейный процесс. Он возникает как решение линейного дифференциального уравнения $\ddot{x}+\omega^2 x=0.$ Нелинейным процессом называется (абсолютно общепринято) процесс, возникающий как решение нелинейного уравнения, например, (минимальная нелинейность - кубическая) $\ddot{x}+\omega^2 x+\alpha x^3=0.$

statistonline в сообщении #617296 писал(а):

Просто вот о чем я подумал: если мы получаем выборку по наблюдениям за неким процессом, и существует значимое разбиение этих наблюдений на некоторое количество групп (например, с помощью дискриминантного или кластерного анализа), то будет ли это служить подтверждением нелинейности нашего процесса?

Сначала научитесь тому, что такое нелинейность.

[statistonline]

Munin в сообщении #617481 писал(а):

Сначала научитесь тому, что такое нелинейность

Хорошо, научился. Буду говорить о процессе, в котором интересующая нас величина нелинейно зависит от времени. Моего вопроса выше это не снимает: будет ли такое разбиение служить подтверждением нелинейной зависимости величины от времени?

[Munin]

Да, очевидно.

[statistonline]

А существует ли критерий, по которому оценивается подобным образом нелинейность такой зависимости? Ну, например, по расстоянию между центрами таких разбиений.

[Munin]

Ну подумайте, зависимость вам буквально даёт производную по времени.

[shwedka]

ЕСли процесс линейный в Вашем определении,
то он уходит на бесконечность со временем, и потому все статистические характеристики теряют смысл

[Munin]

shwedka
Или речь идёт об ограниченном интервале времени. Например, поезд Москва-Одесса.

[shwedka]

Или..
ТС употребляет термины без понятия.

[Munin]

Ну а чо поделать.

[spctr]

Munin в сообщении #617481 писал(а):

минимальная нелинейность - кубическая

Вот это место можно поподробнее? Почему именно кубическая? То есть решение уравнения $\dot{x}=kx^2$ будет линейным?

[Munin]

Точно, наверное, минимальная будет всё-таки второй степени. Кубическую часто вводят, когда из каких-то соображений оставляют ту же чётность, что у исходного уравнения.