Геотермия

[anik]

Рассмотрим теперь нецентральный удар двух шаров в системе ц.м.

На рисунке красными линиями обозначены траектории и векторы скоростей (одинаковые по модулю) шаров до взаимодействия. Зелёными линиями, соответственно - после взаимодействия. Буквой $c$ обозначен центр масс системы. Буквами $h$ - прицельное расстояние, буквами $\varphi$ - прицельный угол.
Почему траектории шаров - параллельные линии? Потому, что только в том случае ц.м. будет неподвижен, если суммарный импульс системы равен нулю. Векторы количеств движения шаров должны быть коллинеарны и разнонаправлены, тогда их сумма будет равна нулю, а ц.м. станет неподвижным.
Прицельное расстояние $h$ должно быть меньше диаметра шара, иначе шары пролетят мимо.
Если $h=0$, то удар будет центральным.
Заметим, что одинаковые по диаметру и массе шары, столкнутся в ц.м. системы двух шаров, т.е. точка касания шаров находится как раз в центре масс. Проведём через точку касания (и ц.м.) общую касательную плоскость. Эта плоскость неподвижна, т.к. в ней расположен неподвижный ц.м.
Проведём через общую касательную плоскость общую нормаль. Эта нормаль проходит через ц.м. и центры шаров. Угол $\varphi$ между траекторией шара и общей нормалью назовём прицельным углом.
Теперь, рассмотрим прцесс соударения шаров. Левый шар не может переместиться за неподвижную касательную плоскость и отражается от неё по закону: угол падения равен углу отражения. Почему так происходит?
Разложим вектор количества движения левого шара на направления нормали и касательной к шарам. Нормальная составляющая отражается от неподвижной плоскости, а касательная составляющая вектора количества движения остаётся без изменения. Таким образом мы получаем для левого шара (зелёную) траекторию движения после удара. Аналогично - для правого шара.
Мы видим, что после соударения шары удаляются друг от друга с равными скоростями по параллельным прямым с тем же расстоянием $h$.
Это движение можно, если угодно обратить. Ц.м. остаётся неподвижным, а векторы скоростей (зелёные) мы должны направить в противоположные стороны. Мы видим, что такое обращение ничего в принципе не изменяет.
Вот теперь, к этому движению мы можем геометрически прибавлять произвольный вектор скорости ц.м. в плоскости движения и получать различные разновидности нецентрального удара.
Можно подобрать такой вектор скорости ц.м., что один из шаров станет неподвижным и убедится в том, что траектории скоростей шаров после удара станут перпендикулярны друг другу. Но, это уже завтра, хотя "завтра" у нас уже наступило.

[Someone]

anik в сообщении #616262 писал(а):

Это не контрпример. Во-первых: для задания начальных условий движения недостаточно задать только векторы скоростей.

А там задано всё, что нужно. И положения, и скорости. Мы запускаем быстрый шар в "толпу", некоторое время ждём, снимая происходящее на плёнку, а потом смотрим эту плёнку от конца к началу. Уравнения механики инвариантны относительно обращения времени, поэтому то, что мы видим на экране, вполне может произойти в реальности. А на экране мы видим, что шары какое-то время сталкиваются и разлетаются, и вдруг из этой "толпы" вылетает очень быстрый шар. А все остальные к этому моменту останавливаются.

[anik]

Munin в сообщении #616338 писал(а):

Такая вероятность указывает, что за всё время жизни Вселенной в ней не произойдёт и сотой доли одного такого случая.

Вот спасибо, успокоили...

[anik]

Как будет выглядеть рассмотренное выше нецентральное взаимодействие, когда один из шаров неподвижен? Мы хотим, например, чтобы правый шар стал неподвижен (до взаимодействия), тогда к центру масс нужно добавить скорость $\vec{v}$, равную по модулю и противоположно направленную движению правого шара.

Эту скорость нужно векторно прибавить ко всем скоростям из картинки с неподвижным центром масс. Результат этого векторного сложения представлен на рисунке.
Мы видим, что шары после взаимодействия движутся под прямым углом с равными скоростями.
Скорости получились равными потому, что прицельный угол был 45 градусов (под такими углами удобнее было рисовать в paint прямые). Заметим, что теперь общая касательная плоскость не неподвижна, как раньше, а движется со скоростью $v$.

[Munin]

anik в сообщении #616657 писал(а):

Как будет выглядеть рассмотренное выше нецентральное взаимодействие, когда один из шаров неподвижен?

Рассмотрите, наконец, общий случай, когда удар нецентральный (центральный удар и центральное взаимодействие - разные термины; вы ошибочно называете нецентральный удар нецентральным взаимодействием, хотя взаимодействие там всё равно центральное), и когда начальные скорости обоих шаров произвольные, а не равны нулю или между собой. И вы убедитесь, что в этом случае заявленное вами свойство исчезает.

[anik]

Если руководствоваться принципом: «механическое движение полностью обратимо во времени», как писал venco, то если «обратить» движение по моему последнему рисунку, где движущийся шар ударял по неподвижному, то получится, что в результате взаимодействия двух движущихся по перпендикулярным траекториям шаров, после столкновения один шар остановится, а другой - будет двигаться.
Что-то этот принцип обратимости движения мне никогда раньше в механиках не попадался. Я о нём впервые прочитал на этом форуме. Это довольно универсальный принцип, и он наверняка был бы сформулирован как теорема механики и был бы доказан.
Оставляю за собой право усомниться в этом принципе.
Мне известен другой принцип: принцип эквивалентности ИСО. Физические явления в различных ИСО происходят одинаково. Все ИСО равноправны.
Давайте, обратим движение шаров в последнем рассмотренном примере, т.е. повернём векторы скоростей шаров (после взаимодействия) и «заставим» их сближаться. Нам нужно выяснить, как будет выглядеть в этом случае движение шаров после соударения.
Заметим, что начальные условия движения заданы в движущейся со скоростью $v$ системе отсчёта. Мы можем применить преобразование Галилея для начальных скоростей, чтобы перейти к ИСО, в которой ц.м. системы двух шаров неподвижен. Таким образом мы снова придём к первому рисунку, где шары движутся встречно с прицельным углом 45 градусов.
После взаимодействия траектории шаров (по первому рисунку) повернутся на угол $2\varphi$, т.е. на 90 градусов и шары начнут удаляться друг от друга по параллельным прямым.
Да, но теперь нужно применить обратное преобразование Галилея, чтобы перейти снова в ту же движущуюся со скоростью $v$ систему отсчёта. Мы должны к скоростям шаров после взаимодействия добавить скорость $v$, и мы увидим, что один из шаров остановится, а другой начнет двигаться со скоростью $2v$. Скорость $2v$ больше, чем скорости шаров, которые сближались под прямым углом до взаимодействия.
Таким образом, я оказался неправ. Движение шаров в данном случае действительно обратимо во времени. Я извиняюсь перед всеми участниками форума за своё невежество и упрямство, за то, что отнял время.
Но, тем не менее, я не сдаюсь. Моя физическая интуиция подсказывает мне, что скорости частиц при установлении термодинамического равновесия должны выравниваться. Должно же этому быть какое-то физическое или механическое обоснование. Буду искать!
У меня такое же ощущение как и у ivanhabalin: "Такое ощущение, что главное что то мы не видим, бродим очень близко, но не видим".

[Munin]

anik в сообщении #616879 писал(а):

Что-то этот принцип обратимости движения мне никогда раньше в механиках не попадался.

Это теорема математического анализа, и она на самом деле требует ещё одной оговорки: функция сил должна быть независима от скорости и от времени. Но это условие для сталкивающихся шаров выполнено. Прочитать о нём вы можете, например, в ФЛФ-4 гл. 46. В Ольховском можно заметить, например, что в формуле (3.18) для времени в решении задачи двух тел стоит знак $\pm,$ то есть любое решение имеет другое симметричное ему, но разворачивающееся обратно во времени.

anik в сообщении #616879 писал(а):

Таким образом, я оказался неправ. Движение шаров в данном случае действительно обратимо во времени. Я извиняюсь перед всеми участниками форума за своё невежество и упрямство, за то, что отнял время.

Ну наконец-то.

Вы молодец, что разобрались и извинились, но не молодец, что перед этим отняли у окружающих много сил, и потрепали немало нервов.

anik в сообщении #616879 писал(а):

Но, тем не менее, я не сдаюсь. Моя физическая интуиция подсказывает мне, что скорости частиц при установлении термодинамического равновесия должны выравниваться. Должно же этому быть какое-то физическое или механическое обоснование. Буду искать!

Ищите в науке статистической механике.

anik в сообщении #616879 писал(а):

У меня такое же ощущение как и у ivanhabalin: "Такое ощущение, что главное что то мы не видим, бродим очень близко, но не видим".

Это ощущение дилетантов, пока они просто не читали подходящей теории, которая и рассказывает то "главное", что им хочется.

[anik]

Munin, Вы можете мне порекомендовать какой-нибудь, не слишком навороченный, учебник по статистической механике?

[zask]

anik в сообщении #616879 писал(а):

Но, тем не менее, я не сдаюсь. Моя физическая интуиция подсказывает мне, что скорости частиц при установлении термодинамического равновесия должны выравниваться. Должно же этому быть какое-то физическое или механическое обоснование. Буду искать!

Не скорости должны выравниваться, а энтропия должна возрастать. Смотрите также $H$-теорему Больцмана. Она, вероятно, наиболее соответствует Вашим смутным ощущениям.

Из учебников можете посмотреть К. Хуанга "Статистическая механика", 1966 (по $H$-теореме). Рост энтропии в процессах выравнивания описан во многих книгах: Румер-Рывкин, Квасников, Базаров, по-моему, даже Ландау-Лифшиц.

Классическая книга по статмеханике: Т. Л. Хилл, "Статистическая механика", 1960. Также есть важный материал в Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М.: Мир, 1980.

Много книг этого направления лежит здесь: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/phy ... atphys.htm

[Munin]

anik в сообщении #616971 писал(а):

Munin, Вы можете мне порекомендовать какой-нибудь, не слишком навороченный, учебник по статистической механике?

Вот в разных учебниках по статмеху я не разбираюсь, чтобы выбирать по требованиям. Может быть, zask лучше порекомендует. Мне в своё время очень понравился Киттель "Статистическая термодинамика", но он существенно квантовый, боюсь, вам его и смотреть не стоит. Может быть, стоит обдумать какой-нибудь том из курсов "Общей физики": Матвеев 2 том, Иродов 5 том, Савельев 1 том, Сивухин 2 том, Беркли 5 том (Рейф, "Статистическая физика"), Фейнман 4 том.

[anik]

zask и Munin, всем спасибо. Всё, я и так захватил тему и злоупотребил вниманием. Если захочу продолжить, то открою свою тему в "помогите решить..."