Я думал, что нужно использовать, что

- гомотопически эквивалентно точке
Что-что? Это не так. Диск эквивалентен, но не сфера.
А с группы гомологий сферы можно вычислить, например, так. Сферу можно представить, как склеенные две крышечки (

-мерные диски) и кольцо между ними (тоже

-мерное).
Для конкретики рассмотрим

и две крышечки

,

, гомеоморфные друг другу и диску

, а так же кольцо между ними

.
Заметим, что

, поэтому из аксиомы вырезания заключаем, что:

Далее заметим, что

гомотопно

, поэтому, по аксиоме гомотопической эквивалентности, получаем:

С другой стороны, из аксиомы точности, имеем точную последовательностью генерируемую вложениями:

Так как

для

отсюда и из предыдущего делаем вывод, что

при

.
С другой стороны

при

, поэтому

, при

.
Теперь рассмотрим следствие аксиомы точности для пары

:

Отсюда заключаем, что для всех

и для

:

то есть

Собираем всё вместе и получаем два случая:
Случай

Тут всё просто, так как

гомеоморфна двуточечному множеству с дискретной топологией. Поэтому (по аксиоме аддитивности):

Случай

Имеем:

и

, в том числе

, поэтому имеем точную последовательность (из выше представленных):

Отсюда заключаем, что

Опять учитывая гомотопность

и

, для

также имеем точную последовательность (см. выше):

откуда для

, учитывая

, получаем точную последовательность:

И как следствие:

Из

, используя индукцию, делаем вывод, что для всех

:

Где-то так.