Сингулярная гомология как функтор

[xmaister]

Добрый день. Непонятно определение сингулярной гомологии. Сказано, что сингулярная гомология- ковариантный функтор из категории $\mathcal{T}op$ и их непрерывных отображений. Т.е. каждому топологическому пространству $X$ и натуральному $n\in\mathbb{N}$ соответствует абелева группа $H_n(X)$, а каждому непрерывному $f:X\to Y$ и гомоморфизм $f^*:H_n(x)\to H_n(Y)$. И как из этого определения следует, что $H_n(\mathbb{S}^n)\simeq\mathbb{Z}$?

[FFFF]

Так таких функторов можно ещё понапридумывать. Например, тем же условиям удовлетворяет фундаментальная группа - каждому топологическому пространству мы сопоставляем его фундаментальную группу, а отображению пространств соответствует индуцированный гомоморфизм групп. Мне кажется, нужны ещё уточнения.

[alcoholist]

xmaister в сообщении #615131 писал(а):

И как из этого определения следует, что $H_n(\mathbb{S}^n)\simeq\mathbb{Z}$?

все-таки нужны все (семь) аксиомы теории гомологий

[xmaister]

alcoholist в сообщении #615229 писал(а):

все-таки нужны все (семь) аксиомы теории гомологий

Это какие? Нам в лекции про аксиомы ваще ничего не говорили .

[alcoholist]

xmaister в сообщении #615269 писал(а):

Нам в лекции про аксиомы ваще ничего не говорили

ну так строили же вы гомологии... не просто сказали "функтор"

[xmaister]

alcoholist в сообщении #615302 писал(а):

не просто сказали "функтор"

Нашел, функтор, со свойтсвами $\mathrm{id}_x$ инудцирует $\mathrm{id}_{H_n(X)}$, $(f\circ g)*=f*\cric g*$, точность и т.д.. Это и есть аксиомы?

[alcoholist]

xmaister в сообщении #615318 писал(а):

точность и т.д.

угу... точная последовательность пары, вырезание, размерность

[xmaister]

alcoholist
, тогда вопрос, всякие ли такие гомологии, удволетсворяющие 7ми аксиомам, топологически инварианты? Я знаю, что только симплициальные гомологии инариантны. Почему сингулярные гомологии можно определить для всех пар топологических пространств $(X,Y)$?

[alcoholist]

xmaister в сообщении #615321 писал(а):

симплициальные гомологии инариантны

симплициальные гомологии определены только для симплициальных комплексов и это надо еще доказывать, что у гомеоморфных симплициальных комплексов они совпадают


сингулярные же по определению топологически инвариантны

xmaister в сообщении #615321 писал(а):

всякие ли такие гомологии, удволетсворяющие 7ми аксиомам

они единственны

-- Чт сен 06, 2012 00:00:03 --

xmaister в сообщении #615321 писал(а):

Почему сингулярные гомологии можно определить для всех пар топологических пространств $(X,Y)$

так и определяйте -- в лоб через группы относительных цепей

[xmaister]

Как, исходя из 7ми аксиом, вычислить $H_k(\mathbb{E}^n)$, где $\mathbb{E}^n$- $n$-мерное евклидово пространство?

[alcoholist]

xmaister в сообщении #615334 писал(а):

Как, исходя из 7ми аксиом, вычислить $H_k(\mathbb{E}^n)$, где $\mathbb{E}^n$- $n$-мерное евклидово пространство?

из аксиомы о гомотопической инвариантности следует, что гомологии евклидова пространства такие же как у точки

гомологии точки -- отдельная аксиома (неэкстраординарной) теории гомологий, т.н. аксиома размерности

[olenellus]

xmaister в сообщении #615131 писал(а):

И как из этого определения следует, что $H_n(\mathbb{S}^n)\simeq\mathbb{Z}$?

А здесь потребуется использование аксиом: точности, вырезания, гомотопии (ну и размерности тоже, как для предыдущего случая) — а также индукция.

[olenellus]

Всё же, а почему 7 аксиом?

• аксиома гомотопии
• аксиома вырезания
• аксиома точности (последовательности с гомоморфизмами, индуцированными вложениями)
• аксиома размерности
• аксиома аддитивности

Ну, может, чтобы получить конкретную теорию гомологии, надо фиксировать группу $H_0$ от одноточечного пространства. Что ещё? Сама функториальность теории гомологии?

[xmaister]

Вики говорит, что их 7. Я не пойму, т.е. симплициальные гомологии будут совпадать с сингулярными для симплициальных комплексов?

-- 08.09.2012, 01:18 --

alcoholist в сообщении #615325 писал(а):

они единственны

Почему?

[alcoholist]

xmaister в сообщении #616057 писал(а):

Почему?

доказать можно

olenellus в сообщении #615868 писал(а):

Всё же, а почему 7 аксиом?

аксиома гомотопии
аксиома вырезания
аксиома точности (последовательности с гомоморфизмами, индуцированными вложениями)
аксиома размерности
аксиома аддитивности

Т
1) тождественному отображению пары соответствует тождественный гомоморфизм групп гомологий
2) функториальность
3) Существование граничного отображения
4) точность
5) гомотопическая инвариантность
6) вырезание
7) размерность

конечно, первая формальна

третья -- о том, что СУЩЕСТВУЕТ такое отображение групп гомологий $H_k(X,A)\to H_{k-1}(A)$ -- оно не индуцируется никаким включением! -- которое включается в точную последовательность с гомоморфизмами, индуцированными вложениями

-- Сб сен 08, 2012 19:21:13 --

xmaister в сообщении #616057 писал(а):

т.е. симплициальные гомологии будут совпадать с сингулярными для симплициальных комплексов?

да