Я думал, что нужно использовать, что
![$\mathbb{S}^n$ $\mathbb{S}^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/1/75148ade80d59625e6c693483af883c682.png)
- гомотопически эквивалентно точке
Что-что? Это не так. Диск эквивалентен, но не сфера.
А с группы гомологий сферы можно вычислить, например, так. Сферу можно представить, как склеенные две крышечки (
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерные диски) и кольцо между ними (тоже
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерное).
Для конкретики рассмотрим
![$S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:|x|=1\}$ $S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:|x|=1\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/e/62ee8938e13a3339eca32525e00b337782.png)
и две крышечки
![$D_+^n=\left\{x\in S^n:x_{n+1}>\frac{1}{2}\right\}$ $D_+^n=\left\{x\in S^n:x_{n+1}>\frac{1}{2}\right\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/7/717a10cf95ed4b98932f9e152f1075f282.png)
,
![$D_-^n=\left\{x\in S^n:x_{n+1}<-\frac{1}{2}\right\}$ $D_-^n=\left\{x\in S^n:x_{n+1}<-\frac{1}{2}\right\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/1/07128a84ba3cf8e9ae4abc1ae642da9282.png)
, гомеоморфные друг другу и диску
![$D^n=\left\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<1\right\}$ $D^n=\left\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<1\right\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/a/2ba4a93f8a6c65d5afc02c1a98952ac182.png)
, а так же кольцо между ними
![$M^n=\left\{x\in S^n:|x_{n+1}|\leqslant\frac{1}{2}\right\}$ $M^n=\left\{x\in S^n:|x_{n+1}|\leqslant\frac{1}{2}\right\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/4/5046c30e777e968cc48f7d9c4c4361cc82.png)
.
Заметим, что
![$\overline{D_-^n}\subset\operatorname{Int}(S^n\setminus D_+^n)$ $\overline{D_-^n}\subset\operatorname{Int}(S^n\setminus D_+^n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/9/0a933e8a6ea9b2e5fc5ce8758cba5a0d82.png)
, поэтому из аксиомы вырезания заключаем, что:
![$H_k(S^n,S^n\setminus D_+^n)\simeq H_k(S^n\setminus D_-^n,M^n)$ $H_k(S^n,S^n\setminus D_+^n)\simeq H_k(S^n\setminus D_-^n,M^n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/4/4a465f7d628c81fefad1b590ffbda6b982.png)
Далее заметим, что
![$M^n$ $M^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/6/3364e6b0bd5086849f97ac4545c8ef1782.png)
гомотопно
![$S^{n-1}$ $S^{n-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/9/069ef0040b6160cda699fda8163c5d1882.png)
, поэтому, по аксиоме гомотопической эквивалентности, получаем:
![$\\H_k(S^n,S^n\setminus D_+^n)\simeq H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq \\
\simeq H_k(S^n\setminus D_+^n,S^{n-1})\simeq H_k(S^n\setminus D_-^n,S^{n-1})$ $\\H_k(S^n,S^n\setminus D_+^n)\simeq H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq \\
\simeq H_k(S^n\setminus D_+^n,S^{n-1})\simeq H_k(S^n\setminus D_-^n,S^{n-1})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/a/faabe0f65a1347e7223507d9b847397882.png)
С другой стороны, из аксиомы точности, имеем точную последовательностью генерируемую вложениями:
![$\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(M^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^n\setminus D_-^n,M^n)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(M^n,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}\ldots$ $\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(M^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^n\setminus D_-^n,M^n)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(M^n,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}\ldots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/7/f37c18c0a6f812d42f1c2bbdba73265e82.png)
Так как
![$H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\simeq 0$ $H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\simeq 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/5/a25f6e2ad3ac43d629489cddc0e8601982.png)
для
![$k>0$ $k>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/b/f9bbd08bf846520586581437c960abac82.png)
отсюда и из предыдущего делаем вывод, что
![$H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$ $H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/2/a02acd244dd43c82f4d1eda83d66ad6d82.png)
при
![$k>1$ $k>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/3/8733ac5ecc35ea70e3e236ade3c28a6082.png)
.
С другой стороны
![$H_0(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\simeq \mathbb{Z}$ $H_0(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\simeq \mathbb{Z}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380804597568473202280e4a42e6eb3482.png)
при
![$n>0$ $n>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bb559f8900a66d1587e8044613b98d182.png)
, поэтому
![$H_0(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq\mathbb{Z}$ $H_0(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq\mathbb{Z}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/a/42a010c3a5deba1de7045d1faf1ce1bd82.png)
, при
![$n>0$ $n>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bb559f8900a66d1587e8044613b98d182.png)
.
Теперь рассмотрим следствие аксиомы точности для пары
![$(S^n,S^n\setminus D_-^n)$ $(S^n,S^n\setminus D_-^n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/b/30b4bf9721c7bd785918bbdcb62252dc82.png)
:
![$\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}\ldots$ $\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}\ldots$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/7/8075fe891c0b987ca9bf5ae24d21444d82.png)
Отсюда заключаем, что для всех
![$k>0$ $k>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/b/f9bbd08bf846520586581437c960abac82.png)
и для
![$n>0$ $n>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bb559f8900a66d1587e8044613b98d182.png)
:
![$H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq H_k(S^n,\varnothing)$ $H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq H_k(S^n,\varnothing)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/c/5bc76c2979a269f77b347431b4e62a8082.png)
то есть
![$H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$ $H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/612f2bc895c9d5eaa1b1d432cf69213882.png)
Собираем всё вместе и получаем два случая:
Случай
![$n=0$ $n=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/7/73736f8725b398dd13e17ef7c1d0a94a82.png)
Тут всё просто, так как
![$S^0$ $S^0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/d/f6d56236258d84245467ba9263bef1a482.png)
гомеоморфна двуточечному множеству с дискретной топологией. Поэтому (по аксиоме аддитивности):
![$H_k(S^0,\varnothing)\simeq\begin{cases}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}&k=0\\0&k>0\end{cases}$ $H_k(S^0,\varnothing)\simeq\begin{cases}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}&k=0\\0&k>0\end{cases}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/b/13be92854057e30406387bd1823af56082.png)
Случай
![$n>0$ $n>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bb559f8900a66d1587e8044613b98d182.png)
Имеем:
![$H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$ $H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/612f2bc895c9d5eaa1b1d432cf69213882.png)
и
![$H_0(S^n,\varnothing)\simeq \mathbb{Z}$ $H_0(S^n,\varnothing)\simeq \mathbb{Z}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/8/c787e560d21c4de219d8a1bb94d9d35682.png)
, в том числе
![$H_0(S^1,\varnothing)\simeq\mathbb{Z}$ $H_0(S^1,\varnothing)\simeq\mathbb{Z}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/b/66b441725b0d2e8edc91ecbac173dd9682.png)
, поэтому имеем точную последовательность (из выше представленных):
![$0\rightarrow H_1(S^1,\varnothing)\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 0$ $0\rightarrow H_1(S^1,\varnothing)\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/2/bb29998b1b893d513949e4a723c8cb2582.png)
Отсюда заключаем, что
![$H_1(S^1,\varnothing)\simeq\mathbb{Z}$ $H_1(S^1,\varnothing)\simeq\mathbb{Z}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a20e4bf49006077e1f8df4b8aa55e63482.png)
Опять учитывая гомотопность
![$M^1$ $M^1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/1/89186c527330e11807bb9cea411b9b2c82.png)
и
![$S^0$ $S^0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/d/f6d56236258d84245467ba9263bef1a482.png)
, для
![$S^1$ $S^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/d/6dd9b3fd1c1d48a66a2d49f156a1233882.png)
также имеем точную последовательность (см. выше):
![$\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(S^0,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^1\setminus D_-^1,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^1,\varnothing)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(S^0,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}H_{k-1}(S^1\setminus D_-^1,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(j)}\ldots$ $\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(S^0,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^1\setminus D_-^1,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^1,\varnothing)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(S^0,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}H_{k-1}(S^1\setminus D_-^1,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(j)}\ldots$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/d/64d0480bd6e729bde6b528427ceb871b82.png)
откуда для
![$k>1$ $k>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/3/8733ac5ecc35ea70e3e236ade3c28a6082.png)
, учитывая
![$H_k(S^0,\varnothing)\simeq 0$ $H_k(S^0,\varnothing)\simeq 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/8/75874ae0018f7daf9d7ba49be393b35f82.png)
, получаем точную последовательность:
![$0\rightarrow H_k(S^1,\varnothing)\rightarrow 0$ $0\rightarrow H_k(S^1,\varnothing)\rightarrow 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/4/484b0ccf531d02125bc68de2d920e75c82.png)
И как следствие:
![$H_k(S^1,\varnothing)\simeq\begin{cases} \mathbb{Z} & k=0,1 \\ 0 & k\neq0,1 \end{cases}$ $H_k(S^1,\varnothing)\simeq\begin{cases} \mathbb{Z} & k=0,1 \\ 0 & k\neq0,1 \end{cases}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/7/3972dfffcd8e157f33e94665b9e0397e82.png)
Из
![$H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$ $H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/612f2bc895c9d5eaa1b1d432cf69213882.png)
, используя индукцию, делаем вывод, что для всех
![$n>0$ $n>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bb559f8900a66d1587e8044613b98d182.png)
:
![$H_k(S^n,\varnothing)\simeq\begin{cases} \mathbb{Z} & k=0,n \\ 0 & k\neq0,n \end{cases}$ $H_k(S^n,\varnothing)\simeq\begin{cases} \mathbb{Z} & k=0,n \\ 0 & k\neq0,n \end{cases}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/4/1147625cc4d6f8ce0ae7e99714f1944282.png)
Где-то так.