Сингулярная гомология как функтор

[xmaister]

alcoholist в сообщении #616281 писал(а):

доказать можно

А где посмотреть? Ещё вики сообщает, что у "экстраординарных" теорий гомологий у точек может быть ненулевая гомология, т.е. получается, что эти "экстраординарные" гомологии- не гомологии вовсе.

[alcoholist]

xmaister в сообщении #616414 писал(а):

эти "экстраординарные" гомологии- не гомологии вовсе

ну почему же... главное чтобы работало, а уж как назвать -- дело десятое

xmaister в сообщении #616414 писал(а):

А где посмотреть?

да где угодно, хоть в

Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная геометрия 3. Методы теории гомологий

хоть в

Прасолов В.В., Элементы теории гомологий

вторая книжка более учебная, там все доказательства до конца приведены

[xmaister]

alcoholist, спасибо! Хотелось бы ещё научится доказывать, что $H_k(\mathbb{S}^n)=\mathbb{Z},n=k$ и $H_k(\mathbb{S}^n)=0$ в противном случае. Я думал, что нужно использовать, что $\mathbb{S}^n$- гомотопически эквивалентно точке и как-то прилепить аксиому гомотопической инвариантности...

[olenellus]

xmaister в сообщении #616561 писал(а):

Я думал, что нужно использовать, что $\mathbb{S}^n$- гомотопически эквивалентно точке

Что-что? Это не так. Диск эквивалентен, но не сфера.

А с группы гомологий сферы можно вычислить, например, так. Сферу можно представить, как склеенные две крышечки ($n$-мерные диски) и кольцо между ними (тоже $n$-мерное).
Для конкретики рассмотрим $S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:|x|=1\}$ и две крышечки $D_+^n=\left\{x\in S^n:x_{n+1}>\frac{1}{2}\right\}$, $D_-^n=\left\{x\in S^n:x_{n+1}<-\frac{1}{2}\right\}$, гомеоморфные друг другу и диску $D^n=\left\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<1\right\}$, а так же кольцо между ними $M^n=\left\{x\in S^n:|x_{n+1}|\leqslant\frac{1}{2}\right\}$.

Заметим, что $\overline{D_-^n}\subset\operatorname{Int}(S^n\setminus D_+^n)$, поэтому из аксиомы вырезания заключаем, что:
$H_k(S^n,S^n\setminus D_+^n)\simeq H_k(S^n\setminus D_-^n,M^n)$

Далее заметим, что $M^n$ гомотопно $S^{n-1}$, поэтому, по аксиоме гомотопической эквивалентности, получаем:
$\\H_k(S^n,S^n\setminus D_+^n)\simeq H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq \\ \simeq H_k(S^n\setminus D_+^n,S^{n-1})\simeq H_k(S^n\setminus D_-^n,S^{n-1})$

С другой стороны, из аксиомы точности, имеем точную последовательностью генерируемую вложениями:
$\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(M^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^n\setminus D_-^n,M^n)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(M^n,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}\ldots$
Так как $H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\simeq 0$ для $k>0$ отсюда и из предыдущего делаем вывод, что $H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$ при $k>1$.
С другой стороны $H_0(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\simeq \mathbb{Z}$ при $n>0$, поэтому $H_0(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq\mathbb{Z}$, при $n>0$.

Теперь рассмотрим следствие аксиомы точности для пары $(S^n,S^n\setminus D_-^n)$:
$\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^n,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(S^n\setminus D_-^n,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}\ldots$
Отсюда заключаем, что для всех $k>0$ и для $n>0$:
$H_k(S^n,S^n\setminus D_-^n)\simeq H_k(S^n,\varnothing)$
то есть
$H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$

Собираем всё вместе и получаем два случая:

Случай $n=0$
Тут всё просто, так как $S^0$ гомеоморфна двуточечному множеству с дискретной топологией. Поэтому (по аксиоме аддитивности):
$H_k(S^0,\varnothing)\simeq\begin{cases}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}&k=0\\0&k>0\end{cases}$

Случай $n>0$
Имеем:
$H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$ и $H_0(S^n,\varnothing)\simeq \mathbb{Z}$, в том числе $H_0(S^1,\varnothing)\simeq\mathbb{Z}$, поэтому имеем точную последовательность (из выше представленных):
$0\rightarrow H_1(S^1,\varnothing)\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 0$
Отсюда заключаем, что $H_1(S^1,\varnothing)\simeq\mathbb{Z}$
Опять учитывая гомотопность $M^1$ и $S^0$, для $S^1$ также имеем точную последовательность (см. выше):
$\\\ldots\xrightarrow{\partial_{k+1}}H_k(S^0,\varnothing)\xrightarrow{H_k(i)}H_k(S^1\setminus D_-^1,\varnothing)\xrightarrow{H_k(j)}H_k(S^1,\varnothing)\xrightarrow{\partial_{k}}\\\xrightarrow{\partial_{k}}H_{k-1}(S^0,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(i)}H_{k-1}(S^1\setminus D_-^1,\varnothing)\xrightarrow{H_{k-1}(j)}\ldots$
откуда для $k>1$, учитывая $H_k(S^0,\varnothing)\simeq 0$, получаем точную последовательность:
$0\rightarrow H_k(S^1,\varnothing)\rightarrow 0$
И как следствие:
$H_k(S^1,\varnothing)\simeq\begin{cases} \mathbb{Z} & k=0,1 \\ 0 & k\neq0,1 \end{cases}$

Из $H_k(S^n,\varnothing)\simeq H_{k-1}(S^{n-1},\varnothing)$, используя индукцию, делаем вывод, что для всех $n>0$:
$H_k(S^n,\varnothing)\simeq\begin{cases} \mathbb{Z} & k=0,n \\ 0 & k\neq0,n \end{cases}$

Где-то так.

[xmaister]

olenellus, большое Вам спасибо! На первый взгляд трудное доказательство, пока что не ясна идея...

[olenellus]

Идея — разобраться отдельно с малыми размерностями, потом показать, что $H_k(S^n)\simeq H_{k-1}(S^{n-1})$, и использовать индукцию. Для этого, и для того, чтобы воспользоваться аксиомой вырезания, надо рассматривать "крышечки", относящиеся к гомотопическому классу точки (для таких пространств alcoholist уже вычислил группы гомологий). Оставшееся "кольцо" будет гомотопического класса сферы меньшей размерности (от-туда эта сфера и попадает в написанное выше соотношение).

[alcoholist]

надо использовать что $H_k(X,A)\simeq H_k(X/A)$ в случае, когда $X$ -- диск, а $A$ -- его граничная окружность