ОТО - единая геометризующая теория поля

[pc20b]

Шимпанзе

Цитата:

В таком ракурсе и принцип Маха нерелятивистское понятие и, значит, не имеет смысла. Впрочем с понятием "движение" связан не принцип ,а парадокс Маха, о котором я ранее писал.

В данном решении масса покоя тела $m_0$ порождается вселенной, но находящейся у него "внутри". Она, эта масса, является мерой его инерции при взаимодействии тела с другими телами, но находящимися "вне" его. Нельзя ли это рассматривать как одну из нетривиальных реализаций принципа Маха?

[AlexDem]

pc20b писал(а):

Никто, конечно. Они взаимнодуальны. Тогда придется электрон считать позитроном. И Вы правы - никаких "пыльных" миров : пыль - это лишь промежуточный образ для построения геометрии, затем трансформирующийся во фрактальное (в лучшем случае) множество вложенных горловин. О котором хотел рассказать Шимпанзе.

А что плохого в том, чтобы считать электрон позитроном? Это следует из Вашего же рис.2 - взгляды снизу и сверху гиперповерхности эквивалентны. И пыльные вложенные миры не соответствуют Вашей же позиции "часть = целому", с этой точки зрения мы должны видеть не иные миры, а всегда свой собственный. Это намного интересней

pc20b писал(а):

А, наверно, никто не знает. С бытовой точки зрения, казалось бы, гиперповерхности четной размерности могут быть двусторонними, а нечетной...

А что для нечётной? Ориентируемость вроде связана с тем, что поверхность разбивает пространство (как, например, сфера или плоскость).

В трёхмерности может быть интересней другое (но я пока не разобрался до конца) - там вроде свойства пространства могут проявляться и в малой его области. Например, рассмотрим движение по геодезическим вокруг массивной точки. Этими геодезическими будут и окружности большого, и совсем малого радиуса, и элипсы, и даже прямые из бесконечности в центр сингулярности. В 2D такого не наблюдается - на сфере все геодезические одного радиуса, а пространство - локально евклидово. Или я что-то неправильно понимаю?..

pc20b писал(а):

Что же насчет "из чего состоит", то мысль такая : сами поля, частицы, а в результате - гравитационное поле (а в результате - "ничто", - до этого, пожалуй, продолжать не будем, чтобы не потерять душевного покоя) и формирует "толщину".

Тут у Вас какой-то свой взгляд на пространство... Если есть толщина, то это - дополнительное измерение. А вообще, мне нравится позиция, что пространство - не физический объект и ни из чего не состоит...

[pc20b]

AlexDem

Цитата:

на сфере все геодезические одного радиуса, а пространство - локально евклидово. Или я что-то неправильно понимаю?..

В касательном смысле (первых производных) да, маленький кусок сферы и касающаяся её плоскость в линейном приближении неотличимы. Но в смысле вторых производных, т.е. кривизны, у сферы 2-кривизна $1/R^2$, у плоскости - нет её.

Это во внутренней геометрии. С точки зрения пространства размерности $n+1$ и выше, различий ещё больше. Не так?

Вопрос, поднятый Someone'ом : когда топологические деформации не сказываются на локальных свойствах (гипер)поверхности?

[AlexDem]

pc20b писал(а):

сферы 2-кривизна $1/R^2$, у плоскости - нет её.

Могу предложить рассмореть сферу бесконечного радиуса

pc20b писал(а):

С точки зрения пространства размерности $n + 1$ и выше, различий ещё больше. Не так?

Вот этого как раз я и не знаю. Но вообще, читал, что от размерности характер топологических свойств очень сильно зависит - см. Классификация многообразий.

pc20b писал(а):

Вопрос, поднятый Someone'ом : когда топологические деформации не сказываются на локальных свойствах (гипер)поверхности?

Это мы уже "проходили" - вот чем цилиндр внутренне отличается от плоскости? Мы можем любой евклидов чертёж свернуть в трубочку, ничего не изменится.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

Здорово. Я прошу Вас привести решение, отличное от того, единственность которого утверждается теоремой Биркгофа. Вы берёте решение Рейсснера - Нордстрёма, делаете в нём замену переменной, и говорите: вот!

Это преобразование относится к недопустимым : якобиан его нулится при $r=2r_f, \tilde r=0$, т.е. оно не принадлежит изометрическому множеству решения Рейсснера-Нордстрема.

Чушь. Нужно всегда помнить, что пространство-время - это геометрический объект, не зависящий ни от каких координат вообще. Координаты мы можем вводить как угодно. Более того, часто мы не можем охватить весь этот объект одной системой координат. Поэтому вводятся понятия карты и атласа (совокупности карт, определённым образом согласованных). Выбор неудачной системы координат (с обнуляющимся якобианом) создаёт не новое решение, а проблемы при расчётах. Поэтому то, что Вы мне представляете как "новое решение", есть просто часть пространства-времени Рейснера - Нордстрёма, в которой выбрана неудачная (вырождающаяся на некоторой поверхности) система координат.

pc20b писал(а):

Удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, имеет горловину при $\tilde r=0$, через которую гладко склеивается с внутренним решением для нестационарной пульсирующей во времени от состояния максимального сжатия до максимального расширения пыли и электрического поля, имеющим как раз ту же статическую горловину того же радиуса кривизны, что и "слегка отогнутый" внешний мир Рейсснера-Нордстрема, для которого это внутреннее решение и является истинным "материальным" протяженным несингулярным источником. Он заменяет сингулярный источник - точечный заряд $e$ массы $m_0$ решения Рейсснера-Нордстрема, неизбежно появляющийся при решении в пустоте уравнений

$$R_{\mu\nu}=0$$

.

Сильно подозреваю, что склеиваете Вы неправильно. В вырожденной системе координат условия склейки тоже вырождаются и не обеспечивают корректной склейки. Корректная склейка будет корректной в любой (невырожденной) системе координат. Если Вы склеиваете в вырожденной системе координат и не можете потом вернуться в невырожденную систему ("склейка невозможна", как Вы говорите), то это как раз и означает, что Вы склеили неправильно.

Если у Вас внутреннее решение нестатическое, то его, вообще говоря, нельзя склеить со статическим внешним решением так, чтобы поверхность склейки во внешнем решении была фиксированной, поскольку её размеры изменяются со временем. Я Вам об этом уже писал. Поверхность склейки - одна и та же "снаружи" и "изнутри", поэтому "поверхность снаружи" и "поверхность изнутри" должны быть изометричны (это не означает, однако, что координаты "снаружи" и "изнутри" должны быть одни и те же).

pc20b писал(а):

То, что определитель метрического тензора обращается в нуль на горловине, говорит лишь о том, что на ней сферическая система координат не годится. Хотя все геометрические и физические величины на ней конечны.

Это Ваша система координат не годится. А в стандартных координатах Рейсснера - Нордстрёма при $r=2r_f$ (получается при $\tilde r=0$) ничего плохого не происходит, поскольку для электрона $r_f=\frac{e^2}{2m_0c^2}$ на много-много порядков больше, чем радиус горизонта, рассчитанный по его величине заряда и массы.

pc20b писал(а):

Параметр $r_f=e^2/2m_0c^2$ - т.н. классический (электромагнитный) радиус заряженной частицы

pc20b писал(а):

Формальная логика импотентна (А или не А, множество всех множеств, ...).

В данном случае лучше не терять психического равновесия в ситуации : А и не А = И. Например, то, что мир существует, не противоречит тому, что он не существует.
Непрерывное не противоречит тому, что оно одновременно является и дискретным. И т.д.

Конечно "импотентна": трудно "обосновывать" всякую чушь (например, "толщину" поверхности или расширение множества объектов при наложении на них дополнительных требований). Так какой логикой Вы пользуетесь?

pc20b писал(а):

Как расширяет? - через нулящийся якобиан.

Условие сферической симметрии геометрии вместе с уравнениями Эйнштейна в вакууме определяют однопараметрическое (при наличии электромагнитного поля - двухпараметрическое) семейство решений. Никаких дополнительных условий при этом не требуется. Доказательство подробно разобрано в книге Мизнера, Торна, Уилера, на которую Вы ссылаетесь (кстати, обратите внимание: на страницах 44 - 45 подтверждается моё утверждение, что геометрия не определяет электромагнитного поля однозначно, так как в этом решении $\vec E=\frac{Q_e}{r^2}\vec e_{\hat r}$, $\vec H=\frac{Q_m}{r^2}\vec e_{\hat r}$, где $\sqrt{Q_e^2+Q_m^2}=Q$ - полный заряд, фигурирующий в метрике Рейснера - Нордстрёма, который у Вас обозначен буквой $e$).

Добавление дополнительных условий не увеличивает количества решений, так как решения, не входящие в рассматриваемые семейства, не будут сферически симметричными. И никакие "нулящиеся якобианы" этого не отменяют.

pc20b писал(а):

Цитата:

Пусть философы не лезут в решение физических проблем.

В данном случае наоборот - физики вынуждены влезать в философские проблемы устройства мира как такового.

Да, когда у "физика" нет физических и математических аргументов, он начинает придумывать "философские" "обоснования" типа "локальное = глобальному", которые, кстати, к философии тоже никакого отношения не имеют.

pc20b писал(а):

А дело тут не в торе, а том, что, как Вы утверждаете, два пространства с разной топологией локально будут неотличимы. Скажем, помимо одинаковой метрики, будут иметь одинаковую кривизну. Вот когда это возможно и возможно ли, неплохо бы понять.

Возможно. И кривизна будет одинаковая, поскольку она определяется локально, а локально эти пространства-времена изометричны. Можно ведь и ещё более простой пример взять. Например, возьмём "плоскую" модель Фридмана, в которой сечения $t=Const$ - плоское пространство $\mathbb R^3$. Выделим в $\mathbb R^3$ прямоугольный параллелепипед (скажем, $0\leqslant x\leqslant a$, $0\leqslant y\leqslant b$, $0\leqslant z\leqslant c$ и отождествим в нём соответствующие точки противоположных граней. Получится трёхмерный тор $T^3$ с той же римановой метрикой, которая была в $\mathbb R^3$. И при этом из решения Фридмана для $\mathbb R^3$ получается локально изометричное ему решение для $T^3$.

pc20b писал(а):

Цитата:

В учебнике Ландау и Лифшица показано, что в случае сферически симметричного гравитационного поля в вакууме координаты можно выбрать так, что это поле будет совпадать с одним из решений Шварцшильда, которые образуют однопараметрическое семейство.

Можно. Но там нигде не утверждается, что это общее и единственное решение.

Не нравятся Ландау и Лифшиц - смотрите у Мизнера, Торна, Уилера. Там гораздо подробнее, и с разбором всяких особых случаев.

pc20b писал(а):

В Предложении №1 показано

Ничего там не показано. Там у Вас написано:

pc20b писал(а):

Но это не совсем так. Неточность заключается в том, что есть ещё одно неучтённое условие - условие склейки внутреннего и внешнего решений. Склейка должна быть геометрически и физически корректна. Это условие склейки, если ортогонализацию метрики сохранить, использует второе допустимое преобразование координат, и, таким образом, переход к кординатам кривизн становится допустимым только в тех случаях, которые не нарушают условия гладкой склейки.

Это ерунда. Склейка не требует никаких координатных условий и возможна в любой системе координат, не имеющей особенностей. Условия склейки являются не координатными, а геометрическими (Мизнер, Торн, Уилер, том 2, § 21.13). Если система координат имеет особенности на поверхности склейки (а Вы именно такими системами координат и хотите пользоваться), то условия склейки будут вырождаться и склейка может оказаться некорректной.

pc20b писал(а):

... что выбор координат кривизн $R(t,r)=r$ сужает класс решений. Потому что это ограничение на систему отсчета. В частности, они не позволяют гладко сшить вакуумное решение с неточечным источником.

Вы не умеете склеивать.

pc20b писал(а):

Цитата:

Дополнительные условия не могут увеличить количество решений, они могут только выделить из этого семейства какие-то решения; например, условия склейки могут привести к тому, что из всего семейства подходящим окажется только одно решение.

Это лишь в том случае, если данное семейство решений этому условию склейки удовлетворяет.

Семейство в целом - не удовлетворяет. Удовлетворяет только одно решение из этого семейства, а склейка возможна только определённым образом, а не так, как Вам этого хочется.

pc20b писал(а):

Кстати, у Мизнера Торна Уилера при обсуждении теоремы Биркгофа этот момент отмечен, там говорится (т.3, 32.2,с.43), что "в тех событиях, где градиент "функции,связанной с длиной окружности" $r$, обращается в нуль, нельзя ввести шварцшильдовские координаты".

А Вы дальнейший-то текст разбирали? Там объясняется про эти особые случаи.

pc20b писал(а):

В данном решении масса покоя тела порождается вселенной, но находящейся у него "внутри".

Принцип Маха говорит о том, что (инертная) масса тела определяется взаимодействием тела со всем его окружением, а не тем, что у него внутри.

AlexDem писал(а):

В трёхмерности может быть интересней другое (но я пока не разобрался до конца) - там вроде свойства пространства могут проявляться и в малой его области. Например, рассмотрим движение по геодезическим вокруг массивной точки. Этими геодезическими будут и окружности большого, и совсем малого радиуса, и элипсы, и даже прямые из бесконечности в центр сингулярности. В 2D такого не наблюдается - на сфере все геодезические одного радиуса, а пространство - локально евклидово. Или я что-то неправильно понимаю?

Похоже, что неправильно. На трёхмерной сфере $S^3$ все геодезические тоже являются окружностями одного и того же радиуса. А когда в ОТО говорят о том, что частица движется по геодезической, то имеется в виду не геодезическая трёхмерного пространства, а геодезическая пространства-времени. Например, мировая линия Земли в пространстве-времени представляет собой спираль с радиусом в одну астрономическую единицу и шагом в один световой год, "практически неотличимую от прямой" (часть фразы, взятую в кавычки, нужно понимать не в строгом математическом смысле, а в "бытовом", поскольку прямых-то в пространстве-времени нет и сравнивать не с чем; но Вы можете "нарисовать" такую спираль в плоском пространстве и сравнить её с прямой).

[pc20b]

Someone,
то, что Вы пока не понимаете, что в Предложении №1 показана ошибочность (в общем случае) теоремы Биркгофа, и пытаетесь разными "увертками" (не обижайтесь, это так, для рекламы) уйти от рассмотрения теоремы по сути, это понятно, бог с ним - мы обязательно вернемся к этой задаче и подробно рассмотрим, в чем "затык". Мало кто из специалистов, воспитанных на классике, может сходу рассечь это и согласиться. Естественная инерция науки, определяющаяся всеми телами её информационного пространства (принцип Маха в действии).

Сейчас более актуальным в смысле обсуждаемой проблемы связи локального с (глобальным, учитывая, что была высказана свежая (и старая как мир) парадоксальная и нетривиальная мысль об их тождественности :

единичное = всеобщему

(тоже, естественно, вызывающая бурю эмоций), является Ваше (и не только) утверждение :

Цитата:

pc20b писал(а):

А дело тут не в торе, а том, что, как Вы утверждаете, два пространства с разной топологией локально будут неотличимы. Скажем, помимо одинаковой метрики, будут иметь одинаковую кривизну. Вот когда это возможно и возможно ли, неплохо бы понять.

Возможно. И кривизна будет одинаковая, поскольку она определяется локально, а локально эти пространства-времена изометричны. Можно ведь и ещё более простой пример взять. Например, возьмём "плоскую" модель Фридмана, в которой сечения $t=Const$ - плоское пространство $\mathbb R^3$. Выделим в $\mathbb R^3$ прямоугольный параллелепипед (скажем, $0\leqslant x\leqslant a$, $0\leqslant y\leqslant b$, $0\leqslant z\leqslant c$ и отождествим в нём соответствующие точки противоположных граней. Получится трёхмерный тор $T^3$ с той же римановой метрикой, которая была в $\mathbb R^3$. И при этом из решения Фридмана для $\mathbb R^3$ получается локально изометричное ему решение для $T^3$.

Кривизна-то определяется локально (когда пространство уже сформировано), но тензор кривизны в точке определяется "всеми телами во вселенной". Поэтому, если с пространством в целом Вы начинаете поизводить какие-то манипуляции, то это должно ведь в общем, за исключением, возможно, каких-то вырожденных ситуаций ( типа развёртываемых в плоскость поверхностей), отражаться на его кривизне, не так ли?

Ведь обычно рассматриваемое отождествление противоположных граней геометрически, следовательно, физически, означает, что Вы берете пространство за противоположные грани, сгибаете его в тор и склеиваете их. При этом топология (эйлерова характеристика, например) меняется, пространство деформируется, а локально ничего не происходит?

Объясните, пожалуйста, этот парадокс.

[Someone]

pc20b писал(а):

Сейчас более актуальным в смысле обсуждаемой проблемы связи локального с (глобальным, учитывая, что была высказана свежая (и старая как мир) парадоксальная и нетривиальная мысль об их тождественности :

единичное = всеобщему

Ну, охота Вам пустой болтовнёй заниматься - занимайтесь, меня это не интересует.

pc20b писал(а):

(тоже, естественно, вызывающая бурю эмоций), является Ваше (и не только) утверждение :

Никаких эмоций. Ошибки в Ваших публикациях, а не в моих, и подрываете Вы свой авторитет, а не мой.

pc20b писал(а):

Кривизна-то определяется локально (когда пространство уже сформировано), но тензор кривизны в точке определяется "всеми телами во вселенной". Поэтому, если с пространством в целом Вы начинаете поизводить какие-то манипуляции, то это должно ведь в общем, за исключением, возможно, каких-то вырожденных ситуаций ( типа развёртываемых в плоскость поверхностей), отражаться на его кривизне, не так ли?

Нет, не так. И тензор кривизны определяется не "всеми телами во вселенной", и не всякие манипуляции с пространством-временем отражаются на его кривизне. Например, при отождествлении диаметрально противоположных точек на сфере (мой первый пример такого рода) окрестности склеиваемых точек имеют одинаковую геометрию, поскольку просто изометричны. Они полностью накладываются друг на друга без каких-либо деформаций. Поэтому и метрика, и кривизна остаются теми же самыми.

pc20b писал(а):

Ведь обычно рассматриваемое отождествление противоположных граней геометрически, следовательно, физически, означает, что Вы берете пространство за противоположные грани, сгибаете его в тор и склеиваете их. При этом топология (эйлерова характеристика, например) меняется, пространство деформируется, а локально ничего не происходит?

Объясните, пожалуйста, этот парадокс.

Да нет здесь никакого парадокса, это у Вас такие наивно-наглядные представления. Никто не берёт параллелепипед за противоположные грани и не сгибает. Просто противоположные грани считаются тождественными. Выходя из параллелепипеда через какую-нибудь грань, мы тут же входим в него через противоположную. (Про периодические функции слышали? Это очень похоже.) Такой трёхмерный тор $T^3$, какой я описал, можно вложить в виде плоского множества в шестимерное евклидово пространство $\mathbb R^6$:
$x_1=\frac a{2\pi}\cos\varphi_1$, $x_2=\frac a{2\pi}\sin\varphi_1$, $x_3=\frac b{2\pi}\cos\varphi_2$, $x_4=\frac b{2\pi}\sin\varphi_2$, $x_5=\frac c{2\pi}\cos\varphi_3$, $x_6=\frac c{2\pi}\sin\varphi_3$, где $0\leqslant\varphi_1\leqslant 2\pi$, $0\leqslant\varphi_2\leqslant 2\pi$, $0\leqslant\varphi_3\leqslant 2\pi$.

А вообще, если не хотите разбираться со своими ошибками и считаете себя умнее всех - это Ваши проблемы. У меня и своих дел полно.

pc20b писал(а):

Мало кто из специалистов, воспитанных на классике, может сходу рассечь это и согласиться.

[pc20b]

Someone

Давайте рассмотрим задачу исследования внутренней и внешней геометрии электрического заряда и разберёмся с процедурой склейки внутреннего нестационарного пылевидного и внешнего вакуумного статического мира сферически симметричного заряда $e$ с массой покоя $m_0$. Покажем на этом примере, что для этой задачи решения Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн недостаточно, т.е. теорема Биркгофа не работает.

1) Само внутреннее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла было приведено на стр.3 данной темы :

Рассматривается центрально-симметричная ортогональная нестационарная метрика

$$ds^2=e^{\nu} d {\tau}^2-e^{\lambda} d r^2-R^2 (\tau,r)d \sigma^2$$

, $d \sigma^2=d \theta^2+sin^2 \theta d \varphi^2$. Гравитационное поле задается тензором энергии-импульса, смешанные компоненты которого равны

$$diag(\varepsilon_s+\varepsilon_f,\varepsilon_f,-\varepsilon_f,-\varepsilon_f$$

, отвечающим идеальному пылевидному, в общем случае заряженному веществу с плотностью энергии $\varepsilon_s(\tau,r)$ и электромагнитному полю с плотностью энергии $\varepsilon_f(\tau,r)$.

Общее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла зависит от трех произвольных функций от $r$ - интегралов движения. В качестве этих функций можно выбрать электрический заряд $Q(r)$, полную энергию материи $E(r)$ и функцию $f(r)=e^{-\lambda / 2}R'+qQ/R$, $R'=\partial R/ \partial r$, $R$ - радиус кривизны, $q=\rho_f /\varepsilon_s$,$\rho_f$ - плотность заряда.


Если заряд постоянный, $Q=Q_0=const=e$, то пыль нейтральна, т.е. незаряжена, электромагнитное поле в сопутствующей пыли системе отсчета представлено радиальным электрическим полем. При $f^2<1$ (полузакрытый мир) решение выглядит следующим образом :

$$R=\frac {R_g} {2(1-f^2)} (1-\delta cos(\eta))$$

$$\tau-\tau_r=\frac {R_g} {2(1-f^2)^{3/2}} (\eta-\delta sin(\eta))$$

,

где $\delta=\sqrt {1-4R_f(1-f^2)/R_g}$, $\tau_r(r)$ - произвольная функция r, определяемая способом измерения времени, $R_g=\kappa E/4\pi$ - гравитационный радиус, $R_f=Q^2/2E$ - классический (электромагнитный радиус), $\kappa$ - постоянная Эйнштейна.

Это решение при $Q_0=0$ ($\delta=1$) переходит в известное решение Толмана, в отсутствии вещества - в решение Рейсснера-Нордстрема, при $Q_0=0$ и в отсутствии вещества - в решение Шварцшильда.

Это решение периодично по времени. Замечательным его свойством является отсутствие точечной сингулярности типа бесконечной гауссовой кривизны 2-сфер, ортогональных радиальной координате $r$ : т.к. $\delta <1$, то при отличном от нуля гравитационном радиусе $R_g(r)$ (это можно обеспечить всегда) радиус внутренней скалярной кривизны 2-поверхности $r=const, \tau =const$ нигде и никогда не обращается в нуль : $R(\tau,r)\neq 0$.

А т.к. поле $E_r=Q_0/R^2$, то тем самым гравитация, т.е. кривизна пространства-времени, устраняет кулоновскую расходимость поля классического точечного заряда в пространстве-времени Минковского.

Вторым замечательным свойством данного решения является наличие в этом нестационарном мире статической 3-гиперповерхности ($h$) при $r=r_h$ :

$$R=R_h$$

,

$$R _h\dot{ }=0$$

,

где $\dot{ } =\partial t$. Из условия статичности следует

$$\delta _h=0, (1-f_h^2)=R_{gh}^2/4R_c^2$$

.

Откуда, после подстановки этих условий в данное решение, следует, что радиус 2-кривизны этой статической радиальной сферы всегда равен удвоенному классическому радиусу

$$R_h = 2R_{fh}$$

,

т.е. отношению квадрата заряда к полной энергии внутреннего мира на данной сфере, равной, по определению энергии покоя :

$$r=r_h : R_h=e^2/E_h=e^2/m_0c^2$$

.

Это ещё одно замечательное свойство решения : гравитационное поле, т.е. кривое пространство-время, формирует электрический заряд и его электрическое поле на классическом радиусе, на котором традиционно считалось его влияние ничтожно малым из-за того, что при $e>>\sqrt km_0$ $R_{gh}<<R_{fh}$, т.е. потенциальная энергия гравитационного поля намного меньше энергии электромагнитного поля. Из-за этого пространство-время считалось практически плоским, т.е. пространством Минковского.

Как видим, это не так : пространство внутри заряда сугубо неевклидово, внутри него - большой нестационарный мир, топология нетривиальна. А малость гравитационного поля во внешнем мире связана как раз с почти полной замкнутостью внутреннего мира из-за сильного гравитационного "дефекта массы" - уменьшения наблюдаемой полной энергии засчет кривизны пространства-времени внутри.

2) Теперь рассмотрим задачу склейки внутреннего нестационарного мира с внешним вакуумным статическим миром Рейсснера-Нордстрема. Она может быть произведена только через эту статическую гиперповерхность $R=R_h$.

4- кривизна радиальных сфер равна :

$$_0K_r^{(4)}=\frac {1-e^{-\lambda}R'^2+e^{-\nu}R \dot { }^2}{R^2}$$

.

Если рассматривать эволюцию внутреннего мира от состояния максимального расширения, то в 3-пространстве при стремлении $r$ к $r_h$ эта кривизна будет возрастать, достигая максимума на статической сфере. Т.е. эта сфера - горловина - экстремальная неособая поверхность. Таким образом, условие экстремума кривизны на поверхности заряда - горловине - месте его будущей склейки с вакуумным миром, не нарушающее физические условия (причинность, неотрицательность плотностей энергии, ...) при $r=r_h$, где h - горловина, будет таким :

$_0K_r^{(4)}>0$, $_0K_r^{(4)}'=0$.

3) Отсюда следует, что радиус 2-гауссовой кривизны радиальных сфер на горловине также достигает экстремума :

$$R'_h=0$$

.

А уже отсюда, учитывая, что $e^{\lambda _ h}=R'^2/f^2=0$ при $e>\sqrt km_0$, получаем, что на горловине определитель метрического тензора обращается в нуль. Следовательно, на ней сферическая система координат (и, кстати, очевидно, любая другая, кроме систем координат, привязанных к свободно падающим наблюдателям) неизбежно вырождается.

О чем это говорит? Т.к. $\sqrt{-g}$ - это якобиан преобразования от произвольных координат к декартовым, это просто означает, что горловина - принципиально даже локально неевклидовый объект : на ней даже в малой окрестности пространство не плоское. В частности, будут стремиться к нулю все длины вдоль радиальной координаты.

Это - неизбежное и допустимое свойство данной геометрии. Т.к. все её геометрические характеристики (кривизны) и соответствующие им физические величины (масса, плотности энергии пыли и электромагнитного поля, напряженность электрического поля) конечны. Т.е. данная особенность - чисто координатная, не отражается на геометрии и на физике.

4) Из условия гладкости склейки такими же свойствами должно обладать внешнее вакуумное поле на горловине : положительность и экстремум кривизны радиальных сфер.

Но 4-кривизна этих сфер в метрике Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн ($R=r$) равна :

$$_0K_r^{(4)}=\frac{r_g}{r^3}(1-\frac {r_f}{r})$$

а её производная по $r$ -

$$_0K_r^{(4)}'= - \frac{3r_g}{r^4}(1-\frac {4r_f}{3r}) <0$$

при $r>\frac {4}{3}r_f$. А радиальная координата поверхности склейки $r=2r_f$. Следовательно, координаты кривизн недостаточны, чтобы описать внешнее поле конечного источника (если он не ушёл под радиус Шварцшильда, т.е. не стал черной дырой). Они описывают всё вакуумное поле сферического источника лишь в одном случае - если он точечный. В любых других случаях вакуумное решение следует искать в метрике с $R\neq r$. Но она уже не будет изометрична метрике Рейсснера-Нордстрема.

(продолжение следует)

Добавлено спустя 45 минут 2 секунды:

Someone

Цитата:

Выходя из параллелепипеда через какую-нибудь грань, мы тут же входим в него через противоположную. (Про периодические функции слышали? Это очень похоже.)

Да, похоже, что так. Периодическое продолжение, скажем. В каких случаях это не отражается на поле? Но интерес представляют другие деформации - гомеоморфизмы, склейки, образование складок и т.п. Когда они изометричны?

Добавлено спустя 1 час 32 минуты 29 секунд:

Someone

Цитата:

Вы не умеете склеивать.

Посмотрим как предлагается склеивать в МТУ (32.2, с. 43-44).
Там отмечается, что, как уже отмечалось, "2) в тех событиях,где градиент "функции, связанной с длиной окруности" $r$ обращается в нуль, нельзя ввести шварцшильдовские координаты".

Это как раз наш случай - наличие статической экстремальной поверхности (горловины), на которой этот градиент,т.е. $R'_h=0$.

На это Вы говорите :

Цитата:

А Вы дальнейший-то текст разбирали? Там объясняется про эти особые случаи.

Конечно. Там такие рассуждения :
"1. Сначала рассмотрите область пространства-времени, в которой $(\nabla r)^2\neq 0$ [в наших обозначениях $R'^2$], используя те же методы, что и в тексте при доказательстве теоремы Биркгофа. В результате получается решение Рейсснера-Нордстрема. 2. Любую область, имеющую размерность меньше четырех и в которой $(\nabla r)^2=0$ ..., можно рассматривать как границу между двумя четырехмерными областями с $(\nabla r)^2\neq 0$. Более того, геометрия такой области однозначно определяется геометрией граничащих друг с другом четырехмерных областей ("условия сшивания", 21.13). Поскольку примыкающие друг к другу четырёхмерные области обязательно имеют геометрию Рейсснера-Нордстрема (п.1), то и области "зажатые" между ними, имеют ту же геометрию".

Всё верно. За исключением одного : эти две четырехмерные области Рейсснера-Нордстрема при такой склейке склеены не гладко, а под углом. Радиусы равны, кривизны радиальных сфер равны друг другу, а вот их производные в склеенном пространстве имеют разные знаки, т.е. терпят разрыв. А это недопустимо.

Вы, возможно, это понимаете, сказав выше "в оправдание" :

Цитата:

Это Ваша система координат не годится. А в стандартных координатах Рейсснера - Нордстрёма при $r=2r_f$ (получается при $\tilde r=0$) ничего плохого не происходит, поскольку для электрона $r_f=\frac{e^2}{2m_0c^2}$ на много-много порядков больше, чем радиус горизонта, рассчитанный по его величине заряда и массы.

Т.е. соглашаясь на приближенность склейки вдали от горизонта событий. А это неверно.

А "наша" система координат годится, несмотря на то, что на горловине её определитель зануляется. Но при необходимом условии гладкой склейки $R_h'=0$ нулиться будут детерминанты любой системы координат, т.е. они будут "вырождаться", хотя все геометрические и физические параметры на горловине будут конечными, однозначными и вычислимыми. Это специфика локально неевклидовой геометрии, как уже было отмечено выше. Исключение составляет лишь один крайний случай т.н. фридмона (максимона), у которого $e=\sqrt km_0$ и который представляет собой статический объект с радиусом гауссовой кривизны, всюду равным т.н. критическому, $e\sqrt k/c^2$, который примерно в $\sqrt {137}$ раз меньше планковской длины.

[Someone]

Вы хотите, чтобы я Ваши вычисления проверял? Вряд ли я найду достаточно времени для этого, хотя мне и любопытно на них посмотреть.

Но Вы нарушаете общий принцип: если корректная склейка возможна в одной системе координат, то она возможна и в другой, поскольку, выполнив склейку, мы можем перейти потом к любым координатам. Если у Вас склейка в "координатах кривизн" действительно невозможна, то она невозможна вообще, что весьма странно. Значит, Вы где-то ошибаетесь (возможно, Вы требуете от склейки больше, чем следует; в МТУ указаны только условия непрерывности метрики и внешнй кривизны поверхности склейки, у Вас же фигурируют и другие условия; в частности, "гладкости" склейки нужно добиваться просто согласованием координат по разные стороны от поверхности склейки, да и означает она вовсе не непрерывность производных для одинаково обозначенных величин по одинаково обозначенным координатам). Я пытался найти Ваше решение в книге

Точные решения уравнений Эйнштейна. Под редакцией Э.Шмутцера. Москва, "Энергоиздат", 1982.

Однако там решения для комбинации пыли и электромагнитного поля только упоминаются и даются ссылки на работы (1973 - 1975 годов), в которых можно найти ссылки на работы, в которых обсуждаются такие решения.

pc20b писал(а):

В любых других случаях вакуумное решение следует искать в метрике с $R\neq r$. Но она уже не будет изометрична метрике Рейсснера-Нордстрема.

Вы ведь так и не привели никакого другого решения, кроме решения Рейснера - Нордстрёма. А то, что Вы написали, изометрично решению Рейснера - Нордстрёма. И любое решение, которое Вы таким образом получите, будет изометрично.

pc20b писал(а):

Всё верно. За исключением одного : эти две четырехмерные области Рейсснера-Нордстрема при такой склейке склеены не гладко, а под углом.

Покажите мне этот угол.

pc20b писал(а):

Вы, возможно, это понимаете, сказав выше "в оправдание":
...
Т.е. соглашаясь на приближенность склейки вдали от горизонта событий. А это неверно.

Не выдумывайте. Я ни о какой приближённой склейке не говорил. Я говорил, что классический радиус электрона на много порядков больше радиуса горизонта в метрике Рейснера - Нордстрёма с параметрами электрона, поэтому поверхность склейки находится в той области, где решение Рейснера - Нордстрёма регулярно. И пользоваться там следует регулярными системами координат.

P.S. Ошибки Вам, скорее всего, придётся искать самому. Хотя всё, что Вы напишете, я посмотрю.

[pc20b]

(продолжение)
Someone
Разрешите Вас процитировать. Подчеркнуты - верные высказывания, курсивом набраны - неверные.

Цитата:

Но Вы нарушаете общий принцип: если корректная склейка возможна в одной системе координат, то она возможна и в другой, поскольку, выполнив склейку, мы можем перейти потом к любым координатам. Если у Вас склейка в "координатах кривизн" действительно невозможна, то она невозможна вообще, что весьма странно. Значит, Вы где-то ошибаетесь

И ещё раньше :

Цитата:

Чушь. Нужно всегда помнить, что пространство-время - это геометрический объект, не зависящий ни от каких координат вообще. Координаты мы можем вводить как угодно. Более того, часто мы не можем охватить весь этот объект одной системой координат. Поэтому вводятся понятия карты и атласа (совокупности карт, определённым образом согласованных). Выбор неудачной системы координат (с обнуляющимся якобианом) создаёт не новое решение, а проблемы при расчётах. Поэтому то, что Вы мне представляете как "новое решение", есть просто часть пространства-времени Рейснера - Нордстрёма, в которой выбрана неудачная (вырождающаяся на некоторой поверхности) система координат.

И ещё раньше :

Цитата:

Сильно подозреваю, что склеиваете Вы неправильно. В вырожденной системе координат условия склейки тоже вырождаются и не обеспечивают корректной склейки. Корректная склейка будет корректной в любой (невырожденной) системе координат. Если Вы склеиваете в вырожденной системе координат и не можете потом вернуться в невырожденную систему ("склейка невозможна", как Вы говорите), то это как раз и означает, что Вы склеили неправильно

И ещё раньше :

Цитата:

Это ерунда. Склейка не требует никаких координатных условий и возможна в любой системе координат, не имеющей особенностей. Условия склейки являются не координатными, а геометрическими (Мизнер, Торн, Уилер, том 2, § 21.13). Если система координат имеет особенности на поверхности склейки (а Вы именно такими системами координат и хотите пользоваться), то условия склейки будут вырождаться и склейка может оказаться некорректной.

Наконец, диагноз :

Цитата:

Вы не умеете склеивать.

То, что склейка поверхностей не зависит ни от какой системы координат, известно каждому, кто посещал среднюю группу советского детсада (шутка, извините).

Понять, что теорема Биркгофа неверна, что координаты кривизн, на базе которых она по недоразумению доказана, ограничены и не годятся для склейки, можно легко. Это просто как огурец :

Что такое "координаты кривизн"? - В них в качестве радиальной координаты $r$ - метки на пространстве - взят радиус $R$ внутренней 2-гауссовой кривизны 2-поверхности сферы, ортогональной этой самой радиальной координате $r$, который, к сожалению, является одновременно и метрическим коэффициентом :

$$-g_{22}=R^2(t,r)=r^2$$

,- так что 2-гауссова кривизна этой сферы, которая, естественно, не должна зависеть от координатной сетки, равная

$$_0K_r^{(2)} = \frac {1}{R^2}$$

,

стала зависеть от координаты $r$ явно :

$$_0K_r^{(2)} = \frac {1}{r^2}$$

.

И теперь представьте себе случай, когда геометрия такова, что на поверхности склейки имеется экстремум гауссовой кривизны (как раз наш случай - склейка идет по бутылочному горлышку, по bottleneck'у). То есть, при данном значении метки - радиальной координаты $r$ - эта кривизна в месте склейки не должна зависеть от радиальной координаты $r$, т.е. в самой узкой (или самой широкой) части горлышка должно быть

$$R'=0$$

.

Но это условие невозможно выполнить в координатах кривизн, в которых

$$R'\equiv 1$$

.

Т.е. координаты кривизн ограничены. Вот почему Вы, высказывая, естественно, правильные предложения, ошибаетесь.

И обратно : система координат, в которой

$$R'_h=0$$

, является полной, несмотря на то, что она вырождается на горловине из-за обращения на ней в нуль определителя метрического тензора, т.к. на ней

$$g_{11}_h=\frac {-R'^2}{f^2}|_h=0$$

.

Как уже отмечалось, это говорит лишь о том, что на горловине пространство-время даже локально неевклидово (поэтому невозможна декартова система координат).

Поэтому решение, продолженное на горловину, никак не может входить в группу изометрических решений Рейсснера-Нордстрема, т.к. при переходе к координатам кривизн у него нулится на горловине якобиан преобразования.

Другое дело, что это расширенное решение получено обратной процедурой зануления якобиана в месте склейки. Но это лишь забавный метод, казалось бы, некорректный с точки зрения математики, который требует обоснования. Больше ничего.

[Котофеич]

Уважаемый pc20b. Вы совсем запутались. Вам нужно почитать чего нить про обобщенные решения нелинейных уравнений.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Вы совсем запутались.

Нельзя ли поконкретнее ***, уважаемый Котофеич. Как, извините, висту в префе, заявлению лучше бы быть ответственным.


*** У нас несингулярная задача : да, есть одна сингулярность, сопутствующая внутреннему решению, - но, т.к. главная сингулярность - точечная особенность $R(t,r)=0$ - устранена, она не носит принципиального характера и обязана лишь простоте сферически симметричной геометрии.

Поэтому теория распределений (обобщенных функций) здесь пока ни к чему. Наоборот, в рамках обычного матанализа и римановой геометрии вроде бы удается построить аналитическую модель заряженной частички, которая, как оказалось, есть лишь взгляд на вселенную со стороны.

Сейчас, по ходу дискуссии, интерес представляют две задачи :
- при какой размерности и топологии (гипер)поверхности могут быть двусторонними;
- при каких топологических деформациях пространства локально сохраняется изометрия.

[Котофеич]

Проблема в том, что эта особенность, по крайней мере в обычной ОТО не устранимая.

[pc20b]

Да, решение уравнений ОТО, в силу глобальной "гиперболичности" пространства, "генерируемого" её нелинейными дифференциальными уравнениями, очевидно, всегда содержит хотя бы одну особенность на (граничных) подпространствах. Но вне её хотелось бы, чтобы всё было "аналитично".

[Someone]

pc20b, Вы о каком экстремуме кривизны говорите? Вы склеиваете по сфере, радиус которой равен удвоенному классическому радиусу электрона. Все особенности метрики Рейснера - Нордстрёма с параметрами электрона находятся глубоко-глубоко внутри - на много порядков. То есть, Ваша склейка производится в области, в которой метрика Рейснера - Нордстрёма заведомо регулярна и никаких экстремумов кривизны не имеет. Вы это обстоятельство маскируете для себя, вводя систему координат, которая дважды покрывает область $r>2r_f$, образуя складку при $\tilde r=0$, $r=2r_f$. Естественно, когда Вы движетесь в направлении увеличения $\tilde r$, у Вас на промежутке $(-2r_f,0]$ величина $r$ убывает (от $+\infty$ до $2r_f$), а на промежутке $[0,+\infty)$ возрастает (от $2r_f$ до $+\infty$). Вы почему-то воображаете, что это физический минимум. Ничего подобного, это только Ваша иллюзия, которая возникает из-за того, что Вы сначала идёте вперёд, а потом возвращаетесь назад, воображая при этом, что идёте вперёд, потому что координата $\tilde r$ изменяется монотонно. Геометрии в старой и новой системах координат, естественно, изометричны. В области $r>2r_f$ они изометричны, потому что якобиан преобразования не равен $0$, а при $r=2r_f$ они изометричны просто "по непрерывности". Зато вырожденность системы координат маскирует возможное нарушение условий склейки.