О бесконечности количества некоторых групп чисел среди простых чиселТеорема 1
Количество пар близнецов среди простых чисел бесконечно.
Доказательство
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю

- ПСВ(m), где

- простое число с номером i.
Число вычетов близнецов в ПСВ(m) определяется по формуле:

(1).
Средняя плотность вычетов близнецов в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:

(2).
На основании теоремы 23' Бухштаб на отрезке ПСВ(m)
![$[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$ $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/0/120331acaed87b1d7f87ed392b2946b582.png)
находятся только простые числа:

, поэтому среднее число пар простых чисел близнецов на этом отрезке на основании (2) определяется по формуле:

(3).
Найдем асимптотику средней плотности вычетов близнецов в ПСВ(m)

.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение

:

.
Используем формулу:

, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:

.
Потенциируем и получаем:

.
Поэтому

(4).
Теперь определим количество пар простых чисел близнецов на отрезке
![$[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$ $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/0/120331acaed87b1d7f87ed392b2946b582.png)
при стремлении

к бесконечности. Для этого надо найти предел, используя полученную асимптотику (4):

.
Это неопределенность вида

. Функции числителя и знаменателя дважды дифференцируемы, поэтому предел находится по Лопиталю:

Когда

стремится к бесконечности, то отрезок
![$[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$ $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/0/120331acaed87b1d7f87ed392b2946b582.png)
становится множеством всех простых чисел, исключая числа

. На данном множестве простых чисел, как я доказал выше, бесконечное число пар простых чисел близнецов. Количество таких пар только увеличится, если к ним добавить пары простых чисел близнецов среди простых чисел

ч.т.д.
Продолжение следует.