Образ компакта- компакт, связного- связное

[xmaister]

Пусть $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, такое что образ компактного множества- компакт, а связного множества- связное. Как показать, что $f$- непрерывное?

[Профессор Снэйп]

Написал полное решение, а потом подумал, что по правилам форума это нехорошо. Но стирать решение жалко. Поэтому я его просто спрячу под хайд, а ТС для начала дам подсказку: сведите всё к случаю $m=1$.

(Оффтоп)

Ортогональная проекция компакта - компакт, ортогональная проекция связного множества связна. Функция со значениями в $\mathbb{R}^m$ непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывны её проекции на каждую из координат. Таким образом, достаточно рассмотреть случай $m = 1$.

Пусть $ : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ такова, что переводит компакты в компакты и связные подмножества в связные. Пусть $f$ разрывна в $a \in \mathbb{R}^n$. Тогда существует $\varepsilon > 0$, такое что для любого $\delta > 0$ найдётся $x$ со свойством $\| x - a \| < \delta$ и $| f(x) - f(a) | > \varepsilon$. Значит, существует последовательность $\{ x_k \}$ элементов $\mathbb{R}^n$, такая что $\| x_k - a \| < 1/k$ и либо $f(x_k) < f(a) - \varepsilon$, либо $f(x_k) > f(a) + \varepsilon$ для всех $k$.

Рассмотрим первый случай $f(x_k) < a - \varepsilon$, второй рассматривается аналогично. Пусть $B_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \| x - a \| \leqslant 1/k \}$. Так как образ каждого $B_k$ связен, то он содержит все числа из отрезка $[f(a) - \varepsilon, f(a)] \subseteq [f(x_k), f(a)]$. Пусть $\{ b_i \}$ - строго убывающая последовательность чисел из отрезка $[f(a) - \varepsilon, f(a)]$, стремящаяся к $f(a) - \varepsilon$. Для каждого $i$ выберем $y_i \in B_i$ такое, что $f(y_i) = b_i$. Множество $X = \{ y_i : i \in \mathbb{N} \} \cup \{ a \}$ компактно, однако образ $f(X)$ не может быть компактен в силу того, что он содержит все $b_i$-ые и не содержит $f(a) - \varepsilon$. Противоречие.

-- Пт авг 24, 2012 18:54:39 --

Кстати, вместо $\mathbb{R}^n$ в условии задачи можно было взять произвольное метрическое пространство. А вот $\mathbb{R}^m$ при $m \in \mathbb{N}$, похоже, существенно. По крайней мере, в придуманном мною доказательстве это используется. Интересно, можно ли подобрать метрическое пространство $M$ с разрывной функцией $f : \mathbb{R} \to M$ такое, что $f$ сохраняет связность и компактность подмножеств $\mathbb{R}$?

А если в условии задачи заменить $\mathbb{R}^m$ на произвольное гильбертово пространство, будет ли выполняться утверждение о непрерывности $f$? Или, если для гильбертовского ответ положительный, на произвольное банахово?

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #610074 писал(а):

сведите всё к случаю $m=1$.

Вы имеете в виду, что т.к. $\mathbb{R}^m$ по определнию с тихоновской топологией, то для непрерывности $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ необходимо и достаточно доказать, что $\tau_i f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$- непрерывна, где $\tau_i$- естественная проекция, $i=1,2,\ldots n$. Т.к. $\tau_i$ непрерывна по определению, то для $\tau_i f$ имеем образ компакта- компакт, связного- связное. Остается проверить, что такое $\tau_i f$ будет непрерывным.

(Оффтоп)

Завтра попробую добить, сейчас голова не варит, только что разгрузили ~20тонн одежды . Ваше решение не читал

[longstreet]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #610279 писал(а):

Завтра попробую добить, сейчас голова не варит, только что разгрузили ~20тонн одежды . Ваше решение не читал

xmaister, интересный Вы человек. И в армии побывали (судя по подписи), и математикой занимаетесь просто от того, что делать нечего (Вы так сами говорили), и работа у Вас физическая (20 тонн одежды), ... а так далеко продвинулись в математике. Я Вам несколько завидую: у меня все условия были, но я явно позади Вас. Уже в который раз читаю Ваши темы с человеческим удивлением.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое хаусдорфово топологическое пространство.

[xmaister]

Padawan в сообщении #610579 писал(а):

Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое хаусдорфово топологическое пространство.

Вот что думаю. Разбиваю $\mathbb{R}^n$ на локально конечное покрытие компактами $K_i,i\in\mathbb{N}$. Тогда достаточно доказать, что $f|_{K_i}:K_i\to X$, где $X$- хаусдорфово, непрерывно для каждого $i$. $f_i=f|_{K_i}$. Образ каждого замкнутого множества- замкнут при $f_i$. Дальше туплю, не понимаю как связность использовать

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #610579 писал(а):

Профессор Снэйп
Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое хаусдорфово топологическое пространство.

А я тоже не понимаю, как

[Oleg Zubelevich]

$f$ от замкнутого шара по условию компакт, а компакт наверняка вкладывается в тихоновское произведение $\mathbb{R}^\gamma$ с каким-то $\gamma$, а дальше все тоже самое

[xmaister]

Что значит вкладывается?

[Padawan]

xmaister
Значит гомеоморфно подмножеству $\mathbb R^\gamma$.
$\gamma$ в данном случае можно взять $\aleph_0$, но тут это не важно. В какое-то вкладывается и ладно.