fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение23.08.2012, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Пусть $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, такое что образ компактного множества- компакт, а связного множества- связное. Как показать, что $f$- непрерывное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение24.08.2012, 15:18 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Написал полное решение, а потом подумал, что по правилам форума это нехорошо. Но стирать решение жалко. Поэтому я его просто спрячу под хайд, а ТС для начала дам подсказку: сведите всё к случаю $m=1$.

(Оффтоп)



-- Пт авг 24, 2012 18:54:39 --

Кстати, вместо $\mathbb{R}^n$ в условии задачи можно было взять произвольное метрическое пространство. А вот $\mathbb{R}^m$ при $m \in \mathbb{N}$, похоже, существенно. По крайней мере, в придуманном мною доказательстве это используется. Интересно, можно ли подобрать метрическое пространство $M$ с разрывной функцией $f : \mathbb{R} \to M$ такое, что $f$ сохраняет связность и компактность подмножеств $\mathbb{R}$?

А если в условии задачи заменить $\mathbb{R}^m$ на произвольное гильбертово пространство, будет ли выполняться утверждение о непрерывности $f$? Или, если для гильбертовского ответ положительный, на произвольное банахово?

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение24.08.2012, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #610074 писал(а):
сведите всё к случаю $m=1$.

Вы имеете в виду, что т.к. $\mathbb{R}^m$ по определнию с тихоновской топологией, то для непрерывности $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ необходимо и достаточно доказать, что $\tau_i f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$- непрерывна, где $\tau_i$- естественная проекция, $i=1,2,\ldots n$. Т.к. $\tau_i$ непрерывна по определению, то для $\tau_i f$ имеем образ компакта- компакт, связного- связное. Остается проверить, что такое $\tau_i f$ будет непрерывным.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение25.08.2012, 01:15 


28/11/11
2884

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение26.08.2012, 05:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Профессор Снэйп
Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое хаусдорфово топологическое пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение26.08.2012, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Padawan в сообщении #610579 писал(а):
Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое хаусдорфово топологическое пространство.

Вот что думаю. Разбиваю $\mathbb{R}^n$ на локально конечное покрытие компактами $K_i,i\in\mathbb{N}$. Тогда достаточно доказать, что $f|_{K_i}:K_i\to X$, где $X$- хаусдорфово, непрерывно для каждого $i$. $f_i=f|_{K_i}$. Образ каждого замкнутого множества- замкнут при $f_i$. Дальше туплю, не понимаю как связность использовать :x

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение26.08.2012, 10:24 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Padawan в сообщении #610579 писал(а):
Профессор Снэйп
Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое хаусдорфово топологическое пространство.

А я тоже не понимаю, как :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение27.08.2012, 14:55 


10/02/11
6786
$f$ от замкнутого шара по условию компакт, а компакт наверняка вкладывается в тихоновское произведение $\mathbb{R}^\gamma$ с каким-то $\gamma$, а дальше все тоже самое

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение27.08.2012, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Что значит вкладывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Образ компакта- компакт, связного- связное
Сообщение28.08.2012, 05:46 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
xmaister
Значит гомеоморфно подмножеству $\mathbb R^\gamma$.
$\gamma$ в данном случае можно взять $\aleph_0$, но тут это не важно. В какое-то вкладывается и ладно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group