Теория чисел №2

[DjD USB]

Найдите все четверки целых чисел $(x;y;z;t)$ таких, что их сумма равна 0, а число $x^4+y^4+z^4+t^4+4xyzt$ является квадратом целого числа
Мое решение: Т.к. $x+y+z+t=0$, то у нас либо два нечетных два четных, либо все нечетны, либо все четны
1)Все четны,тогда $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1,t=2t_1$. Т.е $(2x_1)^4+(2y_1)^4+(2z_1)^4+(2t_1)^4+4\cdot 2^4x_1y_1z_1t_1=m^2$.Значит $m=2^2m_1$.После сокращения приходим к изначальному равенству $(x_1)^4+(y_1)^4+(z_1)^4+(t_1)^4+4x_1y_1z_1t_1=m_1^2$ Т.е $x,y,z,t$ будут бесконечно делится на 4 т.е они равны нулю, пара $(0,0,0,0)$ подходит
2)Два четных два нечетных Проверяем по модулю 4, остаток 2 Значит этот случай не подходит
3)Все нечетны.В этом случае я ничего не могу придумать можете, в этом помочь.

[AKM]

Если по-тупому избавиться от $t$ и переформулировать задачу для трёх уже произвольных целых $x,y,z$, то то выражение забавно раскладывается на множители. Быть может, это наблюдение Вам сгодится.

Правда, мне пока непонятно, как может нормальный человек делать такие разложения на множители. Если только с помощью ЭВМ...

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #610165 писал(а):

3)Все нечетны.

Можно рассмотреть по модулю $16$.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #610177 писал(а):

DjD USB в сообщении #610165 писал(а):

3)Все нечетны.

Можно рассмотреть по модулю $16$.

А какие остатки по этому модулю может давать число $4xyzt$ по моему не мало остатков, все четные числа до 16? И какие остатки 4-я степень нечетного числа дает, это надо будет вручную смотреть.

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #610183 писал(а):

все четные числа до 16?

Конечно, нет. Да, и не забудьте про $x+y+z+t=0$.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #610191 писал(а):

DjD USB в сообщении #610183 писал(а):

все четные числа до 16?

Конечно, нет. Да, и не забудьте про $x+y+z+t=0$.

Да он делится на 16.Мне его в 4 степень возводить? Я плохо понимаю, что вы имеете ввиду

[Cash]

Если нечетное число возвести в квадрат, то что можно сказать об остатке при делении на 8?

[DjD USB]

Cash в сообщении #610227 писал(а):

Если нечетное число возвести в квадрат, то что можно сказать об остатке при делении на 8?

Остаток равен единице

[Cash]

А квадрат числа $8k+1$ при делении на 16?

-- Пт авг 24, 2012 23:46:36 --

nnosipov,
получается, что четверка (1, 1, 3, -5) дает 0 по модулю 16. Это значит, что путь ведет в никуда? Или поправимо?

-- Пт авг 24, 2012 23:59:31 --

Хм, не надо на ночь глядя цифры складывать. Нет там нуля - 8 в остатке.

[DjD USB]

Cash в сообщении #610281 писал(а):

А квадрат числа $8k+1$ при делении на 16?

Остаток единица

[DjD USB]

В общем да, все понятно. Спасибо за помощь!

[DjD USB]

Думал что понятно, но оказывается, что не понятно. Я увидел из того что $4xyzt\equiv 4,12\pmod {16}$. Но как доказать что остаток 12 невозможен не могу( и условие про сумму тоже не помогает)