2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 17:55 


16/03/11
844
No comments
Найдите все четверки целых чисел $(x;y;z;t)$ таких, что их сумма равна 0, а число $x^4+y^4+z^4+t^4+4xyzt$ является квадратом целого числа
Мое решение: Т.к. $x+y+z+t=0$, то у нас либо два нечетных два четных, либо все нечетны, либо все четны
1)Все четны,тогда $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1,t=2t_1$. Т.е $(2x_1)^4+(2y_1)^4+(2z_1)^4+(2t_1)^4+4\cdot 2^4x_1y_1z_1t_1=m^2$.Значит $m=2^2m_1$.После сокращения приходим к изначальному равенству $(x_1)^4+(y_1)^4+(z_1)^4+(t_1)^4+4x_1y_1z_1t_1=m_1^2$ Т.е $x,y,z,t$ будут бесконечно делится на 4 т.е они равны нулю, пара $(0,0,0,0)$ подходит
2)Два четных два нечетных Проверяем по модулю 4, остаток 2 Значит этот случай не подходит
3)Все нечетны.В этом случае я ничего не могу придумать можете, в этом помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 18:09 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Если по-тупому избавиться от $t$ и переформулировать задачу для трёх уже произвольных целых $x,y,z$, то то выражение забавно раскладывается на множители. Быть может, это наблюдение Вам сгодится.

Правда, мне пока непонятно, как может нормальный человек делать такие разложения на множители. Если только с помощью ЭВМ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 18:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
DjD USB в сообщении #610165 писал(а):
3)Все нечетны.
Можно рассмотреть по модулю $16$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 18:21 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #610177 писал(а):
DjD USB в сообщении #610165 писал(а):
3)Все нечетны.
Можно рассмотреть по модулю $16$.

А какие остатки по этому модулю может давать число $4xyzt$ по моему не мало остатков, все четные числа до 16? И какие остатки 4-я степень нечетного числа дает, это надо будет вручную смотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 18:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
DjD USB в сообщении #610183 писал(а):
все четные числа до 16?
Конечно, нет. Да, и не забудьте про $x+y+z+t=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 18:50 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #610191 писал(а):
DjD USB в сообщении #610183 писал(а):
все четные числа до 16?
Конечно, нет. Да, и не забудьте про $x+y+z+t=0$.

Да он делится на 16.Мне его в 4 степень возводить? Я плохо понимаю, что вы имеете ввиду

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 19:38 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Если нечетное число возвести в квадрат, то что можно сказать об остатке при делении на 8?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 20:11 


16/03/11
844
No comments
Cash в сообщении #610227 писал(а):
Если нечетное число возвести в квадрат, то что можно сказать об остатке при делении на 8?

Остаток равен единице

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 22:36 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
А квадрат числа $8k+1$ при делении на 16?

-- Пт авг 24, 2012 23:46:36 --

nnosipov,
получается, что четверка (1, 1, 3, -5) дает 0 по модулю 16. Это значит, что путь ведет в никуда? Или поправимо?

-- Пт авг 24, 2012 23:59:31 --

Хм, не надо на ночь глядя цифры складывать. Нет там нуля - 8 в остатке. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение24.08.2012, 23:08 


16/03/11
844
No comments
Cash в сообщении #610281 писал(а):
А квадрат числа $8k+1$ при делении на 16?

Остаток единица

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение25.08.2012, 07:43 


16/03/11
844
No comments
В общем да, все понятно. Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел №2
Сообщение09.12.2012, 12:08 


16/03/11
844
No comments
Думал что понятно, но оказывается, что не понятно. Я увидел из того что $4xyzt\equiv 4,12\pmod {16}$. Но как доказать что остаток 12 невозможен не могу( и условие про сумму тоже не помогает)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group