Тензорное исчисление

[lek]

То есть формула, что я привел выше, неверна?

[Munin]

Я написал свой ответ до того, как вы написали своё дополнение. Щас посмотрю.

-- 24.08.2012 16:45:32 --

lek в сообщении #610050 писал(а):

Здесь имеет смысл говорить не о разных пространствах, а о двух пересекающихся подпространствах одного "большого" пространства. В этом случае строить произведения тензоров разного ранга вполне допустимо. Вот пример такого произведения (в базовом 11-мерном пространстве Минковского):

$$\varepsilon_{i_1i_2i_3i_4}\varepsilon^{i_1i_2i_3j_1\dots j_8}=-6\delta_{i_4}^{j_8}\varepsilon^{j_1\dots j_7}.$$

Для начала, поясните, пожалуйста, какие значения принимают каждый из индексов $i_1\ldots i_4,$ $j_1\ldots j_8.$

-- 24.08.2012 16:49:21 --

А, кажется, понимаю, у вас $\varepsilon^{i_1i_2i_3j_1\dots j_8}$ - сужение 11-мерного символа Леви-Чивиты на 4-мерное пространство по первым трём индексам?

-- 24.08.2012 16:54:36 --

Думаю, вам надо как-то из комбинаторики получить, как подобный суженный символ выражается через символы получившихся подпространств. Много возни с перестановками, и даже с выборками (здесь, например, нужна выборка из 4 по 3). За пять минут не сделаю, но думаю, можно поручить студенту. Правда, за ним проверять...

[lek]

Есть еще проще вариант (в 4-мерном пространстве):

$$ \varepsilon_{ij}\varepsilon^{ikps}=2(\delta_{j}^{k}\varepsilon^{ps}+\delta_{j}^{p}\varepsilon^{sk}+\delta_{j}^{s}\varepsilon^{kp}). $$

Проверил, похоже все так (подобным образом надо симметризировать и предыдущее выражение в $D=11$). Где-то в литературе я встречал упоминание о подобных формулах, но ссылки так и не нашел.

[espe]

Что такое $\varepsilon^{ij}$ в 4-х мерном пространстве? Он не может быть инвариантным объектом, т.е. если в какой-то системе отчёта $\varepsilon^{12}=1$, то, вообще говоря в другой $\varepsilon^{1'2'}\ne1$.

[lek]

espe в сообщении #610151 писал(а):

Что такое $\varepsilon^{ij}$ в 4-х мерном пространстве?

Сужение (проекция) 4-мерного символа Леви-Чивиты на 2-мерное подпространство.

espe в сообщении #610151 писал(а):

Он не может быть инвариантным объектом, т.е. если в какой-то системе отчёта $\varepsilon^{12}=1$, то, вообще говоря в другой $\varepsilon^{1'2'}\ne1$.

Это так. Формула справедлива при $\varepsilon^{12}=\varepsilon^{34}=1$. Однако, ввиду инвариантности 4-символа Леви-Чивита и тензорного характера символа $\varepsilon^{ij}$, она будет справедлива и в любой другой системе отсчета.

[espe]

Конкретнее пожалуйста. Какие значения пробегают $i$ и $j$ в $\varepsilon^{ij}$? 1 и 2 или 1...4 (0...3) ? Формулу (определение) $\varepsilon^{ij}$ написать можете?

[lek]

Формула связывает $\varepsilon_{ij}$ и $\varepsilon^{ps}$, которые определены в ортогональных 2-мерных подпространствах ($i,j\in\{1,2\}$ и $p,s\in\{3,4\}$) 4-пространства и имеют стандартное определение. Расписывая приведенную выше формулу имеем:

\begin{gather} \varepsilon_{12}\varepsilon^{1234}+\varepsilon_{21}\varepsilon^{2134}=2(\varepsilon^{34}+0+0),\notag\\ \varepsilon_{12}\varepsilon^{1423}+\varepsilon_{21}\varepsilon^{2413}=2(0+\varepsilon^{34}+0),\notag\\ \varepsilon_{12}\varepsilon^{1342}+\varepsilon_{21}\varepsilon^{2341}=2(0+0+\varepsilon^{34}).\notag \end{gather}

Кстати, похожим образом определяется и автодуальный антисимметричный тензор $F_{ij}$ в $\mathbb{R}^4$:

$$ \varepsilon^{ijps}F_{ij}=2F^{ps}. $$

[Munin]

espe
Я так понимаю, в объемлющем пространстве $s$ измерений выделяется подпространство $k$ измерений. Разумеется, это выделение неинвариантно относительно всех преобразований базиса исходного пространства. Но можно рассматривать подгруппу, переводящую базис этого подпространства в базис этого подпространства, и базис дополнительного к нему - аналогично.

[lek]

Munin в сообщении #610208 писал(а):

Я так понимаю, в объемлющем пространстве $s$ измерений выделяется подпространство $k$ измерений. Разумеется, это выделение неинвариантно относительно всех преобразований базиса исходного пространства. Но можно рассматривать подгруппу, переводящую базис этого подпространства в базис этого подпространства, и базис дополнительного к нему - аналогично.

И при помощи инвариантного $s$-мерного символа Леви-Чивита его $k+r$ и $(s-k-r)$-мерные проекции на выбранные подпространства связываются некоторой формулой (которая в 4-мерном случае подобна условию автодуальности).

[espe]

Как я понял. Пусть индексы пробегают значения 1 ... 4. Обозначим $\varepsilon_1^{ij}$ такую величину, что $\varepsilon_1^{12}=-\varepsilon_1^{21}=1$ и $\varepsilon_2^{ij}$ такую, что $\varepsilon_2^{34}=-\varepsilon_2^{43}=1$ остальные равны нулю Тогда (я не проверял, но Вам верю) в данной системе координат можно написать

$$ \varepsilon_{1ij}\varepsilon^{ikps}=2(\delta_{j}^{k}\varepsilon_2^{ps}+\delta_{j}^{p}\varepsilon_2^{sk}+\delta_{j}^{s}\varepsilon_2^{kp}). $$

Интуиция мне подсказывает, что эта формула будет инвариантна только относительно $2\times2$ преобразований, но не общих 4-х мерных преобразований. (См. вопрос ниже).

Munin в сообщении #610208 писал(а):

espe
Я так понимаю, в объемлющем пространстве $s$ измерений выделяется подпространство $k$ измерений. Разумеется, это выделение неинвариантно относительно всех преобразований базиса исходного пространства. Но можно рассматривать подгруппу, переводящую базис этого подпространства в базис этого подпространства, и базис дополнительного к нему - аналогично.

Да.

[lek]

espe в сообщении #610215 писал(а):

остальные равны нулю

Это условие не является обязательным (соответствующие слагаемые зануляются из-за наличия символа Кронекера).

-- Пт авг 24, 2012 20:42:38 --

espe в сообщении #610215 писал(а):

Интуиция мне подсказывает, что эта формула будет инвариантна только относительно $2\times2$ преобразований, но не общих 4-х мерных преобразований. (См. вопрос ниже).

Скорее всего так оно и будет. Первая формула (в $D=11$ пространстве) мне встретилась в работе посвященной поиску решений уравнений движения 11-мерной супергравитации (решений типа Энглерта). В ней рассматривалась компактификация исходного многообразия в прямое произведение $AdS_4\times S^7$ пространства Анти-де-Ситтера и семимерной сферы. В этом случае инвариантность выписанной формулы почти очевидна...

[denis_73]

EvilPhysicist в сообщении #609860 писал(а):

Длинна этого вектора

"Длинна" - это краткая форма прилагательного "длинная". Бессмыслица получилась.

EvilPhysicist в сообщении #609860 писал(а):

$(m \cfrac{c^2}{c^2}\gamma, \cfrac{p_x}{c} ,\cfrac{p_y}{c} ,\cfrac{p_z}{c} )=(\cfrac{E}{c^2}, \cfrac{p_x}{c} ,\cfrac{p_y}{c} ,\cfrac{p_z}{c} ) $.

Вот этот переход не ясен.

[denis_73]

Munin в сообщении #610044 писал(а):

Да, неизвестно, как в будущем будут описываться физические теории. Зато известно, что это будут физические теории, а значит, они будут построены исходя из экспериментальных данных, а не из того, чего математики напридумывают.

Одного другому не мешает. Что значит "исходя из экспериментальных данных"?
Теория должна не противоречить исходным данным, объяснять их. Исходя из экспериментальных данных математики могут напридумывать несколько разных противоречащих друг другу, но не противоречащих экспериментальным данным теорий. Бозон Хиггса придумали. В одной теории есть бозон Хиггса, в другой - нет, в третьей их несколько. Кое-где написано, что в одной из теорий (Alain Connes), объединяющей ОТО и СМ, масса бозона Хиггса должна быть около 170 ГэВ. Бозон вроде бы нашли (или его внезапно "природа позвала"), масса около 125,5 ГэВ. Но не известно, сколько всего хиггсовских бозонов существует реально, есть ли суперсимметричные частицы и дополнительные измерения.
ОТО тоже была придумана и тоже требовала проверки, иначе бы Эйнштейну за неё нобелевскую премию дали. Эйнштейн тоже придумывал единые теории поля, это плохо?

Munin в сообщении #610044 писал(а):

Насчёт симметрий заранее сказать нельзя. В физике несколько раз оказывалось, что изначально предполагавшаяся симметрия оказалась в конце концов экспериментом опровергнутой.

И что?

Munin в сообщении #610044 писал(а):

Даже на законы чисел полагаться нельзя. Например, есть гипотеза, что наше пространство на микроскопическом уровне на самом деле устроено в соответствии с некоммутативной геометрией, а значит - не работает обычная таблица умножения.

Это в каком смысле обычная таблица умножения не работает? Для обычных натуральных чисел? Типа $2\cdot3\neq6$?
Что касается некоммутативности, то умножение матриц, векторное умножение векторов, и даже умножение таких чисел, как кватернионы и октонионы тоже не коммутативно:
$x\cdot y=y\cdot x$ выполняется, если предположить, что $x$ и $y$ - натуральные числа или даже комплексные, но не выполняется для кватернионов и октонионов.

[Munin]

denis_73 в сообщении #610523 писал(а):

Одного другому не мешает.

Я не собираюсь спорить с вами об этом.

denis_73 в сообщении #610523 писал(а):

Теория должна не противоречить исходным данным, объяснять их. Исходя из экспериментальных данных математики могут напридумывать несколько разных противоречащих друг другу, но не противоречащих экспериментальным данным теорий.

Да. А могут напридумывать что-то не исходя из экспериментальных данных, а просто потому, что хочется чего-нибудь понапридумывать. И это отчётливо разные ситуации. В первой, математики занимаются данными. Во второй, математики занимаются своими мыслями.

denis_73 в сообщении #610523 писал(а):

ОТО тоже была придумана и тоже требовала проверки, иначе бы Эйнштейну за неё нобелевскую премию дали. Эйнштейн тоже придумывал единые теории поля, это плохо?

Да, плохо. По сути, Эйнштейн потратил свои силы впустую. В начале у него было несколько хороших достижений, а потом он вообразил, как и Лиси и Конн, что он хитрее природы, и может диктовать ей законы. И больше у него ничего толкового не получилось. ОТО была придумана намного лучше, именно из экспериментальных данных. И кстати, проверку она прошла, очень быстро, и препятствием для нобелевской премии это служить не могло.

denis_73 в сообщении #610523 писал(а):

Это в каком смысле обычная таблица умножения не работает? Для обычных натуральных чисел?

Для функций.

[Lucis]

Munin в сообщении #610533 писал(а):

потом он вообразил, как и Лиси и Конн, что он хитрее природы, и может диктовать ей законы. И больше у него ничего толкового не получилось. ОТО была придумана намного лучше, именно из экспериментальных данных.

... отсутствие которых при попытках создания единой теории поля вовсе не означало, что Эйнштейн не стремился на них опереться, хотя бы и задним числом. Уже в докладе, сделанном им 11.07.1923 г. в Гетеборге, он говорил об отсутствии экспериментальных данных как о досадном недоразумении ("К сожалению, при этой попытке мы не можем опереться на опытные факты, как при построении теории тяготения (равенство инертной и тяжелой массы)"), а в 1923-1924 гг. он, по словам В.П. Визгина, "искал электродинамический аналог основополагающего факта равенства инертной и гравитационной масс" - в частности, "в фактах космического магнетизма, прежде всего магнитных полей Земли и Солнца, которые не укладывались в рамки общепринятых представлений того времени" (догадываюсь о возможном возражении - что магнитные поля планет возникают не при вращательном движении "нейтральных масс" (что, как писал Эйнштейн, не предсказывает электродинамика), но при вращении планет вместе с перераспределившимися в них зарядами; однако такое возражение было бы несущественным, поскольку теория бароэлектрического эффекта была развита сравнительно недавно).

И уж тем более это не означало, что Эйнштейн считал себя вправе "диктовать" физической реальности свои законы (так, например, Эйнштейн рассказал нобелевскому лауреату Дж. Франку об одном случае, произошедшем с ним ранее на занятиях физического семинара в Берлине - когда один из участников этого семинара, докладывая о своей новой работе, услышал от Эйнштейна, что эта работа "базируется на некоторых идеях, которые я недавно опубликовал, но которые, к сожалению, оказались ошибочными", а когда докладчик спросил у Эйнштейна, имеет ли он право "менять внезапно свои идеи вместо того, чтобы исходить из предыдущих публикаций и развивать их дальше", тот ответил ему, что не может "вступать в спор с господом богом", доказывая, что "он действует не в согласии с моими опубликованными идеями").