Наиболее востребованные задачи

[xmaister]

Keter, докажите что $\frac1{a_{n+1}^\alpha}-\frac1{a^\alpha_n}\to\alpha$, далее Штольц и всё . Чтобы не переписывать дам ссылку. Там во вложении в первом посте описаны, как в простейших случаях находить асимптотики. Надеюсь пригодится .

[Keter]

Clayton, "Всеукраинская ученическая Internet олимпиада. Задания очного тура по математике", та самая, где сейчас в заочном туре есть похожее задание, как в этой теме topic60914.html

-- 23.08.2012, 00:17 --

xmaister, "A ban has been issued on your IP address." интересно как?? я первый раз на этом сайте

[nnosipov]

Пёстрый набор задач. Первая выглядит довольно уродливой, последняя --- даже и не задача вовсе. Четвёртая уместна скорее для студентов. Геометрическую задачу трудно испортить, а комбинаторная больше пригодна для обычной контрольной работы. Интересно, чем руководствовались авторы при составлении такого варианта задач.

[Keter]

nnosipov, эти задачи я уже давно критиковал(а именно 4), по статистике никто не решил 2 и 5 задачи, максимум 2 из 7 баллов за какие-то рассуждения. Первую решили все, (- 2) балла за потерю корней. Третью тоже решили все, (- 2) балла, если посчитал неверно. И самое странное - 4 задание. Киев получил 6-7 баллов, то есть максимально, на разборе задач сказали, что "они просто знали признак Даламбера"

[nnosipov]

Keter в сообщении #609377 писал(а):

по статистике никто не решил 2 и 5 задачи

Геометрия-то понятно, но почему такая странная картина с 5-й задачей? Почему даже несложные теоретико-числовые задачи не решают?

[Keter]

Видимо, теория чисел плохо принимается, но насколько могу судить, никто не решил из-за траты времени на первую задачу. Там вроде все для сокращения писанины вводили замену, ну а потом по ходу решения еще одна замена, порядка 40 минут ушло на геометрию, ну а на 5 времени подумать...
У меня пока по 5 задачи нет идей, рассмотрел модули... запутался

[Clayton]

Ну первое уравнение совсем легкое.Комбинаторика чуть сложнее,но тоже довольно легкая.Над остальным лень думать
А для подготовки можно использовать сборники задач киевских/всеукраинских олимпиад под редакцией Рублева.Издательство "гiмназiя",если не ошибаюсь.Ну и любые книжки и статьи Ясинского/Радченка/Мительмана.Еще советую выписать журнал "У свiтi математики",он недорогой,но там есть хорошие статьи по олимпиадной математике.Ну еще есть сайт украинского математического олимпиадного движения,там много материала:различные олимпиады,матбои,карусели и тд.Его легко найти,если что,напишите в лс.

[Keter]

nnosipov, кстати, геометрическую задачу все-таки испортили. Ну в каком-то смысле. Я до сих пор не могу понять, какой там ответ... То есть, если данный угол равен $\alpha$, то чтобы выполнялось условие с равнобедренным треугольник, нужно так подобрать угол $XYO$, чтобы он был равен $2\alpha$.

[Shadow]

Keter в сообщении #609596 писал(а):

У меня пока по 5 задачи нет идей

Если а делится на простое p, а n не делится, то их сумма будет делится на p?
Если а не делится, а n делится?
Т.е можно рассмотрть n как произведение некоторых простых чисел от 2 до $c-a$ (ну пусть $a<b<c$) Какие простые включать в произведение, а какие нет?

[Clayton]

Я вот немного не понял:во второй задаче там надо построить точку X?Если да,то задача тоже легкая.Отображаем точку $A$ симметрично прямой $ON$ и тогда у нас появляется известный угол $A'XB$.А дальше строим такую окружность,чтобы отрезок $A'B$ был виден под этим самым углом.Тогда точка пересечения этой окружности с прямой $OM$ является искомой.Я наверное что-то не так понял,иначе как ее не смог решить ни один участник?
А,ну еще чтобы не было двух точек,надо наложить условие,что проекция точки Х на прямую ON лежит между проекциями точек A и В.

[Keter]

На счет 4 задачи. Из условия $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^{\alpha}}$ имеем $\dfrac{a_n}{a_{n+1}} = 1+a_n^{\alpha}ё$

Можно ли утверждать, что $1+a_n^{\alpha}>1$ ? Если да, то все очевидно.

[Cash]

Keter

Надо сравнивать не с $1$, а с $q>1$

[xmaister]

Keter, по поводу асимптотики. Пусть $x\in\mathbb{R}$. Рассмотрим $a_{n+1}^x-a_n^x=a_n^x\left(\frac{1}{(1+a_n^\alpha)^x-1\right)}=a_n^x(1+xa_n^\alpha+o(a_n^\alpha))$. Тут как раз будем пользоваться тем, что $a_n\to 0$. Это влечет за собой, что $o(a_n^\alpha)\to 0$. Вопрос: При каком $x$ предел $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}^x-a_n^x$- конечен и отличен от нуля? Ясно, что при $x=-\alpha$ и предел этот понятно, что равен $\alpha$. Далее вычислим предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{a_n^\alpha}}{n}$. Тут Штольц, откуда $\frac{1}{a_n^\alpha}\sim\alpha n$. Откуда $a_n\sim \frac{1}{(\alpha n)^{\frac{1}{\alpha}}}$.

[Keter]

xmaister, спасибо. Это безусловно красивое решение. Но я хотел бы обратить внимание на то, что

$$a_n^{\alpha}+1 > 1 \Rightarrow \dfrac{1}{a_n^{\alpha}+1}<1.$$

[Shadow]

Keter, если Вы о признаке Даламбера, то имейте ввиду, что есть большая разница между
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \text{ и } \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$