Понимание сути математики

[bin]

Очень странно, что никто тут особо не отметил модельный подход, который и является сутью современной математики, а достаточно, нпр., посмотреть основополагающую статью "Математика" в Википедии:

Цитата:

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д.

Там и список книг приводится, а еще в рувики есть статья "Философия математики" и там полезные книги.

The_Immortal в сообщении #603640 писал(а):

как они влияют на развитие нашей жизни?

"Математика - царица наук" и этим все сказано. Т.е. влияют самым сильным образом, т.к. сегодня трудно найти какую либо техническую или естественно-научную область, где бы не применялись мат. модели. Лучше всего формализуется физика - там мат. модели наиболее успешны, но и в химии, биологии и даже в науках о естественном языке успешно их применяют. Картина станет еще шире, если глянуть на computer sci. и, в частности, на программирование. Без программ, специализированных для предметных областей, комп - бесполезная железка. А для написания программ необходимы мат. методы, реализуемые в алгоритмах. И какие области нашей жизни сегодня обходятся без компьютеров? Удастся найти такую? BTW в рувики есть еще полезная статья "Прикладная математика". Стоит и статью "Математическая модель" прочитать (и там есть список полезной литературы).

[zritel]

[quote="_&_ в сообщении #604090"]Я бы посоветовал почитать:

[*]В. Успенский. Апология математики. М.: Амфора, 2012 (не нашёл прямой ссылки на книгу в Интернете, но она продаётся в магазинах)

Книга была опубликована в журнале "Новый мир"(в нескольких номерах). Начало тут: http://magazines.russ.ru/novyi_mi/2007/11/us10.html

[migmit]

Esp_ в сообщении #605679 писал(а):

Есть ли толковые книги по философии математики?

Нет, конечно.

[bin]

migmit в сообщении #606054 писал(а):

Esp_ в сообщении #605679 писал(а):

Есть ли толковые книги по философии математики?

Нет, конечно.

ИМХО есть и много, нпр.:
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. Пер. И. Н. Веселовского.— М.: Наука, 1967.
М.Клайн. Математика .Утрата определенности, М.: «Мир»,1984

[Someone]

Клайн пишет ерунду, а в книге Лакатоса, к счастью, никакой философии не заметно.

[bin]

Someone в сообщении #606131 писал(а):

Клайн пишет ерунду, а в книге Лакатоса, к счастью, никакой философии не заметно.

Аргументируйте, пожалуйста

[Someone]

Лакатос на примере многогранников иллюстрирует типичные принципы: поиск ограничений, позволяющих доказать теорему, и обобщений, позволяющих расширить область её действия. Почему-то это называется "философией".

Клайн занимается болтовнёй по поводу математики.

Философов, указывающих математикам и физикам, как развивать математику или физику, сильно не люблю.

[bin]

Someone в сообщении #606157 писал(а):

Лакатос на примере многогранников иллюстрирует типичные принципы: поиск ограничений, позволяющих доказать теорему, и обобщений, позволяющих расширить область её действия. Почему-то это называется "философией".

Клайн занимается болтовнёй по поводу математики.

Философов, указывающих математикам и физикам, как развивать математику или физику, сильно не люблю.

1) Посмотрите в Википедии:

Цитата:

Proofs and Refutations is a book by the philosopher Imre Lakatos expounding his view of the progress of mathematics. [...] A central theme is that definitions are not carved in stone, but often have to be patched up in the light of later insights, in particular failed proofs. This gives mathematics a somewhat experimental flavour. At the end of the Introduction, Lakatos explains that his purpose is to challenge formalism in mathematics, and to show that informal mathematics grows by a logic of "proofs and refutations". [...] Many important logical ideas are explained in the book.[...]

BTW и в рувики Лакатос назван, как

Цитата:

английский философ венгерского происхождения, один из представителей постпозитивизма. [...] автор теории и методологии научно-исследовательских программ, в рамках которых, вслед за Карлом Поппером, развил принцип фальсификации до степени, названной им утончённым фальсификационизмом. Теория Лакатоса направлена на изучение движущих факторов развития науки, она продолжает и вместе с тем оспаривает методологическую концепцию Поппера, полемизирует с теорией Томаса Куна.

2) Из рувики:

Цитата:

Морис Клайн (англ. Morris Kline, 1 мая 1908, Нью-Йорк — 10 июня 1992, там же) — американский математик, известный своими работами по истории и философии математики, проблемам математического образования и научно-популярной тематике. [...] В своих работах Клайн постоянно подчёркивал необходимость укреплять связь прикладной и теоретической математики, предостерегал от самоизоляции «теоретиков».[...] Другая особенность его книг — ясное и откровенное описание кризисных явлений в математике и сущности разногласий различных математических школ.

И где здесь болтовня? Очень конструктивная идея о преодолении самоизоляции, подкрепленная массой исторических примеров. И кто оспорит, что в математике нет кризисов?
3) От математики зависят многие науки, поэтому кризисы в математике и самоизоляция - это не внутреннее дело математики. К томуже Клайн — математик, а не просто философ, "указывающий математикам и физикам, как развивать математику или физику". Пренебрежение к методологии науки чревато многими системными ошибками...

-- Ср авг 15, 2012 00:14:15 --

PS Еще два известных имени "насчет соответствующей литературы": Карл Поппер и Томас Кун (см. вики).

[migmit]

bin в сообщении #606124 писал(а):

Однако, сверх достигнутого, продвинуться не удалось, хоть и пытались...

Поинтересуйтесь функциональными языками — ну там, Haskell, OCaml... Это вполне себе следующий шаг.

-- Ср авг 15, 2012 07:16:54 --

bin в сообщении #606193 писал(а):

К томуже Клайн — математик, а не просто философ, "указывающий математикам и физикам, как развивать математику или физику". Пренебрежение к методологии науки чревато многими системными ошибками...

Я читал Клайна. Он именно что философ, в математике, как они все, не разбирающийся.

[theambient]

Я тоже учился на "прикладной математике" и нам излагали материал очень выборочно.

Мне очень помогла случайно купленная книжка "Введение в математическую философию" Рассела, только после ее прочтения я понял, а зачем мы все это делали на первом курсе? Зачем доказывать очевидные факты, скажем, единственность предела, теоремы существования? В сознании не укладывалось, что математических миров гораздо больше, чем та математика, которую нам давали только для описания нашего мира. Единственное исключение, которое мне запомнилось и меня поразило до глубины души - это краткий курс общей алгебры: группы, кольца, поля и пр., что существуют миры где, вообще говоря, действуют другие законы арифметики.

Но таких дисциплин гораздо больше чем алгебра: топология, упоминавшаяся геометрия, одно из ярких применений которых, насколько я понимаю, лежит в космологии: какую структуру все же имеет наше пространство?

Мне очень понравилось чье-то изречение, что "математика не утверждает ничего, что это одна сплошная импликация", что и составляет сущность априорного знания. Как их увязать с эмпирическими (апостериорными) знаниями один лишь бог ведает, нам остается только верить, иными словами яблоко в любой момент может полететь вверх. Но это уже крайний скептицизм Юма.

Прошу не бить слишком сильно за мои неуклюжие мысли)

[Someone]

bin в сообщении #606124 писал(а):

структурная (без goto)

Смысл структурного программирования - вовсе не в запрете оператора goto.

Кстати, ААА - профан, на которого не следует обращать внимание.

bin в сообщении #606193 писал(а):

1) Посмотрите в Википедии:

Цитата:

Proofs and Refutations is a book by the philosopher Imre Lakatos expounding his view of the progress of mathematics. [...] A central theme is that definitions are not carved in stone, but often have to be patched up in the light of later insights, in particular failed proofs. This gives mathematics a somewhat experimental flavour. At the end of the Introduction, Lakatos explains that his purpose is to challenge formalism in mathematics, and to show that informal mathematics grows by a logic of "proofs and refutations". [...] Many important logical ideas are explained in the book.[...]

Это банальности. Я примерно так и работаю. Но это совершенно естественный метод, ему не надо учить. Я не против того, чтобы кто-то рассматривал математику как объект исследования, но отнесусь к этому "кому-то" крайне отрицательно, если он начнёт учить меня доказывать теоремы или будет объяснять мне, например, что такое число. (Кстати, эту книгу я прочитал в 1967 году, когда учился на первом курсе; было довольно скучно, и пользы я не получил.)

bin в сообщении #606193 писал(а):

2) Из рувики:

Цитата:

Морис Клайн (англ. Morris Kline, 1 мая 1908, Нью-Йорк — 10 июня 1992, там же) — американский математик, известный своими работами по истории и философии математики, проблемам математического образования и научно-популярной тематике.

Мало ли, кого чему учили... Судя по тематике работ, он совершенно не математик. А жить надо. И ничего, кроме математики, не изучал. Что делать? Правильно, заниматься болтовнёй на околоматематические темы.

bin в сообщении #606193 писал(а):

Цитата:

В своих работах Клайн постоянно подчёркивал необходимость укреплять связь прикладной и теоретической математики, предостерегал от самоизоляции «теоретиков».[...] Другая особенность его книг — ясное и откровенное описание кризисных явлений в математике и сущности разногласий различных математических школ.

Ну конечно, чем громче кричать, тем скорее заметят.

[Esp_]

Someone в сообщении #606262 писал(а):

Смысл структурного программирования - вовсе не в запрете оператора goto.

Поясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду.

[PAV]

Часть темы, связанная с заявлениями ААА, отделена и перемещена в Пургаторий.
ААА: строгое замечание за засорение темы и систематические бессодержательные, псевдонаучные или малограмотные сообщения.

[bin]

Someone в сообщении #606262 писал(а):

Смысл структурного программирования - вовсе не в запрете оператора goto.

А в чем? Просветите, пожалуйста.

-- Ср авг 15, 2012 21:12:27 --

Someone в сообщении #606262 писал(а):

Это банальности. Я примерно так и работаю. Но это совершенно естественный метод, ему не надо учить.

Вы считаете, что уменье формулировать и доказывать теоремы - это с рождения? Я правильно понял?

-- Ср авг 15, 2012 21:17:38 --

Someone в сообщении #606262 писал(а):

Кстати, эту книгу я прочитал в 1967 году, когда учился на первом курсе; было довольно скучно, и пользы я не получил.

Я думаю, что от этой книги ни один первокурсник не может получить большой пользы, т.к. первокурсник не может самостоятельно ориентироваться в выборе проблемы, достойной внимания. Поэтому у первокурсников и, даже, у молодых научных сотрудников бывают научные руководители. Не так ли?

-- Ср авг 15, 2012 21:24:37 --

Someone в сообщении #606262 писал(а):

Мало ли, кого чему учили... Судя по тематике работ, он совершенно не математик.

Из Википедии (Клайн, Морис):

Цитата:

В 1930 году получил в Нью-Йорке степень бакалавра по физике, в 1936 году защитил докторскую диссертацию по математике и стал преподавателем Нью-Йоркского университета. [...] После войны возглавил исследования по проблемам электромагнетизма в Институте Куранта (англ. Courant Institute of Mathematical Sciences) при Нью-йоркском университете. Одновременно вернулся к преподавательской работе; с 1952 по 1975 год — профессор математики университета. В этот период он написал серию глубоких и содержательных книг, вызвавших большой интерес научной общественности. Тематика этих книг охватывала историю и философию математики, а также проблемы математического образования. Профессор И. М. Яглом пишет в предисловии к книге Клайна «Математика. Утрата определённости»: «Книгу Клайна с полным основанием можно считать уникальной: столь широкий круг вопросов ранее в научно-популярной литературе на рассматривался».

И это не математик? Может и Яглом Исаак Моисеевич - не математик? И не профессор?

[Munin]

Яглом назвал книгу Клайна научно-популярной. Это ничего не говорит о том, что Клайн математик. История и философия математики, математическое образование - математикой не являются.