Вы будете смеяться, но учился я на факультете ИПМ (Информатики и Прикладной Математики). Специальность - инженер-программист.
Это как раз становится логичным. На нематематических факультетах дают только прикладную математику, зато чётко становится видно, где она нужна, потому что её сразу и применяют, на соседней лекции. Часто даже математических курсов не хватает, и на прикладных курсах вводят свою математику, "по месту", "быстро и грязно", научая только как ей пользоваться, чтобы не застревать на предмете, но не как она строится и доказывается.
А на математическом факультете математики дают с большим запасом, а практического приложения её - нет. Вот и получаются вопросы "а как это применять".
Думаю, на математическом факультете дают математику "на все случаи жизни" (раз уж она прикладная). Так что надо познакомиться с этими "всеми случаями жизни", и понять, что, где и как применяется.
Прежде всего, наибольший объём математики требует физика и техника. Для них основным инструментом являются дифференциальные уравнения - и ОДУ, и ДУЧП. В технике больше стоит задача численного применения инструментов, поэтому большую роль играют численные методы, и разные упрощения задач - от ДУЧП к системе ОДУ, от точных решений к приближённым, итерационные методы, оптимизация. Часто приходится решать систему ОДУ, СЛАУ или другую задачу линейной алгебры, большой размерности. В информатике даже разработана отдельная теория работы с большими, но разреженными матрицами.
В физике больше стремятся к аналитическим и качественным результатам для имеющихся ОДУ и ДУЧП, так что там применяются ТФКП, функциональный анализ, преобразования Фурье, те же пределы для изучения асимптотического поведения. Хотя о численных расчётах не забывают, и одни с другими, бывает, перекликаются: для численного решения дифуров применяются степенные и тригонометрические ряды, а потом они исследуются уже сами по себе, с аналитической и качественной точки зрения.
Те же самые ОДУ и ДУЧП, по идее, могут прикладываться для описания самых разных явлений окружающего мира, не только физических и технических. Но обычно специалисты по этим явлениям к этому не стремятся, или пользуются математикой только в небольшой степени - например, в экологии знают про модель Лоттки-Вольтерра, очень немногие знают про динамический хаос, и всё.
В области обработки (и планирования!) экспериментов огромное применение находят теория вероятностей и математическая статистика.
В информатике - всевозможнейшая дискретная математика, но это вы, наверное, и сами знаете. Кроме того, в криптографии применяются вообще неожиданные дисциплины.
В лингвистике задействована какая-то интересная математика, о которой я почти ничего не знаю - и подозреваю, не все математики о ней тоже в курсе.
Есть забавная книжка
Арнольд В. И. Жёсткие и мягкие математические модели. М.: МЦНМО, 2008.
