Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #604859 писал(а):

Преобразование хорошее, но что оно дает?

Эта формула может использоваться в нескольких случаях. Один из них - верхняя граница для n в формуле типа Лежандра. Правда надо сделать преобразование - $p_r=O(rln(r))$, чтобы получить чистую зависимость от r.

[vorvalm]

Было бы очень интересно увидеть зывисимость верхней границы для $n.$

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #604770 писал(а):

$ \sum_{p \leq x}{ln(p-1)} \sim x-c-ln(ln(x))$.
Отсюда получаем:
П$(p-1) \sim e^{-c}e^{x-ln(ln(x))}$

Ну такая же ошибка: если $f(x)\sim g(x)$, то неверно, что $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$. Например, обратно, если $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$, то $\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-g(x))=0$. И обратное тоже верно. Теперь можете сами подобрать контрпример

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #605228 писал(а):

Ну такая же ошибка: если $f(x)\sim g(x)$, то неверно, что $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$.

Не согласен.
Если $f(x)\sim g(x)$, то $\lim\limits_{x\to\infty}{f(x)/g(x)}=1$.
Поэтому $\lim\limits_{x\to\infty}e^{f(x)}/e^{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{f(x)-g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{g(x)(f(x)/g(x)-1)} =\lim\limits_{x\to\infty}e^{g(x)\cdot 0} =1$.
Следовательно, $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$.

[Someone]

Рассмотрите $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2$ при $x\to+\infty$.

[Mathusic]

vicvolf в сообщении #605510 писал(а):

Поэтому $\lim\limits_{x\to\infty}e^{f(x)}/e^{g(x)}=$

А почему, собственно, этот предел обязан существовать? У Someone пример, когда предел отношения экспонент -- бесконечность.
А я долго искал пример, когда этот предел не существует ни в каком смысле, и, кажется, нашел: он оказался простым.
$f(x)=(\sin(x)+2)(x+1){,} g(x)=(\sin(x)+2)x$
Обе ф-ции бесконечно большие, приэтом эквивалентные на бесконечности, но их разность, а значит и отношение экспонент, колеблется на бесконечности: $f(x)-g(x)=\sin(x)+2.$

[vicvolf]

Большое спасибо за участие в теме и контрпримеры.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #605228 писал(а):

vicvolf в сообщении #604770 писал(а):

$ \sum_{p \leq x}{ln(p-1)} \sim x-c-ln(ln(x))$.
Отсюда получаем:
П$(p-1) \sim e^{-c}e^{x-ln(ln(x))}$

Ну такая же ошибка: если $f(x)\sim g(x)$, то неверно, что $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$. Например, обратно, если $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$, то $\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-g(x))=0$. И обратное тоже верно. Теперь можете сами подобрать контрпример

А как же вернуться обратно после логарифмирования?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #605676 писал(а):

А как же вернуться обратно после логарифмирования?

Если само по себе, то никак - надо привлекать еще какие-то данные.
Может погуглить асимптотику произведения $n$ первых простых?

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #605677 писал(а):

Если само по себе, то никак - надо привлекать еще какие-то данные.

Хорошо, подумаю. Давайте вернемся к сообщению от 03.08.12 о лемме 2 и теореме 5:

-- 13.08.2012, 22:00 --

vicvolf в сообщении #602709 писал(а):

Лемма 2
Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.
Доказательство. Из приведенных выше примеров видно, что номер строки ИС (k) при увеличении r может, как возрастать, так и убывать.При m<2310, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС2. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: $2, p_{r+1}-1, 2, p_{r+1}-1, 2$. При этом вторая разность принимает значение $p_{r+1}-1-2= p_{r+1}-3 $ и k возрастает пропорционально $p_{r+1}-3$, т.е. $k=O(p_{r+1}-3)$ (4). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число $p_k$, которое на основании асимптотической формулы простых чисел [3] можно представить в виде $p_k=O(k\ln (k))$ (5). Подставляя в (5) выражение (4) получаем: $p_k=O((p_{r+1}-3) \ln ((p_{r+1}-3)))$ (6).
Учитывая, что $p_{r+1}-3=O((r+1)\ln (r+1))$, получаем:
$p_k=O((p_{r+1}-3) \ln ((p_{r+1}-3))=O(r+1)\ln (r+1)\ln [(r+1)\ln (r+1)]=O(r+1)\ln ^2(r+1))$ (7).
Величина $p^2_{r+1}=O((r+1)^2\ln ^2(r+1)) $ больше, чем $p_k=O((r+1)\ln ^2(r+1)) $(8).
При больших значениях m, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС1, но максимум интервала между ПСВ – $d_m$, который определяет положение ИС1, находится ближе к 0,5m. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: …,2, $d_m$, 2, …. При этом вторая разность принимает значение $d_m-2$ и k возрастает, как $d_m-2$ (9). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число $p_k$. Покажем, что величина $p_k$ меньше $p^2_{r+1}$. Для этого рассмотрим последовательность $d_m$ в A048670 Online Encyclopedia Sequences (QEIS) при m=2310 и более.
При $m=2\cdot3...11=2310$ - $d_m=14$, поэтому на основании (9) $p_{12}=37< p^2_{r+1}=13^2=169$. При $m=2\cdot3...13=30030$- $d_m=22$, $p_{20}=71<p^2_{r+1}=17^2=289$. При $m=2\cdot3...17$- $d_m=26, p_24=89<p^2_{r+1}=19^2=361$ и.т.д. При $m=2\cdot3...233$- $d_m=742, p_{742}=5647<p^2_{r+1}=239^2=57121$.
Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство. Проведем доказательство теоремы 5 методом математической индукции. Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность решета Эратосфена при r=1:
2 3 5 7 и далее вычеты ПСВ по модулю $m=2^n$
1 2 2 …….
1 0 …….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2,3,…, p_{k+1}, … p_n<p^2_{r+1}$ [3], при которых согласно предположению треугольник сходится.
При r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2, 3,… p_{k+1}, p_{k+2},…p_n<p^2_{r+1}$, при которых согласно предположению треугольник Гильбрайта сходится.
На основании леммы 2, строка ИС треугольника Гильбрайта начинается с простого числа $p_l<p^2_{r+1}$, поэтому, начиная с этого простого числа и далее на основании теоремы 4 для последовательности вычетов nПСВ$_m$ в основании, где $m=2\cdot3…p_{k+1}$, треугольник Гильбрайта также будет сходиться.

Ваше мнение о лемме 2 и теореме 5?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #604995 писал(а):

Было бы очень интересно увидеть зывисимость верхней границы для $n.$

Оценим величину максимального расстояния между вычетами ПСВ$_m$ - $d_m$ при больших значениях $m=2\cdot3…p_r$.
В работе B. Rosser. Explicit Bounds for Some Functions of Prime Numbers. Amer. J. Math.,
vol 63, #1, pp. 228–229, 1941 получена оценка:
\prod_{i = 1}^{r}(p_i) < (a)^{p_r} (9), где a=2,83, $p_r >2$.
Поэтому с учетом формулы Мертенса:
$\varphi(\prod_{i = 1}^{r}(p_i) ) < a^{p_r} \cdot e^{–c}/ ln(p_r)$ (10), где a=2,83, а c – постоянная Эйлера.
На основании работы Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 расстояние между последовательными вычетами $p_n$ и $p_{n+1}$ не превышает:
$d_m = p_{n+1}- p_n < (p_n)^{b}$, где b =0,53 (11).
С учетом асимптотической формулы для простого числа на основании (11) имеем:
$d_m < (nlnn)^{b}$, где $n>0,5\varphi(\prod_{i = 1}^{r}(p_i))$ (12).
Поэтому на основании формул (10) и (12) получаем оценку:
$d_m < ((a ^{p_r} \cdot e^{–c}/ 2lnp_r )\cdot ln(a^{p_r} \cdot e^{–c}/2 ln(p_r)))^{b}$ (13).
Преобразуя выражение под логарифмом в выражении (13) получим:
$d_m < ((a ^{p_r} \cdot e^{-c}/ 2ln(p_r)\cdot( p_r lna - lnln(p_r) - c- ln2)) ^b$ (14), где а=2,83, с=0,58, b =0,53.

[vorvalm]

Данная оценка очень трудно воспринимается визуально.
У вас 4 постоянных, среди которых как-то теряется аргумент.
Нельзя ли упростить?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #608169 писал(а):

Данная оценка очень трудно воспринимается визуально.
У вас 4 постоянных, среди которых как-то теряется аргумент.
Нельзя ли упростить?

Формулу (14) можно упростить, оставив одну постоянную а:
$d_m < [0,28 \cdot a ^{p_r} ( p_r lna - lnlnp_r -1,27) /lnp_r ] ^{0,53}$.
При этом значение а=2,61 для $1000<p_r<2600$. Для больших значений $p_r$ - a=2,83.

[vorvalm]

Основную роль в формуле играет $a^{p_r},$
остальные члены очевидно мало влияют на $d_m.$

[vicvolf]

vorvalm писал(а):

остальные члены очевидно мало влияют на $d_m.$

Нет влияют. Если построите график, то убедитесь!