Ли-производная от связности

[Vitalius]

Многие наверное читали в книжках по Римановой (псевдоримановой) геометрии декларации, имеющие отношение к вопросу о Ли-производной связности. Говорю декларации в виде того, что обычно доказательства не даются. Поскольку я люблю проверять сам мат. утверждения, которые встречаю, то и в данном случае так делал. Решил поделиться с вами о результате этой проверки, в виде того, что она, на мой взгляд, получилась довольно нетрудоемкой.
И так пусть нам дано Римановое или Псевдоримановое многообразие в котором ковариантная производная строится с помощью симметричной связности $\Gamma$ ($\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}$) - т.е. многообразие в котором тензор кручения тождественно равен нулю ($\Gamma^{\alpha}_{[\mu\nu]}=0$). Знаем, что компоненты ковариантной производной от смешанного тензорного поля второго ранга таковы:

T^{\mu}_{\ \nu;\rho}\equiv T^{\mu}_{\ \nu,\rho}+T^{\alpha}_{\ \nu}\Gamma^{\mu}_{\alpha\rho}-T^{\mu}_{\ \alpha}\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}. (1)

Здесь и далее, как обычно применяем Эйнштейновское правило суммирования по дважды повторяющихся контра (верхние) и ковариантные (нижние) индексы. Кроме того $T^{\mu}_{\ \nu,\rho}\equiv \frac{\partial T^{\mu}_{\ \nu}}{\partial x^{\rho}}.$ Поскольку ковариантная производная является тензором, а частная производная в общим случаем нет, то ясно, что сама связность тензором не является. Относительно тензорах, напомним, что при замене коорд. сист., их новые компоненты выражаются полилинейно через старые:

T^{\mu'}_{\ \nu'}\equiv T^{\mu}_{\ \nu}X^{\mu'}_{\mu}X^{\nu}_{\nu'}=T^{\mu}_{\ \nu}\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\ \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}.

Компоненты Ли-производной по направление векторного поля $\xi$, от того же самого смешанного тензорного поля второго ранга, соответственно задаются так:

\pounds_{\xi}T^{\mu}_{\ \nu}\equiv\xi^{\alpha} T^{\mu}_{\ \nu,\alpha}-T^{\alpha}_{\ \nu}\xi^{\mu}_{\ ,\alpha}+T^{\mu}_{\ \alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}. (2)

Важно, что в (2) можем заменять все частные производные с ковариантными в виде того, что после такой замене все члены, в которых присутствуют компоненты связности, сократятся. Это известное свойство Ли-производной. (1) и (2) привели в качестве примера о том как строятся ковариантные и Ли-производные от произвольных тензорных полей - путем добавления соответствующих членов (с плюсом или минусом) для каждого контра и ковариантного индекса. Известно также, что ковариантные и Ли-производные удовлетворяют правило Лейбница. Т.е.:

\pounds_{\xi}\left(T^{\mu...}_{\nu...}S^{\rho...}_{\sigma...}\right)=\left(\pounds_{\xi}T^{\mu...}_{\nu...}\right)S^{\rho...}_{\sigma...}+T^{\mu...}_{\nu...}\left(\pounds_{\xi}S^{\rho...}_{\sigma...}\right).

\left(T^{\mu...}_{\nu...}S^{\rho...}_{\sigma...}\right)_{;\tau}=T^{\mu...}_{\nu...;\tau}S^{\rho...}_{\sigma...}+T^{\mu...}_{\nu...}S^{\rho...}_{\sigma...;\tau}

Думаю все это знают.

Для произвольного векторного поля $\textbf{A}$ верно, что:

A_{\mu;\nu\rho}-A_{\mu;\rho\nu}\equiv A_{\mu;[\nu\rho]}=A_{\alpha}R^{\alpha}_{\ \mu\nu\rho}, (3)

где:

R^{\alpha}_{\ \mu\nu\rho}\equiv\Gamma^{\alpha}_{\mu\rho,\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu,\rho}+\Gamma^{\beta}_{\mu\rho}\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\Gamma^{\alpha}_{\beta\rho}. (4)

Здесь $\textbf{R}$ тензор Римана (тензор кривизны). Доказательство того факта, что $\textbf{R}$ является тензором, опирается на так называемой теореме о частном.
Самый простой тип связность это связность Леви-Чивиты (символы Кристофеля), которою ещё называют связность, ассоциированная с метрикой. Она определяется через частными производными от компонентов метрического тензора $\textbf{g}$:

\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\equiv \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\left(g_{\mu\beta,\nu}-g_{\mu\nu,\beta}+g_{\beta\nu,\mu}\right)=g^{\alpha\beta}\Gamma_{\beta\mu\nu}. (5)

Напоминаем, что метрический тензор определяет инфинитезимальное расстояние между точками многообразия с координатами $x^{\mu}$ и $x^{\mu}+dx^{\mu}$:

ds^{2}\equiv g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta},\ detg\equiv g\neq 0. (6)

Контравариантный тензор $\textbf{g}$, рассматриваемым как матрица, по определении является обратной по отношении матрицы соответствующего ковариантного тензора. С другими словами:

g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=g^{\mu}_{\ \nu}\equiv \left\{ \begin{array}{ll} 1,\ \mu=\nu \\ 0,\ \mu\neq \nu \end{array} \right. (7)

Кстати, по отн. связности (5) метрический тензор ковариантно постоянен:

g_{\mu\nu ;\rho}=0. (8)

После этого вступления, думаю можем заняться с вопросом о Ли-производной от связности. При этом наше рассмотрение применимо для любой симметричной связности.

**************************************************

Пусть рассмотрим:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}=(\xi^{\alpha}A_{\mu ;\alpha}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu})_{;\nu}=\xi^{\alpha}A_{\mu ;\alpha\nu}+\xi^{\alpha}_{\ ;\nu}A_{\mu ;\alpha}+A_{\alpha ;\nu}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}

\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=\xi^{\alpha}A_{\mu ;\nu\alpha}+A_{\alpha ;\nu}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu}+A_{\mu ;\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\nu}.

Видим, что:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\alpha}A_{\mu ;[\alpha\nu]}.

Используя (3), можем записать:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}(\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}). (9)

Далее берём те же самые выражения, но на этот раз записываем ковариантную производну явно:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}=(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-(\pounds_{\xi}A_{\alpha})\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}

\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu}-A_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})-(\pounds_{\xi}A_{\alpha})\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.

Отсюда следует, что:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})+A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}. (10)

Осталось рассмотреть:

\begin{array}{ll} (\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=(\xi^{\alpha}A_{\mu ,\alpha}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu})_{,\nu}-(\xi^{\alpha}A_{\mu ,\nu\alpha}+A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}+A_{\mu ,\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu})=\\ =\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}A_{\mu ,\alpha}+\xi^{\alpha}A_{\mu ,\alpha\nu}+A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}-\xi^{\alpha}A_{\mu ,\nu\alpha}-A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}-A_{\mu ,\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}. \end{array}

Получаем, что:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}. (11)

Таким образом:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}(\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}). (12)

Отсюда, пользуясь теоремы о частном, можем заключить, что:

\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}, (13)

является тензором. Согласно (9) и (12) для этого тензора выполняется следующее тождество:

\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}.

[Munin]

Vitalius в сообщении #604625 писал(а):

Поскольку я люблю проверять сам мат. утверждения, которые встречаю

Только так и надо читать учебники. И тем более статьи.

[Oleg Zubelevich]

Были проделаны некоторые выкладки и получена некоторая формула. Однако, хотелось бы сперва увидеть определение понятия "производная Ли от связности" в инвариантных терминах, а потом из определения вывод вычислительной формулы. Вот есь, например, инвариантное определение производной Ли от тензорного поля.

[Vitalius]

Oleg Zubelevich в сообщении #604666 писал(а):

...определение понятия "производная Ли от связности" в инвариантных терминах, а потом из определения вывод вычислительной формулы. Вот есь, например, инвариантное определение производной Ли от тензорного поля.

Имеете ввиду наверное бескоординатная запись и определение Ли-производной от тензорного поля через локальную однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия. Да? Так или иначе это даст Вам те выражения для компонент Ли-производной от тензорного поля, которые я использовал. В (2) записал эти выражения для случая смешанного тензорного поля второго ранга. Компоненты Ли-производной от связности строил аналогично. В (13) после $\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}$ именно это и записано.

[Oleg Zubelevich]

напишите пожалуйста инвариантное определение производной Ли от связности

[epros]

Я дошёл вот до этого места:

Vitalius в сообщении #604625 писал(а):

Далее берём те же самые выражения, но на этот раз записываем ковариантную производну явно:

[skip]

\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu}-A_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})-(\pounds_{\xi}A_{\alpha})\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.

и споткнулся на вопросе:
Откуда взято, что Ли-производную произведения НЕ тензоров можно расписать по правилу Лейбница?

[Vitalius]

Уважаемый Oleg Zubelevich!
Вы же видите, что я использовал координатную запись. Для меня компоненты Ли-производной от связности определяется так:

\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}.

epros в сообщении #604723 писал(а):

Откуда взято, что Ли-производную произведения НЕ тензоров можно расписать по правилу Лейбница?

Да, это интересный вопрос. В литературе он мало освещён. На самом деле там где к Вам пришёл вопрос, речь идёт о Ли-производной произведения вектора (тензор первого ранга) с НЕ тензором (в данном случае - связность). Но ничего. Я считал, что так как тензоры это частные случаи геометрических объектов (с полилинейним законом преобразования компонентов при замене координат), то если знаем как можем строить Ли-производную от произвольного тензора рангом $k$, то тогда компоненты Ли-производной от НЕ тензора рангом $k$, можем найти, так сказать, по образу и подобию того способа, по которым находим компонент Ли-производной тензора с рангом $k$. И тогда справедливость правило Лейбница для Ли-производную произведения НЕ тензоров - ясна.

[Oleg Zubelevich]

Vitalius в сообщении #604725 писал(а):

Уважаемый Oleg Zubelevich!
Вы же видите, что я использовал координатную запись. Для меня компоненты Ли-производной от связности определятся так:

\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}.

написать можно любую формулу, мы геометрией занимаемся, вводимые объекты должны иметь геометрический смысл. Геометрический смысл "производной Ли от связности " Вы пока объяснить не можете

тема, имхо, для "Пургатория"

[Vitalius]

Oleg Zubelevich, про Ли-производную связности в книгах по дифференциальной геометрии говорят. И мне впечатление сделало то, что обычно просто так - мимоходом. Единственно в книге А.В. Аминовой "Проективные преобразования псевдоримановых многообразий" (2003) увидел более подробное рассмотрение. Только мне не понравилось то, что там дано. И поэтому хотел разобраться, делая сам соответствующие расчёты. Поскольку мне нравится коорд. метод, то собственно именно им и пользовался. И получил, что Ли-производная от связности имеет отношение к тензором Римана. В полученном выражением заключен тот геометрический смысл, который имеет место в данном случае. Думаю, это очевидно. Или вы считаете, что у тензора кривизны нет геометрического смысла?! А может для вас это так по отношении векторного поля $\xi$, в направлением которого берётся Ли-производная?! Вы считаете, что у него нет геометрического смысла?! Да?! По пути логики до такое можем дойти, если смотрим ваши выскакивания. Я имею ввиду вот это:

Oleg Zubelevich в сообщении #604732 писал(а):

Геометрический смысл "производной Ли от связности " Вы пока объяснить не можете

В общем, если вы знаете бескоординатное определение Ли-производной от связности, то скажите! А так, может стоит вам пойти отдыхать - в какого-нибудь санатория. Ведь, лето же на дворе.

[Vitalius]

Дирак наверное тоже "безграмотен". Ведь и он применял дифференциальные операторы по отношению нетензоров. Oleg Zubelevich, вместо того, чтобы набрасываться и переходить на личностью (в нарушением правила сего форума), лучше просветите нас "безграмотных"! Скажите как определяется бескоорднинатно Ли-производная от связности! Потом выведите те тензорные соотношения, которые для неё выполняются! Либо скажите почему не только я, но и например госпожа Аминова пишет о вещах, которые согласно вашего мнения бессмысленны с геометрической точки зрения? А так, должен сказать, что ваше арогантное поведение переходит всякие границы! Уймитесь!

[Oleg Zubelevich]

тихо сам с собою я веду беседу(с)

[scwec]

Vitalius в сообщении #604625 писал(а):

Многие наверное читали в книжках по Римановой (псевдоримановой) геометрии декларации, имеющие отношение к вопросу о Ли-производной связности.

Из любопытства - в каких книжках и что за декларации?

[Vitalius]

Scwec, да в новых книжках обычно говорят - например когда перечисляют свойства Ли-производной. Я дал одну такую книгу - посмотрите чуть выше! Это книга А.В. Аминовой "Проективные преобразования псевдоримановых многообразий" (2003). Можете сами поискать другие. У меня библиотека большая но многие книги находятся в моём загородном доме. Сейчас у меня под руки книжка Ю.С. Владимирова "Классическая теория гравитации" (2009). Вот там, в гл. 5 "Применение монадного метода" и есть короткий обзор по Ли-производных. На стр. 173 можете прочитать:

Цитата:

III. Перечислим основные свойства производных Ли.

1) Производная Ли от суммы величин одинакового сорта равна сумме производных Ли от слагаемых.

2) Для производных Ли от произведения величин $A$ и $B$ справедливо правило Лейбница...

3) Производная Ли от тензорной плотности произвольного веса $w$ также является тензорной плотности того же веса.

4) Производная Ли от символов Кристоффеля определяется указанным выше способом (на стр. 172 - заметка моя) и является тензорной величиной

Вот о таких декларациях говорил - как ту, которая в 4) пункте. И хотел разобраться. Настораживает, ибо 4) и 2) означают, что производные Ли от символов Кристоффеля первого и второго рода, не могут быть одновременно тензорами.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, теперь понятно что сами стёрли тот ваш коммент на котором я ответил со своим предыдущим комментом. Не смотря на это, грубость вашу я не забыл. Так же как и то, что в нарушений правил сего форума, перешли все границы нормального человеческого общения. В этом плане моя рекомендация о том, что стоит вам пойти отдохнуть, становиться более актуальной. Ибо той агрессии которые вы проявили, как по-мягче сказать - странна.

[Oleg Zubelevich]

Vitalius в сообщении #605014 писал(а):

Oleg Zubelevich, теперь понятно что сами стёрли тот ваш коммент о котором я говорил. Не смотря на это, грубость вашу я не забыл.

Меня это не беспокоит, что вы не забыли. Вы некомпетентны абсолютно в вопросе, о котором взялись писать. Учить геометрию надо по классическим курсам, которых много, Кобаяси Номидзу, например. А пока вы будете учить ее по учебникам физики и еще непойми по чему, вы и дальше будете не понимать базовые вещи. Что такое инвариантность, в частности.

[Vitalius]

А кто вам говорил, что я учусь по учебникам физики? Двухтомник Кобаяси и Нумидзу как раз не в загородном моём доме, а здесь. И я его читал. Но всё-таки мне больше нравится Рашевский. Может старомодно это, но факт. Опять вам говорю, вместо того, чтобы обвинять меня в некомпетентности, возьмите и сам разъясните что как в данном случае! А так - вы простой хам.