Ли-производная от связности

[Oleg Zubelevich]

jaki jest niespokójny chłopiec

[Утундрий]

(Оффтоп)

Какой занятный холивар я проморгал: кошерно ли применять точку с запятой к символам Кристоффеля?

[Munin]

(Оффтоп)

И как ваш холиворд: кошерно ли?

[scwec]

(Оффтоп)

Яно К., Бохнер С. "Кривизна и числа Бетти" 1957 год на русском языке, 1953 год английское издание.
Вот где формула для проиводной Ли коэффициента аффинной связности появилась (на 41 странице).
Видимо, отсюда она и начала путешествие по отечественным произведениям.

[Vitalius]

scwec в сообщении #610210 писал(а):

Яно К., Бохнер С. "Кривизна и числа Бетти" 1957 год на русском языке, 1953 год английское издание.
Вот где формула для проиводной Ли коэффициента аффинной связности появилась (на 41 странице).
Видимо, отсюда она и начала путешествие по отечественным произведениям.

Саму книгу можно скачать вот отсюда (djvu). А вот и те страницы, которые касаются теме:

Цитата:

Кстати на 41 стр. видно, что у Яно и Бохнера в определением тензора Римана был взять другой знак, чем тот, который использовали здесь (ибо $R^{\alpha}_{\ \mu\nu\rho}=-R^{\alpha}_{\ \mu\rho\nu}$). Но это не принципиально - тензор Римана всегда определяется с точностью до знака. Однако, надо отметить, что Яно и Бохнер нашли выражение для Ли-производной от связности через локальную однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия - т.е. с помощью прямом применением определения для Ли-производной, которое в общем случае связано с относительно громоздкими вычислениями. Проще получается если используем то, что Ли-производная коммутирует с частной производной.

[Vitalius]

Это когда рассматриваем:

$(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})$

Между прочим когда при нахождением (13) используем то что Ли-производная и частная производная коммутируют, для полноты надо ещё и доказать это.

[Oleg Zubelevich]

Vitalius в сообщении #610357 писал(а):

используем то что Ли-производная и частная производная коммутируют,

вообще говоря, это глупость

[Vitalius]

Oleg Zubelevich в сообщении #610468 писал(а):

Vitalius в сообщении #610357 писал(а):

используем то что Ли-производная и частная производная коммутируют,

вообще говоря, это глупость

Так, записываем это изъявление. Теперь пусть дадим то, соотношение, которые приводят когда говорят о производные Ли тензорных полей:

$\pounds_{\xi}\left(\partial_{\nu}T^{\alpha..}_{\mu..}\right)=\partial_{\nu}\pounds_{\xi}T^{\alpha..}_{\mu..}.$

Здесь нарочно сохранил запись частной производны в этом виде - с $\partial$. Комментировать этого соотношения в связи с изъявлением, которое цитировал, не буду. Только скажу, что я использовал данное соотношение в уточнённом (11):

$(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=0.$

Так на прямую получил верное выражение для Ли-производной от связности:

$\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}.$

Ни более, ни менее. На этом фоне всякие неподкреплённые ничем изъявления меня могут только смешать - вот так . Заигрывание с терминологией типа, "нельзя назвать $\pounds_{\xi}\left(\partial_{\nu}T^{\alpha..}_{\mu..}\right)$ Ли-производной", не могут помочь.

[Oleg Zubelevich]

Vitalius в сообщении #610552 писал(а):

Так, записываем это изъявление. Теперь пусть дадим то, соотношение, которые приводят когда говорят о производные Ли тензорных полей:

$\pounds_{\xi}\left(\partial_{\nu}T^{\alpha..}_{\mu..}\right)=\partial_{\nu}\pounds_{\xi}T^{\alpha..}_{\mu..}.$

Здесь нарочно сохранил запись частной производны в этом виде - с $\partial$

вот это и есть глупость, у вас квалификация на нуле, вам не писать надо , а читать

[Vitalius]

Oleg Zubelevich, ваше мнение меня не интересует. И причины для это много. Вам не писать надо, а считать.

[scwec]

1.Опредление производной Ли связности и все вычисления, связанные с этими делами, проведены давным-давно. Причем это делалось в разных вариантах - в координатных, в инвариантных, в рамках понятий расслоенных пространств и без них. Ссылки я приводил.
2. Вычисления которые здесь производились имеют право на существование, как и все, что можно написать.
И вот еще что. Производная Ли и частная производная вовсе не обязаны коммутировать.
Примените оба оператора и их коммутатор просто к функции (может быть, конечно, подразумевалось что-то другое) и убедитесь в этом.

[Oleg Zubelevich]

scwec
обратите внимание на это topic61719.html
совершенно очаровательный пример бифуркации: предельный цикл превращается в восьмерку сепаратрис, а та в свою очередь разваливается на два предельных цикла

[Vitalius]

scwec в сообщении #611338 писал(а):

Примените оба оператора и их коммутатор просто к функции (может быть, конечно, подразумевалось что-то другое) и убедитесь в этом.

Scwec, чтобы применить Ли-производной к каким-то объектом, надо знать как меняются компоненты этого объекта при замене координат. Что касается коммутатора Ли-производной и частной производной, здесь это утверждалось в более узком смысле, а именно что Ли-производная от частной производны тензора, равна частной производны от Ли-производной того же самого тензора. Можете проверить, что таким образом Ли-производная от связности, получается в вид одинаков с том, который будет если применим определение для Ли-производной по отношение к объектом связности.

[Oleg Zubelevich]

scwec
это бесполезно, мне это было ясно сразу

[scwec]

Я в самом начале в двух сообщениях предлагал прекратить эти обсуждения.
Дальше продолжать участвовать в теме и переводить время не вижу смысла.
Пожелаю все же автору расчетов творческих успехов. Но это уже без меня.