2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 02:24 


02/08/12
142
Многие наверное читали в книжках по Римановой (псевдоримановой) геометрии декларации, имеющие отношение к вопросу о Ли-производной связности. Говорю декларации в виде того, что обычно доказательства не даются. Поскольку я люблю проверять сам мат. утверждения, которые встречаю, то и в данном случае так делал. Решил поделиться с вами о результате этой проверки, в виде того, что она, на мой взгляд, получилась довольно нетрудоемкой.
И так пусть нам дано Римановое или Псевдоримановое многообразие в котором ковариантная производная строится с помощью симметричной связности $\Gamma$ ($\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}$) - т.е. многообразие в котором тензор кручения тождественно равен нулю ($\Gamma^{\alpha}_{[\mu\nu]}=0$). Знаем, что компоненты ковариантной производной от смешанного тензорного поля второго ранга таковы:

T^{\mu}_{\ \nu;\rho}\equiv T^{\mu}_{\ \nu,\rho}+T^{\alpha}_{\ \nu}\Gamma^{\mu}_{\alpha\rho}-T^{\mu}_{\ \alpha}\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}. (1)

Здесь и далее, как обычно применяем Эйнштейновское правило суммирования по дважды повторяющихся контра (верхние) и ковариантные (нижние) индексы. Кроме того $T^{\mu}_{\ \nu,\rho}\equiv \frac{\partial T^{\mu}_{\ \nu}}{\partial x^{\rho}}.$ Поскольку ковариантная производная является тензором, а частная производная в общим случаем нет, то ясно, что сама связность тензором не является. Относительно тензорах, напомним, что при замене коорд. сист., их новые компоненты выражаются полилинейно через старые:

T^{\mu'}_{\ \nu'}\equiv T^{\mu}_{\ \nu}X^{\mu'}_{\mu}X^{\nu}_{\nu'}=T^{\mu}_{\ \nu}\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\ \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}.

Компоненты Ли-производной по направление векторного поля $\xi$, от того же самого смешанного тензорного поля второго ранга, соответственно задаются так:

\pounds_{\xi}T^{\mu}_{\ \nu}\equiv\xi^{\alpha} T^{\mu}_{\ \nu,\alpha}-T^{\alpha}_{\ \nu}\xi^{\mu}_{\ ,\alpha}+T^{\mu}_{\ \alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}. (2)

Важно, что в (2) можем заменять все частные производные с ковариантными в виде того, что после такой замене все члены, в которых присутствуют компоненты связности, сократятся. Это известное свойство Ли-производной. (1) и (2) привели в качестве примера о том как строятся ковариантные и Ли-производные от произвольных тензорных полей - путем добавления соответствующих членов (с плюсом или минусом) для каждого контра и ковариантного индекса. Известно также, что ковариантные и Ли-производные удовлетворяют правило Лейбница. Т.е.:

\pounds_{\xi}\left(T^{\mu...}_{\nu...}S^{\rho...}_{\sigma...}\right)=\left(\pounds_{\xi}T^{\mu...}_{\nu...}\right)S^{\rho...}_{\sigma...}+T^{\mu...}_{\nu...}\left(\pounds_{\xi}S^{\rho...}_{\sigma...}\right).

\left(T^{\mu...}_{\nu...}S^{\rho...}_{\sigma...}\right)_{;\tau}=T^{\mu...}_{\nu...;\tau}S^{\rho...}_{\sigma...}+T^{\mu...}_{\nu...}S^{\rho...}_{\sigma...;\tau}

Думаю все это знают.

Для произвольного векторного поля $\textbf{A}$ верно, что:

A_{\mu;\nu\rho}-A_{\mu;\rho\nu}\equiv A_{\mu;[\nu\rho]}=A_{\alpha}R^{\alpha}_{\ \mu\nu\rho}, (3)

где:

R^{\alpha}_{\ \mu\nu\rho}\equiv\Gamma^{\alpha}_{\mu\rho,\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu,\rho}+\Gamma^{\beta}_{\mu\rho}\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\Gamma^{\alpha}_{\beta\rho}. (4)

Здесь $\textbf{R}$ тензор Римана (тензор кривизны). Доказательство того факта, что $\textbf{R}$ является тензором, опирается на так называемой теореме о частном.
Самый простой тип связность это связность Леви-Чивиты (символы Кристофеля), которою ещё называют связность, ассоциированная с метрикой. Она определяется через частными производными от компонентов метрического тензора $\textbf{g}$:

\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\equiv \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\left(g_{\mu\beta,\nu}-g_{\mu\nu,\beta}+g_{\beta\nu,\mu}\right)=g^{\alpha\beta}\Gamma_{\beta\mu\nu}. (5)

Напоминаем, что метрический тензор определяет инфинитезимальное расстояние между точками многообразия с координатами $x^{\mu}$ и $x^{\mu}+dx^{\mu}$:

ds^{2}\equiv g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta},\ detg\equiv g\neq 0. (6)

Контравариантный тензор $\textbf{g}$, рассматриваемым как матрица, по определении является обратной по отношении матрицы соответствующего ковариантного тензора. С другими словами:

g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=g^{\mu}_{\ \nu}\equiv \left\{
                                                       \begin{array}{ll}
                                                         1,\ \mu=\nu \\
                                                         0,\ \mu\neq \nu
                                                       \end{array}
                                                     \right. (7)

Кстати, по отн. связности (5) метрический тензор ковариантно постоянен:

g_{\mu\nu ;\rho}=0. (8)

После этого вступления, думаю можем заняться с вопросом о Ли-производной от связности. При этом наше рассмотрение применимо для любой симметричной связности.

**************************************************

Пусть рассмотрим:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}=(\xi^{\alpha}A_{\mu ;\alpha}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu})_{;\nu}=\xi^{\alpha}A_{\mu ;\alpha\nu}+\xi^{\alpha}_{\ ;\nu}A_{\mu ;\alpha}+A_{\alpha ;\nu}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}

\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=\xi^{\alpha}A_{\mu ;\nu\alpha}+A_{\alpha ;\nu}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu}+A_{\mu ;\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\nu}.

Видим, что:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\alpha}A_{\mu ;[\alpha\nu]}.

Используя (3), можем записать:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}(\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}). (9)

Далее берём те же самые выражения, но на этот раз записываем ковариантную производну явно:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}=(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-(\pounds_{\xi}A_{\alpha})\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}

\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu}-A_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})-(\pounds_{\xi}A_{\alpha})\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.

Отсюда следует, что:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})+A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}. (10)

Осталось рассмотреть:

\begin{array}{ll}
    (\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=(\xi^{\alpha}A_{\mu ,\alpha}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu})_{,\nu}-(\xi^{\alpha}A_{\mu ,\nu\alpha}+A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}+A_{\mu ,\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu})=\\
    =\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}A_{\mu ,\alpha}+\xi^{\alpha}A_{\mu ,\alpha\nu}+A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}-\xi^{\alpha}A_{\mu ,\nu\alpha}-A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}-A_{\mu ,\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}.
    \end{array}

Получаем, что:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}. (11)

Таким образом:

(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}(\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}). (12)

Отсюда, пользуясь теоремы о частном, можем заключить, что:

\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}, (13)

является тензором. Согласно (9) и (12) для этого тензора выполняется следующее тождество:

\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 02:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Vitalius в сообщении #604625 писал(а):
Поскольку я люблю проверять сам мат. утверждения, которые встречаю

Только так и надо читать учебники. И тем более статьи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 09:30 


10/02/11
6786
Были проделаны некоторые выкладки и получена некоторая формула. Однако, хотелось бы сперва увидеть определение понятия "производная Ли от связности" в инвариантных терминах, а потом из определения вывод вычислительной формулы. Вот есь, например, инвариантное определение производной Ли от тензорного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 10:49 


02/08/12
142
Oleg Zubelevich в сообщении #604666 писал(а):
...определение понятия "производная Ли от связности" в инвариантных терминах, а потом из определения вывод вычислительной формулы. Вот есь, например, инвариантное определение производной Ли от тензорного поля.


Имеете ввиду наверное бескоординатная запись и определение Ли-производной от тензорного поля через локальную однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия. Да? Так или иначе это даст Вам те выражения для компонент Ли-производной от тензорного поля, которые я использовал. В (2) записал эти выражения для случая смешанного тензорного поля второго ранга. Компоненты Ли-производной от связности строил аналогично. В (13) после $\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}$ именно это и записано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 12:49 


10/02/11
6786
напишите пожалуйста инвариантное определение производной Ли от связности

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Я дошёл вот до этого места:
Vitalius в сообщении #604625 писал(а):
Далее берём те же самые выражения, но на этот раз записываем ковариантную производну явно:

[skip]

\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu}-A_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu})=\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})-(\pounds_{\xi}A_{\alpha})\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.
и споткнулся на вопросе:
Откуда взято, что Ли-производную произведения НЕ тензоров можно расписать по правилу Лейбница?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 13:04 


02/08/12
142
Уважаемый Oleg Zubelevich!
Вы же видите, что я использовал координатную запись. Для меня компоненты Ли-производной от связности определяется так:

\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}.

epros в сообщении #604723 писал(а):
Откуда взято, что Ли-производную произведения НЕ тензоров можно расписать по правилу Лейбница?


Да, это интересный вопрос. В литературе он мало освещён. На самом деле там где к Вам пришёл вопрос, речь идёт о Ли-производной произведения вектора (тензор первого ранга) с НЕ тензором (в данном случае - связность). Но ничего. Я считал, что так как тензоры это частные случаи геометрических объектов (с полилинейним законом преобразования компонентов при замене координат), то если знаем как можем строить Ли-производную от произвольного тензора рангом $k$, то тогда компоненты Ли-производной от НЕ тензора рангом $k$, можем найти, так сказать, по образу и подобию того способа, по которым находим компонент Ли-производной тензора с рангом $k$. И тогда справедливость правило Лейбница для Ли-производную произведения НЕ тензоров - ясна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 13:23 


10/02/11
6786
Vitalius в сообщении #604725 писал(а):
Уважаемый Oleg Zubelevich!
Вы же видите, что я использовал координатную запись. Для меня компоненты Ли-производной от связности определятся так:

\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}.

написать можно любую формулу, мы геометрией занимаемся, вводимые объекты должны иметь геометрический смысл. Геометрический смысл "производной Ли от связности " Вы пока объяснить не можете

тема, имхо, для "Пургатория"

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 13:39 


02/08/12
142
Oleg Zubelevich, про Ли-производную связности в книгах по дифференциальной геометрии говорят. И мне впечатление сделало то, что обычно просто так - мимоходом. Единственно в книге А.В. Аминовой "Проективные преобразования псевдоримановых многообразий" (2003) увидел более подробное рассмотрение. Только мне не понравилось то, что там дано. И поэтому хотел разобраться, делая сам соответствующие расчёты. Поскольку мне нравится коорд. метод, то собственно именно им и пользовался. И получил, что Ли-производная от связности имеет отношение к тензором Римана. В полученном выражением заключен тот геометрический смысл, который имеет место в данном случае. Думаю, это очевидно. Или вы считаете, что у тензора кривизны нет геометрического смысла?! А может для вас это так по отношении векторного поля $\xi$, в направлением которого берётся Ли-производная?! Вы считаете, что у него нет геометрического смысла?! Да?! По пути логики до такое можем дойти, если смотрим ваши выскакивания. Я имею ввиду вот это:

Oleg Zubelevich в сообщении #604732 писал(а):
Геометрический смысл "производной Ли от связности " Вы пока объяснить не можете


В общем, если вы знаете бескоординатное определение Ли-производной от связности, то скажите! А так, может стоит вам пойти отдыхать - в какого-нибудь санатория. Ведь, лето же на дворе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 14:56 


02/08/12
142
Дирак наверное тоже "безграмотен". Ведь и он применял дифференциальные операторы по отношению нетензоров. Oleg Zubelevich, вместо того, чтобы набрасываться и переходить на личностью (в нарушением правила сего форума), лучше просветите нас "безграмотных"! Скажите как определяется бескоорднинатно Ли-производная от связности! Потом выведите те тензорные соотношения, которые для неё выполняются! Либо скажите почему не только я, но и например госпожа Аминова пишет о вещах, которые согласно вашего мнения бессмысленны с геометрической точки зрения? А так, должен сказать, что ваше арогантное поведение переходит всякие границы! Уймитесь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 15:23 


10/02/11
6786
тихо сам с собою я веду беседу(с) :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение10.08.2012, 17:11 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Vitalius в сообщении #604625 писал(а):
Многие наверное читали в книжках по Римановой (псевдоримановой) геометрии декларации, имеющие отношение к вопросу о Ли-производной связности.

Из любопытства - в каких книжках и что за декларации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение11.08.2012, 12:17 


02/08/12
142
Scwec, да в новых книжках обычно говорят - например когда перечисляют свойства Ли-производной. Я дал одну такую книгу - посмотрите чуть выше! Это книга А.В. Аминовой "Проективные преобразования псевдоримановых многообразий" (2003). Можете сами поискать другие. У меня библиотека большая но многие книги находятся в моём загородном доме. Сейчас у меня под руки книжка Ю.С. Владимирова "Классическая теория гравитации" (2009). Вот там, в гл. 5 "Применение монадного метода" и есть короткий обзор по Ли-производных. На стр. 173 можете прочитать:

Цитата:
III. Перечислим основные свойства производных Ли.

1) Производная Ли от суммы величин одинакового сорта равна сумме производных Ли от слагаемых.

2) Для производных Ли от произведения величин $A$ и $B$ справедливо правило Лейбница...

3) Производная Ли от тензорной плотности произвольного веса $w$ также является тензорной плотности того же веса.

4) Производная Ли от символов Кристоффеля определяется указанным выше способом (на стр. 172 - заметка моя) и является тензорной величиной


Вот о таких декларациях говорил - как ту, которая в 4) пункте. И хотел разобраться. Настораживает, ибо 4) и 2) означают, что производные Ли от символов Кристоффеля первого и второго рода, не могут быть одновременно тензорами.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, теперь понятно что сами стёрли тот ваш коммент на котором я ответил со своим предыдущим комментом. Не смотря на это, грубость вашу я не забыл. Так же как и то, что в нарушений правил сего форума, перешли все границы нормального человеческого общения. В этом плане моя рекомендация о том, что стоит вам пойти отдохнуть, становиться более актуальной. Ибо той агрессии которые вы проявили, как по-мягче сказать - странна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение11.08.2012, 12:47 


10/02/11
6786
Vitalius в сообщении #605014 писал(а):
Oleg Zubelevich, теперь понятно что сами стёрли тот ваш коммент о котором я говорил. Не смотря на это, грубость вашу я не забыл.
Меня это не беспокоит, что вы не забыли. Вы некомпетентны абсолютно в вопросе, о котором взялись писать. Учить геометрию надо по классическим курсам, которых много, Кобаяси Номидзу, например. А пока вы будете учить ее по учебникам физики и еще непойми по чему, вы и дальше будете не понимать базовые вещи. Что такое инвариантность, в частности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ли-производная от связности
Сообщение11.08.2012, 12:58 


02/08/12
142
А кто вам говорил, что я учусь по учебникам физики? Двухтомник Кобаяси и Нумидзу как раз не в загородном моём доме, а здесь. И я его читал. Но всё-таки мне больше нравится Рашевский. Может старомодно это, но факт. Опять вам говорю, вместо того, чтобы обвинять меня в некомпетентности, возьмите и сам разъясните что как в данном случае! А так - вы простой хам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group