тензорное произведение

[Oleg Zubelevich]

простая такая задача, просто на определение
Имеются два линейных пространства $X,Y$.

Пусть $Y=\{0\}$.

$X\otimes Y=?,\quad X\times Y=?$

[Профессор Снэйп]

$X \times Y \cong X$, $X \otimes Y \cong Y$.

[Mathusic]

Oleg Zubelevich в сообщении #603505 писал(а):

Пусть $Y=\{0\}$.
$X\otimes Y=?

$x \otimes 0 = ?$

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603529 писал(а):

$x \otimes 0 = ?$

$x \otimes 0 = x \otimes (0 + 0) = x \otimes 0 + x \otimes 0 \Rightarrow x \otimes 0 = 0$

-- Пн авг 06, 2012 22:34:22 --

Можно ещё на размерности посмотреть. $\mathrm{dim}(X \times Y) = \mathrm{dim}(X) + \mathrm{dim}(Y)$, $\mathrm{dim}(X \otimes Y) = \mathrm{dim}(X) \cdot \mathrm{dim}(Y)$. А если $\mathrm{dim}(Y) = 0$, то...

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603532 писал(а):

Можно ещё на размерности посмотреть.

По размерности слишком читерно А нам же нужно понимание.

Профессор Снэйп в сообщении #603532 писал(а):

$\mathrm{dim}(X \times Y) = \mathrm{dim}(X) + \mathrm{dim}(Y)$

А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603539 писал(а):

А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств?

То же самое, что $X \oplus Y$

-- Пн авг 06, 2012 22:51:27 --

Mathusic в сообщении #603539 писал(а):

А нам же нужно понимание.

С пониманием всё просто.

$X \otimes Y$ - это, с точностью до изоморфизма, множество значений "универсальной" билинейной формы $X \times Y \to Z$. Ну а при $Y = \{ 0 \}$ существует лишь одна билинейная форма - нулевая.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603540 писал(а):

Mathusic в сообщении #603539 писал(а):

А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств?

То же самое, что $X \oplus Y$

Не... Ну а если эти пространства $X$ и $Y$ пересекаются? Тогда нужно ещё размерность пересечения вычитать

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603542 писал(а):

Не... Ну а если эти пространства и пересекаются? Тогда нужно ещё размерность пересечения вычитать

Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603543 писал(а):

Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

А ну да, что-то я попутал

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603544 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #603543 писал(а):

Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

Ну а вдруг пространства пересекаются? Например $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$? Что делать будем?

Что Вас так смущает это пересечение?

Принято рассматривать две прямых суммы: внешнюю и внутреннюю. Внешняя прямая сумма $X \oplus Y$ по определению равна $X \times Y$ с покомпонентными операциями. А внутренняя прямая сумма $X + Y$ рассматривается только тогда, когда $X, Y$ - подпространства в некотором пространстве $Z$ и $X \cap Y = \{ 0 \}$. В этом случае внутренняя сумма оказывается подпространством того же пространства и она изоморфна внешней прямой сумме.

Так вот: я писал про внешнюю прямую сумму. Никакими пересечениями при работе с ней заморачиваться не надо.

-- Пн авг 06, 2012 23:04:56 --

Вот, почитайте. Ссылка должна открыться на параграфе, объясняющем про внешнюю прямую сумму. А первый параграф - он про внутреннюю, его читать не надо

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603548 писал(а):

Что Вас так смущает это пересечение?

Да я уже пост исправил
Попутал я с суммой подпространств!
Например, $\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}^2,$ если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое $\mathbb{R}^3.$ Всё чётко

[Профессор Снэйп]

Вот, кстати, с векторными пространствами наблюдается типичная ситуация: прямая сумма конечного семейства слагаемых изоморфна их прямому произведению. С бесконечным набором пространств это уже не так, и произведение значительно больше суммы.

И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.

-- Пн авг 06, 2012 23:12:05 --

Mathusic в сообщении #603551 писал(а):

Попутал я с суммой подпространств!
Например, $\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}^2,$ если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое $\mathbb{R}^3.$ Всё чётко

У нас на первом курсе лектор по алгебре (кстати, член-корр. РАН и вообще навороченный дядька) для обозначения суммы подпространств использовал обычный плюс. То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.

-- Пн авг 06, 2012 23:17:49 --

И ещё должен заметить, что у Вас в рассуждениях есть некоторая некорректность. Вы считаете, что $\mathbb{R}$ - подпространство в $\mathbb{R}^2$. Формально это не так. Хотя, конечно, можно зафиксировать некоторое изоморфное вложение $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$ и отождествлять $\mathbb{R}$ с образом этого вложения.

А вот тут уже можно крутить по разному. Например, начать отождествлять как $\mathbb{R}$, так и $\mathbb{R}^2$ с некоторыми подпространствами в $\mathbb{R}^3$. И тогда значение $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$ может оказаться равным как $\mathbb{R}^2$, так и $\mathbb{R}^3$, всё зависит от конкретных отождествляющих вложений.

[Oleg Zubelevich]

Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):

И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.

а почему в категорных? что содержательного словечки про категории добавят вот к этому:

Профессор Снэйп в сообщении #603540 писал(а):

$X \otimes Y$ - это, с точностью до изоморфизма, множество значений "универсальной" билинейной формы $X \times Y \to Z$

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):

То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.

Согласен. Или, уж если обозначать сумму подпространств через $\oplus$, то тогда всегда пользоваться тем же значком, что и для декартова произведения, для прямой суммы пространств!

[Профессор Снэйп]

Oleg Zubelevich в сообщении #603556 писал(а):

а почему в категорных? что содержательного словечки про категории добавят вот к этому:

В категорных терминах всё красиво, чётко и не содержит никаких двусмысленностей. Мне очень нравится