Вот, кстати, с векторными пространствами наблюдается типичная ситуация: прямая сумма конечного семейства слагаемых изоморфна их прямому произведению. С бесконечным набором пространств это уже не так, и произведение значительно больше суммы.
И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.
-- Пн авг 06, 2012 23:12:05 --Попутал я с суммой подпространств!
Например,
если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое
Всё чётко
У нас на первом курсе лектор по алгебре (кстати, член-корр. РАН и вообще навороченный дядька) для обозначения суммы подпространств использовал обычный плюс. То есть писал
. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется
, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.
-- Пн авг 06, 2012 23:17:49 --И ещё должен заметить, что у Вас в рассуждениях есть некоторая некорректность. Вы считаете, что
- подпространство в
. Формально это не так. Хотя, конечно, можно зафиксировать некоторое изоморфное вложение
в
и отождествлять
с образом этого вложения.
А вот тут уже можно крутить по разному. Например, начать отождествлять как
, так и
с некоторыми подпространствами в
. И тогда значение
может оказаться равным как
, так и
, всё зависит от конкретных отождествляющих вложений.