2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 17:05 


10/02/11
6786
простая такая задача, просто на определение
Имеются два линейных пространства $X,Y$.

Пусть $Y=\{0\}$.

$X\otimes Y=?,\quad X\times Y=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 18:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
$X \times Y \cong X$, $X \otimes Y \cong Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:21 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Oleg Zubelevich в сообщении #603505 писал(а):
Пусть $Y=\{0\}$.
$X\otimes Y=?

$x \otimes 0 = ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:32 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603529 писал(а):
$x \otimes 0 = ?$

$x \otimes 0 = x \otimes (0 + 0) = x \otimes 0 + x \otimes 0 \Rightarrow x \otimes 0 = 0$

-- Пн авг 06, 2012 22:34:22 --

Можно ещё на размерности посмотреть. $\mathrm{dim}(X \times Y) = \mathrm{dim}(X) + \mathrm{dim}(Y)$, $\mathrm{dim}(X \otimes Y) = \mathrm{dim}(X) \cdot \mathrm{dim}(Y)$. А если $\mathrm{dim}(Y) = 0$, то...

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:44 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603532 писал(а):
Можно ещё на размерности посмотреть.

По размерности слишком читерно :D А нам же нужно понимание.

Профессор Снэйп в сообщении #603532 писал(а):
$\mathrm{dim}(X \times Y) = \mathrm{dim}(X) + \mathrm{dim}(Y)$

А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:46 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603539 писал(а):
А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств? :shock:

То же самое, что $X \oplus Y$ :-)

-- Пн авг 06, 2012 22:51:27 --

Mathusic в сообщении #603539 писал(а):
А нам же нужно понимание.

С пониманием всё просто.

$X \otimes Y$ - это, с точностью до изоморфизма, множество значений "универсальной" билинейной формы $X \times Y \to Z$. Ну а при $Y = \{ 0 \}$ существует лишь одна билинейная форма - нулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:54 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603540 писал(а):
Mathusic в сообщении #603539 писал(а):
А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств? :shock:

То же самое, что $X \oplus Y$ :-)

Не... Ну а если эти пространства $X$ и $Y$ пересекаются? Тогда нужно ещё размерность пересечения вычитать :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:55 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603542 писал(а):
Не... Ну а если эти пространства и пересекаются? Тогда нужно ещё размерность пересечения вычитать

Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:57 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603543 писал(а):
Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

А ну да, что-то я попутал :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:01 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603544 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #603543 писал(а):
Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

Ну а вдруг пространства пересекаются? Например $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$? Что делать будем? :evil:

Что Вас так смущает это пересечение?

Принято рассматривать две прямых суммы: внешнюю и внутреннюю. Внешняя прямая сумма $X \oplus Y$ по определению равна $X \times Y$ с покомпонентными операциями. А внутренняя прямая сумма $X + Y$ рассматривается только тогда, когда $X, Y$ - подпространства в некотором пространстве $Z$ и $X \cap Y = \{ 0 \}$. В этом случае внутренняя сумма оказывается подпространством того же пространства и она изоморфна внешней прямой сумме.

Так вот: я писал про внешнюю прямую сумму. Никакими пересечениями при работе с ней заморачиваться не надо.

-- Пн авг 06, 2012 23:04:56 --

Вот, почитайте. Ссылка должна открыться на параграфе, объясняющем про внешнюю прямую сумму. А первый параграф - он про внутреннюю, его читать не надо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:06 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603548 писал(а):
Что Вас так смущает это пересечение?

Да я уже пост исправил :D
Попутал я с суммой подпространств!
Например, $\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}^2,$ если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое $\mathbb{R}^3.$ Всё чётко :D

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Вот, кстати, с векторными пространствами наблюдается типичная ситуация: прямая сумма конечного семейства слагаемых изоморфна их прямому произведению. С бесконечным набором пространств это уже не так, и произведение значительно больше суммы.

И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.

-- Пн авг 06, 2012 23:12:05 --

Mathusic в сообщении #603551 писал(а):
Попутал я с суммой подпространств!
Например, $\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}^2,$ если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое $\mathbb{R}^3.$ Всё чётко :D

У нас на первом курсе лектор по алгебре (кстати, член-корр. РАН и вообще навороченный дядька) для обозначения суммы подпространств использовал обычный плюс. То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.

-- Пн авг 06, 2012 23:17:49 --

И ещё должен заметить, что у Вас в рассуждениях есть некоторая некорректность. Вы считаете, что $\mathbb{R}$ - подпространство в $\mathbb{R}^2$. Формально это не так. Хотя, конечно, можно зафиксировать некоторое изоморфное вложение $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$ и отождествлять $\mathbb{R}$ с образом этого вложения.

А вот тут уже можно крутить по разному. Например, начать отождествлять как $\mathbb{R}$, так и $\mathbb{R}^2$ с некоторыми подпространствами в $\mathbb{R}^3$. И тогда значение $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$ может оказаться равным как $\mathbb{R}^2$, так и $\mathbb{R}^3$, всё зависит от конкретных отождествляющих вложений.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:18 


10/02/11
6786
Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):
И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.


а почему в категорных? что содержательного словечки про категории добавят вот к этому:
Профессор Снэйп в сообщении #603540 писал(а):
$X \otimes Y$ - это, с точностью до изоморфизма, множество значений "универсальной" билинейной формы $X \times Y \to Z$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:19 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):
То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.

Согласен. Или, уж если обозначать сумму подпространств через $\oplus$, то тогда всегда пользоваться тем же значком, что и для декартова произведения, для прямой суммы пространств!

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:20 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Oleg Zubelevich в сообщении #603556 писал(а):
а почему в категорных? что содержательного словечки про категории добавят вот к этому:

В категорных терминах всё красиво, чётко и не содержит никаких двусмысленностей. Мне очень нравится :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group