2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 17:05 


10/02/11
6786
простая такая задача, просто на определение
Имеются два линейных пространства $X,Y$.

Пусть $Y=\{0\}$.

$X\otimes Y=?,\quad X\times Y=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 18:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
$X \times Y \cong X$, $X \otimes Y \cong Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:21 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Oleg Zubelevich в сообщении #603505 писал(а):
Пусть $Y=\{0\}$.
$X\otimes Y=?

$x \otimes 0 = ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:32 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603529 писал(а):
$x \otimes 0 = ?$

$x \otimes 0 = x \otimes (0 + 0) = x \otimes 0 + x \otimes 0 \Rightarrow x \otimes 0 = 0$

-- Пн авг 06, 2012 22:34:22 --

Можно ещё на размерности посмотреть. $\mathrm{dim}(X \times Y) = \mathrm{dim}(X) + \mathrm{dim}(Y)$, $\mathrm{dim}(X \otimes Y) = \mathrm{dim}(X) \cdot \mathrm{dim}(Y)$. А если $\mathrm{dim}(Y) = 0$, то...

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:44 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603532 писал(а):
Можно ещё на размерности посмотреть.

По размерности слишком читерно :D А нам же нужно понимание.

Профессор Снэйп в сообщении #603532 писал(а):
$\mathrm{dim}(X \times Y) = \mathrm{dim}(X) + \mathrm{dim}(Y)$

А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:46 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603539 писал(а):
А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств? :shock:

То же самое, что $X \oplus Y$ :-)

-- Пн авг 06, 2012 22:51:27 --

Mathusic в сообщении #603539 писал(а):
А нам же нужно понимание.

С пониманием всё просто.

$X \otimes Y$ - это, с точностью до изоморфизма, множество значений "универсальной" билинейной формы $X \times Y \to Z$. Ну а при $Y = \{ 0 \}$ существует лишь одна билинейная форма - нулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:54 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603540 писал(а):
Mathusic в сообщении #603539 писал(а):
А что такое будет $X \times Y$ для линейных пространств? :shock:

То же самое, что $X \oplus Y$ :-)

Не... Ну а если эти пространства $X$ и $Y$ пересекаются? Тогда нужно ещё размерность пересечения вычитать :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:55 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603542 писал(а):
Не... Ну а если эти пространства и пересекаются? Тогда нужно ещё размерность пересечения вычитать

Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 19:57 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603543 писал(а):
Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

А ну да, что-то я попутал :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:01 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Mathusic в сообщении #603544 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #603543 писал(а):
Чёта Вы попутали! Ничего там не надо вычитать. Посмотрите определение прямой суммы.

Ну а вдруг пространства пересекаются? Например $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$? Что делать будем? :evil:

Что Вас так смущает это пересечение?

Принято рассматривать две прямых суммы: внешнюю и внутреннюю. Внешняя прямая сумма $X \oplus Y$ по определению равна $X \times Y$ с покомпонентными операциями. А внутренняя прямая сумма $X + Y$ рассматривается только тогда, когда $X, Y$ - подпространства в некотором пространстве $Z$ и $X \cap Y = \{ 0 \}$. В этом случае внутренняя сумма оказывается подпространством того же пространства и она изоморфна внешней прямой сумме.

Так вот: я писал про внешнюю прямую сумму. Никакими пересечениями при работе с ней заморачиваться не надо.

-- Пн авг 06, 2012 23:04:56 --

Вот, почитайте. Ссылка должна открыться на параграфе, объясняющем про внешнюю прямую сумму. А первый параграф - он про внутреннюю, его читать не надо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:06 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603548 писал(а):
Что Вас так смущает это пересечение?

Да я уже пост исправил :D
Попутал я с суммой подпространств!
Например, $\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}^2,$ если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое $\mathbb{R}^3.$ Всё чётко :D

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Вот, кстати, с векторными пространствами наблюдается типичная ситуация: прямая сумма конечного семейства слагаемых изоморфна их прямому произведению. С бесконечным набором пространств это уже не так, и произведение значительно больше суммы.

И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.

-- Пн авг 06, 2012 23:12:05 --

Mathusic в сообщении #603551 писал(а):
Попутал я с суммой подпространств!
Например, $\mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}^2,$ если рассматривать это как сумму подпространств, а если рассматривать это как прямое прямую сумму пространств, то получим целое $\mathbb{R}^3.$ Всё чётко :D

У нас на первом курсе лектор по алгебре (кстати, член-корр. РАН и вообще навороченный дядька) для обозначения суммы подпространств использовал обычный плюс. То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.

-- Пн авг 06, 2012 23:17:49 --

И ещё должен заметить, что у Вас в рассуждениях есть некоторая некорректность. Вы считаете, что $\mathbb{R}$ - подпространство в $\mathbb{R}^2$. Формально это не так. Хотя, конечно, можно зафиксировать некоторое изоморфное вложение $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$ и отождествлять $\mathbb{R}$ с образом этого вложения.

А вот тут уже можно крутить по разному. Например, начать отождествлять как $\mathbb{R}$, так и $\mathbb{R}^2$ с некоторыми подпространствами в $\mathbb{R}^3$. И тогда значение $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$ может оказаться равным как $\mathbb{R}^2$, так и $\mathbb{R}^3$, всё зависит от конкретных отождествляющих вложений.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:18 


10/02/11
6786
Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):
И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.


а почему в категорных? что содержательного словечки про категории добавят вот к этому:
Профессор Снэйп в сообщении #603540 писал(а):
$X \otimes Y$ - это, с точностью до изоморфизма, множество значений "универсальной" билинейной формы $X \times Y \to Z$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:19 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):
То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$, что, по моему глубокому убеждению, крайне неразумно.

Согласен. Или, уж если обозначать сумму подпространств через $\oplus$, то тогда всегда пользоваться тем же значком, что и для декартова произведения, для прямой суммы пространств!

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение06.08.2012, 20:20 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Oleg Zubelevich в сообщении #603556 писал(а):
а почему в категорных? что содержательного словечки про категории добавят вот к этому:

В категорных терминах всё красиво, чётко и не содержит никаких двусмысленностей. Мне очень нравится :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group