Идеальная школьная программа по математике

[nnosipov]

ewert в сообщении #602989 писал(а):

Неприятность тут в том, что непосредственно из проекционных соображений матрица Грама действительно выплывает автоматом, но лишь как матрица квадратичной формы, которая подлежит минимизации. Я не могу быть уверенным в том, что народу рассказывали об эквивалентности этой минимизационной задачи решению соответствующей системы.

Да рассказать народу, и все дела, это ведь для случая невырожденной $M$ просто нужно этому народу знать (теорему Пифагора он же знает, а тут совсем недалеко). Правда, народ сначала должен привыкнуть к тому, что положительно определённая квадратичная форма --- это и есть скалярное произведение (у меня билинейные и квадратичные формы по плану идут вообще после евклидовых пространств, и проблем никаких). Похоже, для адекватного решения Вашей проблемы важен контекст (что за народ, какова программа, последовательность изложения и т.д.).

ewert в сообщении #602989 писал(а):

Тем более для случая, когда матрица формы вырождена, т.е. лишь неотрицательна, а этот случай важен (поскольку приходится обсуждать вопрос об условиях единственности

Это совсем другое дело. Увы, никогда об этом не задумывался. Но как тогда в Вашем тексте понимать $M^{-1}$? И что, в самом деле, можно предложить в этой ситуации?

[ewert]

nnosipov в сообщении #602991 писал(а):

Это совсем другое дело. Увы, никогда об этом не задумывался. Но как тогда в Вашем тексте понимать $M^{-1}$? И что, в самом деле, можно предложить в этой ситуации?

Нет-нет, скалярное произведение подразумевалось честным, имелась в виду вырожденность матрицы Грама. Т.е. имелось в виду вот что:

$$\left\|\sum\limits_k\gamma_k\vec a_k-\vec f\right\|^2_M=(G\vec\gamma,\vec\gamma)-2\mathop{\mathrm{Re}}(\vec\gamma,\vec b)+\|\vec f\|^2_M=\min\ \Leftrightarrow\ G\vec\gamma=\vec b.$$

Так вот: последняя эквивалентность верна для любой строго положительной матрицы $G$, и этот факт стандартен (хотя я и не уверен, что моим орлам его давали -- линейную алгебру этому потоку читаю не я). А вот для вырожденной матрицы он уже не стандартен, да и место имеет лишь тогда, когда последняя система разрешима (в нашем случае это так, но связано это именно со спецификой получения этой системы).

[nnosipov]

ewert в сообщении #602999 писал(а):

имелась в виду вырожденность матрицы Грама.

Понял. Это я машинально считал, что матрица $A$ имеет полный ранг, следуя Кострикину&Манину. А почему случай вырожденной матрицы Грама важен?

[ewert]

nnosipov в сообщении #603003 писал(а):

А почему случай вырожденной матрицы Грама важен?

Потому что вырожденный случай реально возможен. Речь же о МНК, т.е. о проведении графика многочлена (вообще говоря, обобщённого) между заданными точками. И тогда встаёт вопрос: при каких условиях постановка задачи корректна, т.е. когда решение единственно (существует-то оно всегда).

[nnosipov]

А сведение к невырожденному случаю почему плохо?

[ewert]

nnosipov в сообщении #603014 писал(а):

А сведение к невырожденному случаю почему плохо?

Не понял вопроса: как можно вообще вырожденный случай свести к невырожденному? (во всяком случае, естественным образом)

Ладно, я понял, как экономнее всего выйти на МНК в общем случае (наверное, это Вы и имели в виду). Нам изначально нужна не система уравнений, а наилучшее приближение к $\vec f$ линейными комбинациями вида $\sum\limits_k\gamma_k\vec a_k$, причём векторы могут иметь какую угодно природу. Искомая комбинация -- это ортопроекция вектора $\vec f$ на линейную оболочку векторов $\vec a_i$, т.е. должно выполняться $\vec f-\sum\limits_k\gamma_k\vec a_k\perp\sum\limits_i\eta_i\vec a_i$ для всех наборов $\vec\eta$. После раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых получаем $\sum\limits_i\left((\vec f,\vec a_i)-\sum\limits_k(\vec a_k,\vec a_i)\gamma_k\right)\overline{\eta_i}$ для всех $\vec\eta$. Отсюда $\sum\limits_k(\vec a_k,\vec a_i)\gamma_k=(\vec f,\vec a_i)$ для всех $i$, а это и означает $G\vec\gamma=\vec b$. Отсюда уже автоматом следует и равносильность невырожденности матрицы Грама линейной независимости векторов $\vec a_k$ (что практически важно), и даже (что уже бантик) равносильность её невырожденности и её строгой положительности.

Жаль только, что при этом теряется само понятие псевдорешения и система $A^*A\vec\gamma=A^*\vec f$; ну, в конце концов, это можно и добавить, если захочется, это уже недорого. Я-то привык исходить именно из понятия псевдорешения; возможно, потому, что параллельно читаю один странный курс, в котором приходится залезать (на не очень серьёзном уровне, но приходится) в теорию операторов, и у меня время от времени в голове всё путается.

Спасибо.

[nnosipov]

ewert в сообщении #603010 писал(а):

И тогда встаёт вопрос: при каких условиях постановка задачи корректна, т.е. когда решение единственно (существует-то оно всегда).

Если Вы про задачу минимизации, то очевидно: когда матрица $A$ имеет полный ранг. Видимо, Ваш вопрос о том, как разумно доказать тот самый нестандартный факт. Так?

А, вот и доказательство.

-- Сб авг 04, 2012 20:41:08 --

ewert в сообщении #603022 писал(а):

Спасибо.

Взаимно. Мне как раз нужно что-то типа методички сочинять, так что очень кстати.

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #602927 писал(а):

А Вы скобочки раскройте, ...

Хорошо, убедили. Ну, значит остаётся только одно применение моему решению: это когда чётко оговорено, что в решении необходимо применить векторное произведение векторов.

[докер]

У Архитекторов есть любопытнейший образовательный проект под названием "Стрелка" обучают бесплатно, но знание английского обязательно и с МЕДИА зачем то скрестили! Удивительно в наше время и "бесплатно".

[Shtorm]

докер, а может обучаемые потом это "бесплатно" отрабатывают?

[докер]

Shtorm в сообщении #605016 писал(а):

докер, а может обучаемые потом это "бесплатно" отрабатывают?

Я тоже так подумала, особенно когда увидела фотографии первого набора, голые плечи и распущенные волосы, это вдохновило меня туда и близко не подходить, альтернатива всегда есть.

[Shtorm]

докер в сообщении #605019 писал(а):

..... голые плечи и распущенные волосы.....

Ну я-то имел ввиду какого вида отработку: что обучаемый заключает с учебным заведением договор, на основании которого, после окончания учебного заведения выпускник должен работать на каком-то конкретном виде предприятия или в какой-то конкретной отрасли...
Всегда же хочется думать хорошее (точнее желать этого)

[докер]

О Да!, это "контракт", и обратного хода не имеет!!!

[Shtorm]

докер, как-то это пессимистично звучит.

[докер]

Shtorm в сообщении #605085 писал(а):

докер, как-то это пессимистично звучит

Да!, практически реквием, но только для тех кто заключил "контракт", я не при делах.

И в гриме не живу!