2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 26  След.
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение29.07.2012, 19:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
vicvolf в сообщении #600750 писал(а):
Вы согласны, что номер строки ИС является $O(d_m)$, где $d_m$ - максимальная разность между вычетами при модуле m?
Не знаю :-) Это тоже надо доказывать, если это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.07.2012, 13:28 


23/02/12
3357
vicvolf в сообщении #599887 писал(а):
Соотношение монотонно убывает: 3/4, 15/24, 10/240, 21/2800.

В знаменателе рост, сравнимый с факториальной последовательностью, а в числителе не более полиномиальной, учитывая, что в числителе последовательность вообще при некоторых значениях убывает.

-- 30.07.2012, 13:32 --

vicvolf в сообщении #600739 писал(а):
Слева номер простого числа (аналог количества элементов в треугольнике Гильбрайта), справа G(N):
25 5
168 15
1229 35
9552 65
76498 95
664579 135
5761455 175
50847534 249
455052511 329
4118054813 417
37607912018 481
346065536839 635

Здесь аналогично, только в числителе последовательность строго возрастающая. Учитывая, что разности между простыми числами растут значительно быстрее,чем между ПСВ по понятным причинам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.07.2012, 21:13 


23/02/12
3357
Спасибо Sonic86! Давайте пока оставим доказательство следствия 2 - я еще подумаю. Есть ли замечания к доказательству теоремы 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.07.2012, 21:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
vicvolf в сообщении #601226 писал(а):
Есть ли замечания к доказательству теоремы 4?
Вроде нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение31.07.2012, 15:21 


23/02/12
3357
Тогда продолжим.
Теорема 5
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: 2, 3,…$p_r$ и далее последовательность вычетов nПСВ$_m$, начиная с $p_{r+1}$, будет содержать ИС, которая расположена также, как в треугольнике Гильбрайта с основанием в виде последовательности вычетов nПСВ$_m$.
Доказательство. На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ содержит ИС, которая является продолжение строка индикатора сходимости на интервале от 0 до 1,5m nПСВ$_m$.
Рассмотрим интервал между вычетами 1, $p_{r+1}$ с расстоянием между вычетами $p_{r+1}-1$.
Заменим вычет 1 в основании треугольника Гильбрайта на простое число 2, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}-2$. Добавим в основание треугольника простые числа 3, 5,…$p_r$, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}- p_r$.
Естественно, при уменьшении данного расстояния на интервале от 0 до m ПСВm строка ИС1 не должна опуститься. Если m<2310, то как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС2, поэтому положение ИС на интервале от 0 до 1, 5m не должно измениться. При больших значениях m, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС1, но максимум интервала между ПСВ, который определяет положение ИС1, находится ближе к 0,5m, поэтому положение ИС на интервале от 0 до 1, 5m также не изменится.
Учитывая, что на всех остальных интервалах nПСВ$_m$ на основании теоремы 4 номер строки ИС такой же, поэтому положение ИС и для всей последовательности совпадает с положением ИС для nПСВ$_m$ ч.т.д.
В качестве примера на рис.6 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее 3ПСВ$_{30}$:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
Рис.6 Треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее 3ПСВ$_{30}$
Из рис.6 видно, что ИС, выделенная жирным шрифтом, не изменила свое расположение (сравни с рис. 5).

Буду благодарен за замечания и предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение31.07.2012, 20:45 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
vicvolf в сообщении #601498 писал(а):
Заменим вычет 1 в основании треугольника Гильбрайта на простое число 2, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}-2$. Добавим в основание треугольника простые числа 3, 5,…$p_r$, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}- p_r$.
Естественно, при уменьшении данного расстояния на интервале от 0 до m ПСВm строка ИС1 не должна опуститься.
Насколько я понимаю, тут неявно используется утверждение:
Если треугольник абсолютных разностей, построенный на возрастающей последовательности $a_1,...,a_n$ целых чисел, имеет ИС, то треугольник, построенный на последовательности $a_1,...,a_k,b,a_{k+1},...,a_n$, где $a_k<b<a_{k+1}$, также имеет ИС.
Доказать можете? Либо сформулировать явно то, что имеется ввиду?
Кстати, это оно:
Sonic86 в сообщении #598572 писал(а):
Думается, что про рассуждениях неявно предполагалось, что чем больше длина пробела, тем ниже находится локальная ИС для данного пробела. Это требовало уточнений тоже.
- все-таки оно потребовалось :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.08.2012, 13:32 


23/02/12
3357
Sonic86 в сообщении #601660 писал(а):
Если треугольник абсолютных разностей, построенный на возрастающей последовательности $a_1,...,a_n$ целых чисел, имеет ИС, то треугольник, построенный на последовательности $a_1,...,a_k,b,a_{k+1},...,a_n$, где $a_k<b<a_{k+1}$, также имеет ИС.
Доказать можете? Либо сформулировать явно то, что имеется ввиду?

А что тут доказывать.
Над строкой ИС всегда находится строка, расстояния между элементами которой не превышают числа 2. Если добавить элемент $a_k<b<a_{k+1}$, то тем более это условие сохранится и данная строка останется ИС, если строка выше не станет ИС. Например, если $a_{k+1}-a_k=4$, $b-a_k=2$, а остальные элементы строки выше не превосходили числа 2. Таким образом, строка ИС будет существовать и по крайней мере не опустится.

-- 01.08.2012, 13:37 --

Sonic86 в сообщении #601660 писал(а):
Кстати, это оно:
Sonic86 в сообщении #598572 писал(а):
Думается, что про рассуждениях неявно предполагалось, что чем больше длина пробела, тем ниже находится локальная ИС для данного пробела. Это требовало уточнений тоже.
- все-таки оно потребовалось :?

Нет пока не потребовалось!

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.08.2012, 14:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
vicvolf в сообщении #601834 писал(а):
А что тут доказывать.
Да просто потому, что это неверно, даже существование ИС не сохраняется:
Берем треугольник
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 9 & 13 \\
2 & 6 & 4 & . \\
4 & 2 & . & . \\
2 & . & . & . \\
\end{pmatrix}
$$
и добавляем число $11$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 9 & 11 & 13 \\
2 & 6 & 2 & 2 & . \\
4 & 4 & 0 & . & . \\
0 & 4 & . & . & . \\
4 & . & . & . & . \\
\end{pmatrix}
$$

-- Ср авг 01, 2012 11:40:24 --

На самом деле это уже было - предлагалось использовать индукцию по модулю ПСВ, что гарантирует существование ИС в левой части треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.08.2012, 19:27 


23/02/12
3357
Да. согласен. Уже понял, что доказательство ошибочно, когда отослал сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение02.08.2012, 09:45 


23/02/12
3357
Sonic86 в сообщении #601860 писал(а):
На самом деле это уже было - предлагалось использовать индукцию по модулю ПСВ, что гарантирует существование ИС в левой части треугольника.

Да, об этом говорилось и я действительно использую индукцию для доказательства окончательной теоремы о сходимости треугольника Гильбрайта, в основании которого находится последовательность решета Эратосфена. При доказательстве этого утверждения на k+1 шаге необходимо доказать сходимость действительно на левом интервале (последовательности простых чисел, до начала ИС) решета Эратосфена и правом интервале (последовательности ПСВ). Для доказательства сходимости на левом интервале предварительно доказывается лемма о номере простого числа, с которого начинается ИС. Для доказательства сходимости на правом интервале используется теорема 4. Теорема 5 нужна была для доказательства сходимости на объединенном интервале. Ваше мнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение03.08.2012, 13:34 


23/02/12
3357
Наверно так.
Лемма 2
Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.
Доказательство. Из приведенных выше примеров видно, что номер строки ИС (k) при увеличении r может, как возрастать, так и убывать.При m<2310, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС2. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: $2, p_{r+1}-1, 2,  p_{r+1}-1, 2$. При этом вторая разность принимает значение $p_{r+1}-1-2= p_{r+1}-3 $ и k возрастает пропорционально $p_{r+1}-3$, т.е. $k=O(p_{r+1}-3)$ (4). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число $p_k$, которое на основании асимптотической формулы простых чисел [3] можно представить в виде $p_k=O(k\ln (k))$ (5). Подставляя в (5) выражение (4) получаем: $p_k=O((p_{r+1}-3) \ln ((p_{r+1}-3)))$ (6).
Учитывая, что $p_{r+1}-3=O((r+1)\ln (r+1))$, получаем:
$p_k=O((p_{r+1}-3) \ln ((p_{r+1}-3))=O(r+1)\ln (r+1)\ln [(r+1)\ln (r+1)]=O(r+1)\ln ^2(r+1))$ (7).
Величина $p^2_{r+1}=O((r+1)^2\ln ^2(r+1)) $ больше, чем $p_k=O((r+1)\ln ^2(r+1)) $(8).
При больших значениях m, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС1, но максимум интервала между ПСВ – $d_m$, который определяет положение ИС1, находится ближе к 0,5m. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: …,2, $d_m$, 2, …. При этом вторая разность принимает значение $d_m-2$ и k возрастает, как $d_m-2$ (9). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число $p_k$. Покажем, что величина $p_k$ меньше $p^2_{r+1}$. Для этого рассмотрим последовательность $d_m$ в A048670 Online Encyclopedia Sequences (QEIS) при m=2310 и более.
При $m=2\cdot3...11=2310$ - $d_m=14$, поэтому на основании (9) $p_{12}=37< p^2_{r+1}=13^2=169$. При $m=2\cdot3...13=30030$- $d_m=22$, $p_{20}=71<p^2_{r+1}=17^2=289$. При $m=2\cdot3...17$- $d_m=26, p_24=89<p^2_{r+1}=19^2=361$ и.т.д. При $m=2\cdot3...233$- $d_m=742, p_{742}=5647<p^2_{r+1}=239^2=57121$.
Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство. Проведем доказательство теоремы 5 методом математической индукции. Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность решета Эратосфена при r=1:
2 3 5 7 и далее вычеты ПСВ по модулю $m=2^n$
1 2 2 …….
1 0 …….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2,3,…, p_{k+1}, … p_n<p^2_{r+1}$ [3], при которых согласно предположению треугольник сходится.
При r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2, 3,… p_{k+1}, p_{k+2},…p_n<p^2_{r+1}$, при которых согласно предположению треугольник Гильбрайта сходится.
На основании леммы 2, строка ИС треугольника Гильбрайта начинается с простого числа $p_l<p^2_{r+1}$, поэтому, начиная с этого простого числа и далее на основании теоремы 4 для последовательности вычетов nПСВ$_m$ в основании, где $m=2\cdot3…p_{k+1}$, треугольник Гильбрайта также будет сходиться.

Буду благодарен за замечания и предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение03.08.2012, 20:13 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.
Ааа, я не понял :-), как может ИС начинаться с простого числа? Простые числа у нас же в 1-й строке треугольника, а ИС - в какой-то строке ниже. Уточните, пожалуйста.

Кстати, зачем Вы пишите соотношения типа
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
$p^2_{r+1}=O((r+1)^2\ln ^2(r+1)) $
Почему не $p_{r+1}^2=O(r^2 \ln ^2 r)$? Это сильно отвлекает. И другие соотношения аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение03.08.2012, 20:51 


23/02/12
3357
Sonic86 в сообщении #602847 писал(а):
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.
Ааа, я не понял :-), как может ИС начинаться с простого числа? Простые числа у нас же в 1-й строке треугольника, а ИС - в какой-то строке ниже. Уточните, пожалуйста.

Первый элемент строки ИС является одной из вершин равностороннего треугольника. Противоположную сторону данного треугольника образуют простые числа от 2 до $p_k$.
Например -
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41.....
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4.......
1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2......
1 2 0 0 0 0 0 2 0 2....... строка ИС
Строка ИС в этом примере начинается с числа 7.
Цитата:
Кстати, зачем Вы пишите соотношения типа
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
$p^2_{r+1}=O((r+1)^2\ln ^2(r+1)) $
Почему не $p_{r+1}^2=O(r^2 \ln ^2 r)$? Это сильно отвлекает. И другие соотношения аналогично.

Согласен, с точки зрения асимптотики это одно и тоже, но я хочу подчеркнуть соотношение r и r+1 шагов решета Эратосфена. На r+1 шаге мы остаемся по номеру простого числа в пределах r шага, т.е. $p_k<p^2_{r+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение10.08.2012, 15:18 


23/02/12
3357
Попробуем определить асимптотику $0,5\varphi(M)=4\cdot 6....p_r-1$.
По Мертенсу (Бухштаб стр. 355) получаем:
П$(1-{p}^{-1}) \sim e^{- c}/\ln x$, где с-постоянная Эйлера, а произведение берется при p не больше x.
Преобразуем:
\sum_{p \leq x}{ln(p-1)}-\sum_{p \leq x}{ln(p)}\sim  -c-ln(ln(x))
На основании интегральной формулы Чебышева:
$\sum_{p \leq x}{ln(p)}  \sim   x$, поэтому:
$ \sum_{p \leq x}{ln(p-1)} \sim x-c-ln(ln(x))$.
Отсюда получаем:
П$(p-1) \sim e^{-c}e^{x-ln(ln(x))}$, где произведение берется при p не больше x, а $e^{-c}=0,56$ - постоянная Мертенса.
При $x=p_r$ получаем:
П$(p_i -1) \sim 0,56e^{p_r-ln(ln(p_r))}$, где i в произведении берется от 1 до r.

Буду благодарен за замечания и предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение10.08.2012, 19:03 


31/12/10
1555
Преобразование хорошее, но что оно дает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 384 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group