Наверно так.
Лемма 2
Для простого числа -
k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где
, выполняется соотношение
<
.
Доказательство. Из приведенных выше примеров видно, что номер строки ИС (k) при увеличении r может, как возрастать, так и убывать.При m<2310, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС2. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта:
. При этом вторая разность принимает значение
и k возрастает пропорционально
, т.е.
(4). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число
, которое на основании асимптотической формулы простых чисел [3] можно представить в виде
(5). Подставляя в (5) выражение (4) получаем:
(6).
Учитывая, что
, получаем:
(7).
Величина
больше, чем
(8).
При больших значениях m, как было показано выше, номер строки ИС совпадает с номером строки ИС1, но максимум интервала между ПСВ –
, который определяет положение ИС1, находится ближе к 0,5m. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: …,2,
, 2, …. При этом вторая разность принимает значение
и k возрастает, как
(9). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число
. Покажем, что величина
меньше
. Для этого рассмотрим последовательность
в A048670 Online Encyclopedia Sequences (QEIS) при m=2310 и более.
При
-
, поэтому на основании (9)
. При
-
,
. При
-
и.т.д. При
-
.
Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство. Проведем доказательство теоремы 5 методом математической индукции. Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность решета Эратосфена при r=1:
2 3 5 7 и далее вычеты ПСВ по модулю
1 2 2 …….
1 0 …….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа
[3], при которых согласно предположению треугольник сходится.
При r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа
, при которых согласно предположению треугольник Гильбрайта сходится.
На основании леммы 2, строка ИС треугольника Гильбрайта начинается с простого числа
, поэтому, начиная с этого простого числа и далее на основании теоремы 4 для последовательности вычетов nПСВ
в основании, где
, треугольник Гильбрайта также будет сходиться.
Буду благодарен за замечания и предложения.