Формула n-ного последовательности, заданой реккурентно

[Larry]

Вот наv говорят <дана какая-то последовательность, заданная реккурентно и требуется найти формулу n-ного члена (известны $a_1 $ и $a_2 $ ).
Вот у меня вопрос, какой здесь общий метод. И 2-ое - для примера - как найти формулу n-ного члена, если $a_n=a_n_-_1+2a_n_-_2$ ; $a_1=0$ ; $a_2=6 $

[Someone]

Ищем решение в виде $a_n=\lambda^n$. Подставляя в Ваше рекуррентное соотношение, получим $\lambda^n=\lambda^{n-1}+2\lambda^{n-2}$, или, после сокращения на $\lambda^{n-2}$, $\lambda^2=\lambda+2$. Из этого квадратного уравнения находим $\lambda_1=-1$ и $\lambda_2=2$. Общее решение будет иметь вид $a_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n$. Подставляя $n=1$ и $n=2$, получим два уравнения для определения $C_1$ и $C_2$.

А.И.Маркушевич. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. Москва, "Наука", 1983.

[Dandan]

Есть общий метод для нахождения формулы n-го члена ( а также для его полиномиального по logn подсчета) последовательностей типа $x_n=\alpha_1 \cdot x_n_-_1+\alpha_2 \cdot x_n_-_2 + \dots + \alpha_k \cdot x_n_-_k$
Основной идея такая: пусть $y_{n+1}$ - вектор равный $(x_{n+1}, x_{n+2}, x_{n+2}, \dots , x_{n+k} )$ . Тогда для любого n можно записать $y_{n+1} = A y_n$, где А - некоторая матрица (не сложным образом высчитываемая), зависящая только от коэфициентов $\alpha_i$ и не зависящая от n. Отсюда $y_n = A^n y_0$.

[romanz]

Можно записать решение в виде параперманента треугольной матрицы и, таким образом, миновать решение алгебраического уравнения (см. Математичні студії. - 2002. - Т.17, №1. с. 3 – 17.)