2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формула n-ного последовательности, заданой реккурентно
Сообщение02.04.2007, 20:25 
Аватара пользователя


19/11/06
8
Вот наv говорят <дана какая-то последовательность, заданная реккурентно и требуется найти формулу n-ного члена (известны $a_1 $ и $a_2 $ ).
Вот у меня вопрос, какой здесь общий метод. И 2-ое - для примера - как найти формулу n-ного члена, если $a_n=a_n_-_1+2a_n_-_2$  ;   $a_1=0$   ;   $a_2=6 $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2007, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Ищем решение в виде $a_n=\lambda^n$. Подставляя в Ваше рекуррентное соотношение, получим $\lambda^n=\lambda^{n-1}+2\lambda^{n-2}$, или, после сокращения на $\lambda^{n-2}$, $\lambda^2=\lambda+2$. Из этого квадратного уравнения находим $\lambda_1=-1$ и $\lambda_2=2$. Общее решение будет иметь вид $a_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n$. Подставляя $n=1$ и $n=2$, получим два уравнения для определения $C_1$ и $C_2$.

А.И.Маркушевич. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. Москва, "Наука", 1983.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула n-ного последовательности, заданой реккурентно
Сообщение04.04.2007, 22:42 


24/03/07
321
Есть общий метод для нахождения формулы n-го члена ( а также для его полиномиального по logn подсчета) последовательностей типа $x_n=\alpha_1 \cdot x_n_-_1+\alpha_2 \cdot x_n_-_2 + \dots + \alpha_k \cdot x_n_-_k$
Основной идея такая: пусть $y_{n+1}$ - вектор равный $(x_{n+1}, x_{n+2}, x_{n+2}, \dots , x_{n+k}  )$ . Тогда для любого n можно записать $y_{n+1} = A y_n$, где А - некоторая матрица (не сложным образом высчитываемая), зависящая только от коэфициентов $\alpha_i$ и не зависящая от n. Отсюда $y_n = A^n y_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула n-ного последовательности, заданой реккурентно
Сообщение12.04.2010, 12:56 


07/04/10
43
Украина
Можно записать решение в виде параперманента треугольной матрицы и, таким образом, миновать решение алгебраического уравнения (см. Математичні студії. - 2002. - Т.17, №1. с. 3 – 17.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group