2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 10:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) (полушутка) Многочлен (от одной вещественной переменной) в целых точках принимает целые значения, обязательно ли все его коэффициенты целые?

б) Многочлен (от одной вещественной переменной) в рациональных точках принимает рациональные значения, обязательно ли все его коэффициенты рациональные?

Если да, доказать. Если нет, привести контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
1) $n(n+1)/2$
2) да, ключевая фраза - интерполяционный полином.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:10 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Хорхе в сообщении #601392 писал(а):
1) $n(n+1)/2$
2) да, ключевая фраза - интерполяционный полином.

Можно и без полинома интерполяции, школьными, ткскть, методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:13 
Аватара пользователя


14/08/09
1140

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #601393 писал(а):
Можно и без полинома, школьными, ткскть, методами.

Определитель Вандермонда :D (Хотя через него единственность Лагранжа и доказывается :shock: )


Ktina в сообщении #601382 писал(а):
а) (полушутка) Многочлен (от одной вещественной переменной) в целых точках принимает целые значения, обязательно ли все его коэффициенты целые?

Кстати, если свободный член ненулевой, то "да" :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mathusic в сообщении #601395 писал(а):
(Хотя через него единственность Лагранжа и доказывается :shock: )

Вовсе не обязательно -- можно и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:23 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Mathusic в сообщении #601395 писал(а):

Ktina в сообщении #601382 писал(а):
а) (полушутка) Многочлен (от одной вещественной переменной) в целых точках принимает целые значения, обязательно ли все его коэффициенты целые?

Кстати, если свободный член ненулевой, то "да" :?

Кряк?
$$\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:35 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ewert в сообщении #601400 писал(а):
Вовсе не обязательно -- можно и наоборот.

Ну можно, наверно. Только нужно будет един-ть интерпол. многочлена доказывать по-другому.

Ktina в сообщении #601401 писал(а):
Кряк?

Я в таких случаях гавкаю :lol: Свободный коэффициент -- целый! :evil:

(Оффтоп)

:D

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9179

(Оффтоп)

Единственность интерполяционного многочлена очевидна без всяких вандермондов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mathusic в сообщении #601407 писал(а):
Только нужно будет един-ть интерпол. многочлена доказывать по-другому.

Существование решения системы линейных уравнений при всех правых частях равносильно невырожденности матрицы системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:51 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #601412 писал(а):

(Оффтоп)

Единственность интерполяционного многочлена очевидна без всяких вандермондов.

Интерполяция, Вандермонды, шмандермонды - это всё студенческие термины.
Существует несложное доказательство, доступное школьникам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Ktina в сообщении #601416 писал(а):
Существует несложное доказательство, доступное школьникам.
Ну тогда по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:57 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Ktina в сообщении #601416 писал(а):
Интерполяция, Вандермонды, шмандермонды - это всё студенческие термины.
Существует несложное доказательство, доступное школьникам.

Найдем, Ktina, найдём, не беспокойтесь. Дайте повыпендриваться немножко :D

ewert в сообщении #601415 писал(а):
Существование решения системы линейных уравнений при всех правых частях равносильно невырожденности матрицы системы.

Существование и единственность, скорее. Ну существование - мы просто запишем многочлен Лагранжа. Единственность - тоже из невырожденности, да?

nnosipov в сообщении #601412 писал(а):
Единственность интерполяционного многочлена очевидна без всяких вандермондов.

Эм. Не подскажете как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 11:58 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #601419 писал(а):
Ktina в сообщении #601416 писал(а):
Существует несложное доказательство, доступное школьникам.
Ну тогда по индукции.

Точно.
Только там есть один не совсем приятный момент. Нуль - тоже рациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 12:01 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Ktina в сообщении #601422 писал(а):
Точно.
Только там есть один не совсем приятный момент. Нуль - тоже рациональное число.

А как вы шаг делаете? Вроде же нормально всё, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты многочлена
Сообщение31.07.2012, 12:04 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Mathusic в сообщении #601425 писал(а):
Ktina в сообщении #601422 писал(а):
Точно.
Только там есть один не совсем приятный момент. Нуль - тоже рациональное число.

А как вы шаг делаете? Вроде же нормально всё, не?

Я имела в виду индукцию по степеням многочлена. А Вы о чём подумали?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group