Коэффициенты многочлена

[Ktina]

а) (полушутка) Многочлен (от одной вещественной переменной) в целых точках принимает целые значения, обязательно ли все его коэффициенты целые?

б) Многочлен (от одной вещественной переменной) в рациональных точках принимает рациональные значения, обязательно ли все его коэффициенты рациональные?

Если да, доказать. Если нет, привести контрпример.

[Хорхе]

1) $n(n+1)/2$
2) да, ключевая фраза - интерполяционный полином.

[Ktina]

Хорхе в сообщении #601392 писал(а):

1) $n(n+1)/2$
2) да, ключевая фраза - интерполяционный полином.

Можно и без полинома интерполяции, школьными, ткскть, методами.

[Mathusic]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #601393 писал(а):

Можно и без полинома, школьными, ткскть, методами.

Определитель Вандермонда (Хотя через него единственность Лагранжа и доказывается )

Ktina в сообщении #601382 писал(а):

а) (полушутка) Многочлен (от одной вещественной переменной) в целых точках принимает целые значения, обязательно ли все его коэффициенты целые?

Кстати, если свободный член ненулевой, то "да"

[ewert]

Mathusic в сообщении #601395 писал(а):

(Хотя через него единственность Лагранжа и доказывается )

Вовсе не обязательно -- можно и наоборот.

[Ktina]

Mathusic в сообщении #601395 писал(а):

Ktina в сообщении #601382 писал(а):

а) (полушутка) Многочлен (от одной вещественной переменной) в целых точках принимает целые значения, обязательно ли все его коэффициенты целые?

Кстати, если свободный член ненулевой, то "да"

Кряк?

$$\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$$

[Mathusic]

ewert в сообщении #601400 писал(а):

Вовсе не обязательно -- можно и наоборот.

Ну можно, наверно. Только нужно будет един-ть интерпол. многочлена доказывать по-другому.

Ktina в сообщении #601401 писал(а):

Кряк?

Я в таких случаях гавкаю Свободный коэффициент -- целый!

(Оффтоп)

[nnosipov]

(Оффтоп)

Единственность интерполяционного многочлена очевидна без всяких вандермондов.

[ewert]

Mathusic в сообщении #601407 писал(а):

Только нужно будет един-ть интерпол. многочлена доказывать по-другому.

Существование решения системы линейных уравнений при всех правых частях равносильно невырожденности матрицы системы.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #601412 писал(а):

(Оффтоп)

Единственность интерполяционного многочлена очевидна без всяких вандермондов.

Интерполяция, Вандермонды, шмандермонды - это всё студенческие термины.
Существует несложное доказательство, доступное школьникам.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #601416 писал(а):

Существует несложное доказательство, доступное школьникам.

Ну тогда по индукции.

[Mathusic]

Ktina в сообщении #601416 писал(а):

Интерполяция, Вандермонды, шмандермонды - это всё студенческие термины.
Существует несложное доказательство, доступное школьникам.

Найдем, Ktina, найдём, не беспокойтесь. Дайте повыпендриваться немножко

ewert в сообщении #601415 писал(а):

Существование решения системы линейных уравнений при всех правых частях равносильно невырожденности матрицы системы.

Существование и единственность, скорее. Ну существование - мы просто запишем многочлен Лагранжа. Единственность - тоже из невырожденности, да?

nnosipov в сообщении #601412 писал(а):

Единственность интерполяционного многочлена очевидна без всяких вандермондов.

Эм. Не подскажете как?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #601419 писал(а):

Ktina в сообщении #601416 писал(а):

Существует несложное доказательство, доступное школьникам.

Ну тогда по индукции.

Точно.
Только там есть один не совсем приятный момент. Нуль - тоже рациональное число.

[Mathusic]

Ktina в сообщении #601422 писал(а):

Точно.
Только там есть один не совсем приятный момент. Нуль - тоже рациональное число.

А как вы шаг делаете? Вроде же нормально всё, не?

[Ktina]

Mathusic в сообщении #601425 писал(а):

Ktina в сообщении #601422 писал(а):

Точно.
Только там есть один не совсем приятный момент. Нуль - тоже рациональное число.

А как вы шаг делаете? Вроде же нормально всё, не?

Я имела в виду индукцию по степеням многочлена. А Вы о чём подумали?