Книжку посоветуйте: group action

[AlexDem]

Да, я уже понял (так же проверил) -- просто много всего сразу, не успеваю во всё сразу вникнуть.

[AlexDem]

Посмотрев ещё раз, что мне пытались втолковать lek на протяжении нескольких сообщений и apriv в этом сообщении:

apriv в сообщении #599607 писал(а):

В первом равенстве написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $gh$. Во втором равенствен написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $hg$.

-- и даже Munin, сложил следующую картину. Насколько она далека от истины?

==

В общем, получается примерно так: мы ищем какой-то гомоморфизм $G$ в симметрическую группу над $X$, которую обозначаем $E(X)$. Гомоморфизм всегда существует, не обязательно "хороший", но хотя бы в единичный элемент из $E(X)$ мы всю $G$ отобразить сможем.

Элементы $E(X)$, затронутые гомоморфизмом, образуют подгруппу $P$ (поскольку $G$ у нас группа). Преобразование $x \mapsto x^{-1}$ на этих элементах является анти-изоморфизмом, то есть определяет подгруппу $P^{-1} = P$ с теми же элементами и той же операцией $\circ$, но теперь элементы $G$ ставятся в соответствие элементам $P$ по-другому.

Ну а запись вида $h \cdot g \cdot x$ или $x \cdot g \cdot h$ -- делается для красоты, вместо этого можно писать $(h \circ g) (x) = h(g(x))$ и $(g \circ h) (x) = h(g(x))$, т.е. $x$ здесь -- аргумент функции, с ним никакое изменение порядка аргументов не нужно. А левое иди правое действие приводят к разным нотациям записи суперпозиции -- прямой или обратной.

?

[AV_77]

AlexDem в сообщении #600496 писал(а):

Элементы $E(X)$, затронутые гомоморфизмом, образуют подгруппу $P$ (поскольку $G$ у нас группа). Преобразование $x \mapsto x^{-1}$ на этих элементах является анти-изоморфизмом, то есть определяет подгруппу $P^{-1} = P$ с теми же элементами и той же операцией $\circ$, но теперь элементы $G$ ставятся в соответствие элементам $P$ по-другому.

Подгруппы $P$ и $P'$, соответствующие левому и правому действиям, вообще говоря, не совпадают. Но антиизоморфны.

AlexDem в сообщении #600496 писал(а):

Ну а запись вида $h \cdot g \cdot x$ или $x \cdot g \cdot h$ -- делается для красоты, вместо этого можно писать $(h \circ g) (x) = h(g(x))$ и $(g \circ h) (x) = h(g(x))$, т.е. $x$ здесь -- аргумент функции, с ним никакое изменение порядка аргументов не нужно. А левое иди правое действие приводят к разным нотациям записи суперпозиции -- прямой или обратной.

А запись да, для удобства. Ведь удобнее написать $ax$ или $xa$ вместо $f_a(x)$ или $(x)g_a$.

[AlexDem]

AV_77 в сообщении #600510 писал(а):

Подгруппы $P$ и $P'$, соответствующие левому и правому действиям, вообще говоря, не совпадают.

Почему? Они ведь вроде ничем не отличаются -- носитель и сигнатура совпадают.

[AV_77]

Элементы у них разные.

[AlexDem]

Я исхожу из того, что $P$ -- группа, поэтому содержит все обратные элементы, т.е. замкнута относительно $x \mapsto x^{-1}$. Как могут получиться другие элементы?

[AV_77]

Обратные тут совершенно не при чем.
Если два гомоморфизма $f \colon G \to S(G)$ и $g \colon G \to S(G)$. Они каждому элементу $a \in G$ сопоставляют подстановки $f_a$ и $g_a$, следующим образом: $f_a(x) = ax$ и $(x)g_a = xa$. Каждая такая подстановка однозначно определяется тем,куда переводится единичный элемент $e \in G$: если $f_a = g_b$ для некоторых $a, b \in G$, то из равенства $f_a(e) = ae = a$ и $(e)g_b = eb = b$ следует, что $a = b$. Теперь из равенства $f_a = g_a$ следует, что для любого $x \in G$ выполняется $ax = xa$, то есть $a$ - элемент центра. В остальных случаях подстановки $f_a$ и $g_a$ разные.

[AlexDem]

А, ну если там какой-то другой антиизоморфизм взять, не $x \mapsto x^{-1}$ -- тогда да. Просто меня больше всего интересовало то, почему парный гомоморфизм гарантировано существует.

[AV_77]

AlexDem в сообщении #600526 писал(а):

А, ну если там какой-то другой антиизоморфизм взять, не $x \mapsto x^{-1}$ -- тогда да.

Это ни как не связано с выбором антиизоморфизма. Просто группы левого и правого представления состоят из разных элементов.

[lek]

AV_77 в сообщении #600528 писал(а):

Это ни как не связано с выбором антиизоморфизма. Просто группы левого и правого представления состоят из разных элементов.

AlexDem, дело в том, что образ группы $G$ в $E(X)$ равен прямому произведению $G'=G_1\times G_2$ подгрупп $G_1$ и $G_2$, порожденных операторами $L_{a}$ и $R_{a}$ соответственно. Поэтому их пересечение равно $\{1}\}$.

[AV_77]

lek в сообщении #600531 писал(а):

AlexDem, дело в том, что образ группы $G$ в $E(X)$ равен прямому произведению $G'=G_1\times G_2$ подгрупп $G_1$ и $G_2$, порожденных операторами $L_{a}$ и $R_{a}$ соответственно. Поэтому их пересечение равно $\{1\}$.

Образ $G$ это либо $G_1$, либо $G_2$, но никак не их прямое произведение.

[lek]

AV_77 в сообщении #600539 писал(а):

Образ $G$ это либо $G_1$, либо $G_2$, но никак не их прямое произведение.

Да, конечно $G'$ не образ $G$, а группа, порожденная в $E(X)$ всеми операторами $L_{a}$ и $R_{a}$.

[lek]

AV_77, я тут еще раз прикинул... Ваше утверждение о том, что

AV_77 в сообщении #600528 писал(а):

... группы левого и правого представления состоят из разных элементов

ровно как и мое

lek в сообщении #600531 писал(а):

$G'=G_1\times G_2$

в общем случае не справедливо. Некоторые операторы левого и правого представления могут совпадать. Тривиальный пример - левое и правое действие абелевой группы на себе (в этом случае $L_{a}=R_{a}$ для всех $a\in G$). В общем же случае о группе $G'$ (которая порождается всеми операторами вида $L_{a}$ и $R_{a}$) можно сказать следующее: во-первых

$$ G'=G_1G_2 $$

(т.е. любой элемент $x\in G'$ представим в виде $x=L_{a}R_{b}$ для некоторых $a,b\in G$) и во вторых

$$ G_1\cap G_2\subset Z(G'), $$

где $Z(G')$ - центр группы $G'$ (т.е. $xy=yx$ для всех $x\in Z(G')$ и $y\in G'$). Эти утверждения легко доказать, если использовать тождества

$$ L_{ab}=L_{a}L_{b},\quad R_{ab}=R_{b}L_{a},\quad L_{a}R_{b}=R_{b}L_{a},\quad L_{a^{-1}}=L_{a}^{-1},\quad R_{a^{-1}}=R_{a}^{-1} . $$

[AV_77]

lek в сообщении #600711 писал(а):

AV_77, я тут еще раз прикинул...

В общем случае они не совпадают. Это имелось в виду.

AV_77 в сообщении #600522 писал(а):

Если два гомоморфизма $f \colon G \to S(G)$ и $g \colon G \to S(G)$. Они каждому элементу $a \in G$ сопоставляют подстановки $f_a$ и $g_a$, следующим образом: $f_a(x) = ax$ и $(x)g_a = xa$. Каждая такая подстановка однозначно определяется тем,куда переводится единичный элемент $e \in G$: если $f_a = g_b$ для некоторых $a, b \in G$, то из равенства $f_a(e) = ae = a$ и $(e)g_b = eb = b$ следует, что $a = b$. Теперь из равенства $f_a = g_a$ следует, что для любого $x \in G$ выполняется $ax = xa$, то есть $a$ - элемент центра. В остальных случаях подстановки $f_a$ и $g_a$ разные.

[lek]

Все так. OK!