Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

После успешного доказательства ВТФ для $n=3$ c использованием кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$, возникает вопрос, можно ли доказать ВТФ в общем случае, используя кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Поскольку ВТФ равносильна разрешимости уравнения $x^{2n}-4v^n=c^2$ в целых числах,
то можно пытаться использовать закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Кто-нибудь знает, как он формулируется для этого кольца?

[Belfegor]

Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):

Кто-нибудь знает, как он формулируется для этого кольца?

Может быть Уважаемый nnosipov...

[Sonic86]

Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):

закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

А что это вообще такое??? Есть такой закон для конечных полей, а для такого кольца - это как???

[Феликс Шмидель]

Sonic86 в сообщении #600944 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):

закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

А что это вообще такое??? Есть такой закон для конечных полей, а для такого кольца - это как???

Закон квадратичной взаимности Гильберта выполняется в любых полях алгебраических чисел.

[Феликс Шмидель]

Гильберт доказал свой закон квадратичной взаимности для многих полей алгебраических чисел, но не для всех.
Гекке нашёл закон квадратичной взаимности в явной форме и доказал его для всех полей алгебраических чисел.
Для кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, этот закон имеет особенно простой вид:

Для двух нечётных взаимно-простых чисел $a$ и $b$ принадлежащих $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, из которых хотя бы одно сравнимо с квадратом какого-либо числа из $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ по модулю 4:

$(\frac{a}{b})(\frac{b}{a})=(-1)^{\frac{sgn(a)-1}{2}\frac{sgn(b)-1}{2}}$

(Теорема 165, стр. 244, "Лекции по теории алгебраических чисел", Гекке)

Я правильно понял?

[Феликс Шмидель]

Интересно сравнить закон квадратичной взаимности Гекке для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ с законом квадратичной взаимности Гильберта:

$\prod (a, b)_\rho=1$, где $\rho$ пробегает простые идеалы и $\infty$.

Символ Гильберта $(a, b)_\rho$ определяется как $1$, если уравнение
(1) $z^2=a x^2+b y^2$
имеет решение в $\rho$-адических числах $x$, $y$ и $z$, и $-1$, если это уравнение не имеет решений.

Символ $(a, b)_\infty$ определяется как $1$, если уравнение (1) имеет решение в действительных числах $x$, $y$ и $z$, и $-1$, если это уравнение не имеет решений.

Это определение символа $(a, b)_\infty$ одинаково и для $\mathbb{Z}$ и для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Получается, что $(a, b)_\infty=1$, если хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ положительно, то есть

$(a, b)_\infty=(-1)^{\frac{sgn(a)-1}{2}\frac{sgn(b)-1}{2}}$.

Если ни $a$, ни $b$ не делится на $\rho$ и $\rho$ - нечётный простой идеал, то $(a, b)_\rho=1$.
Это следует из начальной главы "Теории чисел" Боревича и Шафаревича.

[Belfegor]

Феликс Шмидель в сообщении #602808 писал(а):

Я правильно понял?

Отмалчиваются....Подозрительно...

[Феликс Шмидель]

Моей целью в этой теме является доказательство закона квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Начнём с основ теории групп и теории алгебраических чисел.
Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.

Докажем, что $a e=a$ и $a a^{-1}=e$, то есть левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.
Действительно, из $xa=xb$ следует $a=b$ умножением слева на $x^{-1}$, поэтому из
$a^{-1} a e=a^{-1} a$ следует $a e=a$.
Далее из $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$ следует $a a^{-1}=e$.
Теперь из $a x=b x$ следует $a=b$ умножением справа на $x^{-1}$.

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a$ и $b$ из $G$.

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.
Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет 0.
Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения,
удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.
Полем называется коммутативное кольцо, которое является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый элемент обратим.

Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.

[Феликс Шмидель]

Исправление
------------------

Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.

[Феликс Шмидель]

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Тогда $G$ разбивается на подмножества вида $g A$, которые называются левыми смежными классами подгруппы $A$.
Левые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.
Если $g_2^{-1} g_1 \in A$, то $g_1 A=g_2 A$.
Если же $g_2^{-1} g_1 \not \in A$, то $g_1 A$ и $g_2 A$ не имеют общих элементов.
Колличество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.
Порядком конечной группы называется колличество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.
Если $A$ подгруппа конечной группы $G$, то из разбиения $G$ на левые смежные классы следует, что $|G|$ делится на $|A|$.
Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.
Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.
Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению, которая называется фактор группой и обозначается $G/A$.
Роль единицы в фактор группе $G/A$ играет сама подгруппа $A$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.

[Феликс Шмидель]

Для того, чтобы непустое подмножество $A$ группы $G$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.
Если $A$ - конечное подмножество группы $G$, достаточно чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало их произведение $ab$.
Чтобы доказать это, возьмём какой-нибудь $a \in A$ и рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x$, откуда $x=e$, то есть единица принадлежит $A$, и из $a x=e$ следует, что $a^{-1}$ принадлежит $A$.
Поэтому $A$ - подгруппа.

[Феликс Шмидель]

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.
Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).
Число $m$ называется порядком элемента $g$.
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Чтобы доказать это, предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.
Возьмём какой-либо элемент $g$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.
Тогда порядок $a$ делится на $p$, что противоречит тому, что такого элемента нет.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Мы доказали, что в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Из этого следует, что существует элемент, порядок которого равен $p$.
В самом деле, если $p m$ - порядок элемента $g$, то порядок элемента $g^m$ равен $p$.

[ishhan]

Феликс Шмидель в сообщении #603831 писал(а):

Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Уважаемый Феликс Шмидель!
Спасибо Вам за ликбез, лично я читаю Ваш конспект с интересом, но, как всегда, у Вас нет численных примеров.
Очень жаль.
Хотелось бы на примере кольца (пардон поля) $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ увидеть его элементы в численном представлении, а так же элементы обратные к ним.
Посмотреть на единицу и убедиться, что на неё будет делиться любой элемент.
В других источниках это делается у Вас нет.
С уважением.

[Феликс Шмидель]

Вы правы, но это именно конспект, а не учебник.
Я накапливаю теоретический материал в надежде на то, что он даст мне возможность разобраться в свойствах кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ и строго доказать закон квадратичной взаимности.

[Belfegor]

Феликс Шмидель в сообщении #603873 писал(а):

Я накапливаю теоретический материал в надежде на то, что он даст мне возможность разобраться в свойствах кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ и строго доказать закон квадратичной взаимности.

Надеемся на Вас Уважаемый Феликс Шмидель! Дадим прикурить Уайлзу с модулярными формами!