2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение28.07.2012, 08:54 


31/03/06
1384
После успешного доказательства ВТФ для $n=3$ c использованием кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$, возникает вопрос, можно ли доказать ВТФ в общем случае, используя кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Поскольку ВТФ равносильна разрешимости уравнения $x^{2n}-4v^n=c^2$ в целых числах,
то можно пытаться использовать закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Кто-нибудь знает, как он формулируется для этого кольца?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение28.07.2012, 12:44 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):
Кто-нибудь знает, как он формулируется для этого кольца?


Может быть Уважаемый nnosipov...

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение30.07.2012, 13:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):
закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
А что это вообще такое??? :shock: Есть такой закон для конечных полей, а для такого кольца - это как???

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение31.07.2012, 16:02 


31/03/06
1384
Sonic86 в сообщении #600944 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):
закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
А что это вообще такое??? :shock: Есть такой закон для конечных полей, а для такого кольца - это как???


Закон квадратичной взаимности Гильберта выполняется в любых полях алгебраических чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение02.08.2012, 23:56 


31/03/06
1384
Гильберт доказал свой закон квадратичной взаимности для многих полей алгебраических чисел, но не для всех.
Гекке нашёл закон квадратичной взаимности в явной форме и доказал его для всех полей алгебраических чисел.
Для кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, этот закон имеет особенно простой вид:

Для двух нечётных взаимно-простых чисел $a$ и $b$ принадлежащих $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$, из которых хотя бы одно сравнимо с квадратом какого-либо числа из $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ по модулю 4:

$(\frac{a}{b})(\frac{b}{a})=(-1)^{\frac{sgn(a)-1}{2}\frac{sgn(b)-1}{2}}$

(Теорема 165, стр. 244, "Лекции по теории алгебраических чисел", Гекке)

Я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение03.08.2012, 18:20 


31/03/06
1384
Интересно сравнить закон квадратичной взаимности Гекке для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ с законом квадратичной взаимности Гильберта:

$\prod (a, b)_\rho=1$, где $\rho$ пробегает простые идеалы и $\infty$.

Символ Гильберта $(a, b)_\rho$ определяется как $1$, если уравнение
(1) $z^2=a x^2+b y^2$
имеет решение в $\rho$-адических числах $x$, $y$ и $z$, и $-1$, если это уравнение не имеет решений.

Символ $(a, b)_\infty$ определяется как $1$, если уравнение (1) имеет решение в действительных числах $x$, $y$ и $z$, и $-1$, если это уравнение не имеет решений.

Это определение символа $(a, b)_\infty$ одинаково и для $\mathbb{Z}$ и для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Получается, что $(a, b)_\infty=1$, если хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ положительно, то есть

$(a, b)_\infty=(-1)^{\frac{sgn(a)-1}{2}\frac{sgn(b)-1}{2}}$.

Если ни $a$, ни $b$ не делится на $\rho$ и $\rho$ - нечётный простой идеал, то $(a, b)_\rho=1$.
Это следует из начальной главы "Теории чисел" Боревича и Шафаревича.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение04.08.2012, 15:07 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #602808 писал(а):
Я правильно понял?


Отмалчиваются....Подозрительно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение05.08.2012, 17:06 


31/03/06
1384
Моей целью в этой теме является доказательство закона квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Начнём с основ теории групп и теории алгебраических чисел.
Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.

Докажем, что $a e=a$ и $a a^{-1}=e$, то есть левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.
Действительно, из $xa=xb$ следует $a=b$ умножением слева на $x^{-1}$, поэтому из
$a^{-1} a e=a^{-1} a$ следует $a e=a$.
Далее из $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$ следует $a a^{-1}=e$.
Теперь из $a x=b x$ следует $a=b$ умножением справа на $x^{-1}$.

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a$ и $b$ из $G$.

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.
Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет 0.
Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения,
удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.
Полем называется коммутативное кольцо, которое является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый элемент обратим.

Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение06.08.2012, 04:05 


31/03/06
1384
Исправление
------------------

Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение06.08.2012, 05:42 


31/03/06
1384
Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Тогда $G$ разбивается на подмножества вида $g A$, которые называются левыми смежными классами подгруппы $A$.
Левые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.
Если $g_2^{-1} g_1 \in A$, то $g_1  A=g_2 A$.
Если же $g_2^{-1} g_1 \not \in A$, то $g_1  A$ и $g_2 A$ не имеют общих элементов.
Колличество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.
Порядком конечной группы называется колличество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.
Если $A$ подгруппа конечной группы $G$, то из разбиения $G$ на левые смежные классы следует, что $|G|$ делится на $|A|$.
Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.
Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.
Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению, которая называется фактор группой и обозначается $G/A$.
Роль единицы в фактор группе $G/A$ играет сама подгруппа $A$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение06.08.2012, 14:18 


31/03/06
1384
Для того, чтобы непустое подмножество $A$ группы $G$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.
Если $A$ - конечное подмножество группы $G$, достаточно чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало их произведение $ab$.
Чтобы доказать это, возьмём какой-нибудь $a \in A$ и рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x$, откуда $x=e$, то есть единица принадлежит $A$, и из $a x=e$ следует, что $a^{-1}$ принадлежит $A$.
Поэтому $A$ - подгруппа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение07.08.2012, 16:27 


31/03/06
1384
Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.
Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).
Число $m$ называется порядком элемента $g$.
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Чтобы доказать это, предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.
Возьмём какой-либо элемент $g$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.
Тогда порядок $a$ делится на $p$, что противоречит тому, что такого элемента нет.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Мы доказали, что в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Из этого следует, что существует элемент, порядок которого равен $p$.
В самом деле, если $p m$ - порядок элемента $g$, то порядок элемента $g^m$ равен $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение07.08.2012, 18:42 


21/11/10
544
Феликс Шмидель в сообщении #603831 писал(а):
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.


Уважаемый Феликс Шмидель!
Спасибо Вам за ликбез, лично я читаю Ваш конспект с интересом, но, как всегда, у Вас нет численных примеров.
Очень жаль.
Хотелось бы на примере кольца (пардон поля) $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ увидеть его элементы в численном представлении, а так же элементы обратные к ним.
Посмотреть на единицу и убедиться, что на неё будет делиться любой элемент.
В других источниках это делается у Вас нет.
С уважением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение07.08.2012, 19:04 


31/03/06
1384
Вы правы, но это именно конспект, а не учебник.
Я накапливаю теоретический материал в надежде на то, что он даст мне возможность разобраться в свойствах кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ и строго доказать закон квадратичной взаимности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение07.08.2012, 19:13 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #603873 писал(а):
Я накапливаю теоретический материал в надежде на то, что он даст мне возможность разобраться в свойствах кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ и строго доказать закон квадратичной взаимности.


Надеемся на Вас Уважаемый Феликс Шмидель! :D Дадим прикурить Уайлзу с модулярными формами! :shock: :D :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 128 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group