Уточнил некоторые доказательства.
Теорема 3.
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов ПСВm на интервале от 0 до m содержит ИС.
Доказательство
На основания следствия теоремы 2 на интервале от 0 до m находится строка разностей, состоящая из одних нулей. Если выше строки, состоящей из одних нулей в треугольнике Гильбрайта, нет других строк, содержащих только числа 0 и 2, то строка, состоящая из одних нулей, удовлетворяет определению ИС. Если выше строки из одних нулей есть строки, состоящие только из чисел 0 и 2, то выберем ту из них, которая находится выше других. Данная строка удовлетворяет определению ИС ч.т.д. Назовем ее ИС1.
Следствие 1
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0,5m до 1,5m содержит ИС. Назовем ее ИС2.
Доказательство проводится аналогично теореме 3.
Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС. Номер строки ИС равен номеру строки ИС1, если номер строки ИС1 больше номера строки ИС2 и равен номеру строки ИС2, если номер строки ИС2 больше номера строки ИС1.
Доказательство следует из теоремы 3, следствия 1 и свойства ИС.
Примечание. При m = 2, 6 треугольник Гильбрайта не имеет ИС1 и ИС2, но имеет ИС на интервале от 0 до 1,5m.
При m = 2 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 3
2
Рис. 2 Треугольник Гильбрайта при m=2 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 2 видно, что треугольник не имеет ИС1 и ИС2. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС находится в 1-ой строке разностей.
При
получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 5 7
4 2
2
Рис. 3 Треугольник Гильбрайта при m=6 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 3 видно, что треугольник не имеет ИС1 и ИС2. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС находится во 2-ой строке разностей.
Исследование положения строки ИС при m>6 приводятся ниже.
При
получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0
Рис. 4 Треугольник Гильбрайта при m=30 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 4 видно, что ИС1 находится в 2-ой строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 3-ей строке разностей. Следовательно, ИС находится в 3-ей строке разностей треугольника Гильбрайта.
При
ИС1 находится в 9-ой строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 15 строке разностей. Следовательно, ИС находится в 15-ой строке разностей треугольника Гильбрайта.
При
ИС1 находится в 10-ой строке треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 9-ой строке разностей. Следовательно, ИС находится в 10-ой строке разностей треугольника Гильбрайта.
Таким образом, начиная с m=2310 номер строки ИС1 больше, чем номер строки ИС2. Это происходит потому, что максимум первых разностей для данного модуля находится ближе к значению 0,5m между вычетами 113 и 127 (имеется также симметричное значение относительно 0,5m), но еще меньше значения
.
При увеличении значения m данная тенденция - номер строки ИС1 больше номера строки ИС2 сохраняется, так как максимум первых разностей при увеличении m находится все ближе к значению 0,5m.
Например, для
максимум первых разностей уже находится между вычетами 9439 и 9461 (имеется также симметричное значение относительно 0,5m). При m=30030 ИС1 находится в 21 строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 15 строке разностей. Следовательно, ИС находится в 21-ой строке разностей треугольника Гильбрайта.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ
содержит ИС на интервале от 0 до nm, который является продолжением ИС на интервале от 0 до 1,5m, где n – натуральное число,
Доказательство. На основании следствия 2 теоремы 3 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ
на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС.
По определению nПСВ
, данная последовательность содержит разности в треугольнике Гильбрайта, периодически повторяющиеся с периодом m, в том числе и ИС на интервале от 0 до 1,5m, поэтому последовательность вычетов nПСВ
содержит строку индикатор сходимости на интервале от 0 до nm, который является продолжением ИС на интервале от 0 до 1,5m.
В качестве примера на рис.5 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием
ПСВ
, где
, а n=3:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 Рис.5 Треугольник Гильбрайта с основанием
ПСВ
На рис.5 ИС выделена жирным шрифтом.
Буду благодарен за замечания и предложения.