Задача на доказательство

[Mitrius_Math]

Пусть \lim_{n \to \infty}{x_n}=b \not=0; \ \lim_{n \to \infty}{y_n}=0 \ (y_n \not = 0). Доказать, что \lim_{ n \to \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\infty.

Дано:
1) (\forall \varepsilon>0) \ (\exists N_1 \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N_1 )\ (|x_n-b|< \varepsilon); \ b \not=0;
2) (\forall \varepsilon>0) \ (\exists N_2 \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N_2 )\ (|y_n|< \varepsilon); \ y_n \not=0.

Нужно доказать:
(\forall K>0) \ (\exists N \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N )\ \left(\left|\frac{x_n}{y_n}\right|> K\right).

Ясно, что (\exists C>0) \ (|x_n|<c) и \left(\left|\frac{1}{y_n}\right| >\frac{1}{\varepsilon} \right). Но как из этого вывести \left|\frac{x_n}{y_n}\right|> K?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Профессор Снэйп]

Mitrius_Math в сообщении #598937 писал(а):

Ясно, что (\exists C>0) \ (|x_n|<c)...

Это Вам ничего не даст.

А вот то, что $(\exists c > 0)(\exists N)(\forall n > N)(|x_n| > c)$ напротив, даст очень многое.

[svv]

Профессор Снэйп писал(а):

$(\exists c > 0)(\exists N)(\forall n > N)(|x_n| > c)$

Профессор Снэйп, такой стиль расстановки скобок совпадает с Вашим, или Вы просто следуете стилю ТС? Как Вы обычно пишете, когда "сами"?

[Профессор Снэйп]

svv в сообщении #599332 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Профессор Снэйп, такой стиль расстановки скобок совпадает с Вашим, или Вы просто следуете стилю ТС? Как Вы обычно пишете, когда "сами"?

И то, и другое.

Я обычно не беру в скобки неограниченный квантор. Квантор с условием - в скобки. То есть $\exists N$ я бы в скобки не стал брать.

Но тут не в скобках дело. Я обычно стараюсь обозначать переменные неким "однородным" образом, чтобы они не различались по высоте.

Ну и, естественно, неограниченный квантор будет выглядеть красивее, когда он спереди. Этого не всегда можно добиться, но в данном случае можно.

Короче, "с чистого листа" я написал бы так:

$$ \exists m (\exists c > 0)(\forall n > m)(|x_n| > c) $$

Большое $N$ оставил, следуя стилю ТС.

А вообще, какая разница?! Было бы из чего огород городить! Главное ведь не в этом, а в том, чтобы правильно.

[Mathusic]

(Оффтоп)

А я бы вообще для матанализа использовал более свободную запись.
Так оно даже и лучше вроде как.

$$ \exists m \left ( \exists c > 0: (n > m) \Rightarrow |x_n| > c \right ) $$

Ну, а если уж следовать логике, то скобок должно быть больше, вроде бы

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #599357 писал(а):

я бы вообще для матанализа использовал более свободную запись.

Какая-то она у Вас чересчур "свободная". Квантора в ней одного не хватает. $n$ - свободная переменная?

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #599366 писал(а):

Какая-то она у Вас чересчур "свободная". Квантора в ней одного не хватает. $n$ - свободная переменная?

(Оффтоп)

Вам не нравится вместо

$$(\forall n>N) \mathrm{P}(n)$$

запись

$$(n>N) \Rightarrow \mathrm{P}(n)$$

[svv]

Профессор Снэйп в сообщении #599339 писал(а):

А вообще, какая разница?! Было бы из чего огород городить! Главное ведь не в этом, а в том, чтобы правильно.

Ваше замечание примерно соответствует первому совету отсюда:

Цитата:

Вопрос "Как писать хорошие программы на C++?" напоминает вопрос "Как писать хорошую английскую прозу?" Есть два совета: "Знай, что хочешь сказать" и "Тренируйся. Подражай хорошему стилю". (Б.Страуструп. Язык программирования C++)

Ну, а я решил обратить внимание и на второй совет.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Mathusic
Они различаются по смыслу. Первая — истинное высказывание, вторая — тождественно истинный предикат.

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #599383 писал(а):

Вам не нравится вместо

$$(\forall n>N) \mathrm{P}(n)$$

запись

$$(n>N) \Rightarrow \mathrm{P}(n)$$

Конечно не нравится. Возникает естественный вопрос - это для какого-то $n$ или для всех $n$ сразу.

Студентов, особенно на младших курсах, сразу следует приучать к порядку. Вот спросишь, бывает, у студента определение предела, а он "ну, это когда из $|x - x_0| < \varepsilon$ следует $|f(x) - f(x_0)| < \delta$. А что за $\varepsilon$, что за $\delta$, откуда они берутся? "Ну, $\varepsilon > 0$, $\delta > 0$..." Они произвольные или какие-то конкретные? Или, может, что-то от чего-то зависит? Сидит, хлопает глазами, не понимает вопроса. Ставишь ему двойку и думаешь: может, он и не виноват ни в чём, может, его преподаватель на семинарах чересчур свободной записи придерживается?

Смысл предложения всегда зависит от расстановки кванторов, от их порядка! Допускать здесь вольности и плевать на кванторы либо использовать какие-то договорённости по умолчанию - значит, смущать молодые умы. На первых курсах от учащихся следует добиваться максимальной точности. Пусть лучше студент лишний раз напишет квантор, не рассыпется, зато не будет никаких разночтений!

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #599645 писал(а):

Смысл предложения всегда зависит от расстановки кванторов, от их порядка! Допускать здесь вольности и плевать на кванторы либо использовать какие-то договорённости по умолчанию - значит, смущать молодые умы. На первых курсах от учащихся следует добиваться максимальной точности. Пусть лучше студент лишний раз напишет квантор, не рассыпется, зато не будет никаких разночтений!

Ну да, прекрасное упражнение для студентов, которых учат на первом курсе кошмарному определению непрерывности с четырьмя кванторами — переставить кванторы в нем всеми возможными способами и понять смысл получающихся высказываний.

[svv]

Вот близкий пример: post585843.html#p585843