Равномерная сходимость на пальцах

[mr.tumkan]

Чем отличается равномерная сходимость последовательности функций. Чем она отличается от обычной сходимости? Если совсем на пальцах -- в чем отличие?

Равномерная сходимость последовательности функций — свойство последовательности $f_n:X\to Y$, где $X$ — произвольное множество, $Y=(Y,d)$ — метрическое пространство, $n = 1, 2,\dots $ сходиться к функции (отображению) $f:X\to Y$, означающее, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N_\varepsilon$, что для всех номеров $n>N_\varepsilon$ и всех точек $x\in X$ выполняется неравенство $\left|f_n(x) - f(x)\right| < \varepsilon$

Обычно обозначается $f_n\rightrightarrows f$.

Это условие равносильно тому, что

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} \left|f_n(x) - f(x)\right|=0.$

[CptPwnage]

Для равномерной сходимости выполняются некоторые интересные факты,которые для поточечной неверны, например что предел непрерывных функций при равномерном стремлении будет непрерывной функцией. А более глубоко, равномерная сходимость задается нормой, а поточечная нет (чтобы задать топологию отвечающую такой сходимости нужно вводить систему полунорм и все такое прочее). Вообщем равномерная-"хорошая" сходимость.

[ИСН]

В духе всей этой нынешней мультимедии, я думаю, уместно было бы мультфильм нарисовать на эту тему. Типа, вот поточечная сходимость (хр-р-р-р), а вот равномерная (вж-ж-ж-ж). Да может, уже есть такой?

[svv]

Просто сходимость: "для каждой точки существует такой номер, что..."
Равномерная сходимость: "существует такой номер, что для каждой точки..."

Почувствовали разницу?
В первом случае -- при заданном $\varepsilon$ номер $N$ допускается выбрать для каждой точки свой. Это более слабое требование.
Во втором случае -- при заданном $\varepsilon$ номер $N$ должен быть один для всех точек. Это более сильное требование.

ИСН неточно описал: обычная сходимость -- это "штррдыбжь!", а равномерная -- "шлямс!".

[mr.tumkan]

Спасибо.