Развитие полевой теории гравитации

[VladTK]

Хочу представить народу свою попытку обобщения полевого подхода в гравитации. В обозначениях я следую книге
M Blagojevic Gravitation and gauge symmetries
В 7 и 8 главах здесь излагается традиционный полевой подход к ОТО.

Рассмотрим гравитационное поле, как обычное тензорное физическое поле спина 2 в пространстве-времени Минковского, и введем простейшее самодействие, удовлетворяющее принципу эквивалентности (лагранжиан взаимодействия Мошинского):

$$ L_{(1)}=L_{(0)}-\varphi_{\mu \nu} T^{\mu \nu}_{(0)} \verb

Здесь $ \varphi_{\mu \nu} $ - тензорный потенциал грав.поля, $ L_{(0)}$ - лагранжиан свободной (без гравитационного взаимодействия) теории, $ T^{\mu \nu}_{(0)} $ - соответствующий свободному лагранжиану тензор энергии-импульса (ТЭИ-0). $h=c=1$

В традиционной полевой формулировке ОТО лагранжиан $ L_{(1)} $ играет второстепенную роль. Там основное внимание уделяется построению самосогласованного уравнения грав.поля:

$$ \hat F \varphi_{\mu \nu} = a ( T^{\mu \nu}_{(mat)} +t^{\mu \nu} ) $$

где $ \hat F $ - некоторый дифференциальный оператор второго порядка, $ a $ - константа, $ T^{\mu \nu}_{(mat)} $ - тензор энергии- импульса вещества ("вещественная" часть ТЭИ-0), $ t^{\mu \nu} $ - псевдотензор грав.поля.

Представим теперь ТЭИ-0 как функциональную производную от свободного лагранжиана по метрике Минковского ("метрический" ТЭИ Гильберта):

$$ T^{\mu \nu}_{(0)} = \frac {2} {\sqrt{-\eta}} \frac {\delta (\sqrt{-\eta} L_{(0)})} {\delta \eta_{\mu \nu}} \verb

Подставим (2) в (1):

$$ L_{(1)} = L_{(0)} - \frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {\sqrt{-\eta}} \frac {\delta (\sqrt{-\eta} L_{(0)})} {\delta \eta_{\mu \nu}} \verb

Умножим обе части этого равенства на $ \sqrt{-\eta} $ и переопределим

$$ N_{(1)} = L_{(1)} \sqrt{-\eta} $$

$$ N_{(0)} = L_{(0)} \sqrt{-\eta} $$

Из (3) получим:

$$ N_{(1)} = N_{(0)} - 2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta N_{(0)}} {\delta \eta_{\mu \nu}} \verb

Добавлено спустя 33 минуты 36 секунд:

Продолжу.
Выражение (4) можно рассматривать как первые два члена разложения в ряд "одетого" гравитацией лагранжиана по оператору:

$$ -2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} $$

Конечно, может возникнуть вопрос: а насколько подобное обобщение оправдано? В качестве ответа, рассмотрим следующее обобщение (4):

$$ N= \left( 1-2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} + \frac {1} {2!} (2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} )^2 +...\right ) N_{(0)} $$

Ряд в скобках представляет собой разложение операторной экспоненты:

$$ N= \exp {\left(-2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} \right) N_{(0)} $$

Поскольку свободный лагранжиан представляет собой некоторую функцию от метрики Минковского, то последнее выражение представляет собой лишь функциональный сдвиг:

$$ N= N_{(0)} \left( \eta\left-2 \varphi \right) $$

Т.е. действие гравитации в такой модели сводится к изменению метрики Минковского в лагранжиане в метрику Римана. ОТО готова.

Добавлено спустя 31 минуту 59 секунд:

Т.е., по крайней мере, один вариант обобщения (4) как функционального ряда смысл имеет. Тогда почему бы не иметь смысл и другим возможным вариантам обобщения? Обобщая (4) различными функциональными рядами мы получим различные полевые теории гравитации. Необходимо заметить, что во всех таких моделях выполнен принцип эквивалентности и все классические тесты ОТО. Таким образом, возможен целый класс полевых моделей гравитации, удовлетворяющих известным нам фактах о гравитации. Встает вопрос отбора среди моделей этого класса наиболее правдоподобной.

Я выбрал вариант обобщения (4) более физичный с моей точки зрения, чем ОТО. В некотором смысле он "параллелен" ОТО. Его смысл заключается в следующем: заменим в (1) ТЭИ-0 "одетым" тензором энергии-импульса системы.

L = L_{(0)} - \varphi_{\mu \nu} T^{\mu \nu} \verb

С учетом (2) и переходя от $ L $ к $ N $

N = N_{(0)} - 2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta N} {\delta \eta_{\mu \nu}}

можно записать функциональный ряд этой модели

N = \left( 1 + 2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta } {\delta \eta_{\mu \nu}} \right) ^{-1} N_{(0)}

Таким образом, для "одетого" лагранжиана модели я получаю некоторое уравнение в частных производных по компонентам метрики Минковского. Его решением и рассмотрением различных полевых лагранжианов я сейчас и занимаюсь.

[Munin]

VladTK писал(а):

Обобщая (4) различными функциональными рядами мы получим различные полевые теории гравитации. Необходимо заметить, что во всех таких моделях выполнен принцип эквивалентности и все классические тесты ОТО.

Почему вы считаете, что будет выполнен принцип эквивалентности? Мне так не кажется.

[VladTK]

"Одетый" лагранжиан пропорционален тензору энергии-импульса и его производным. Можно показать, что принцип эквивалентности, сформуллированный в форме равенства инертной и гравитационной масс, выполняется автоматически. У Blagojevic-а есть об этом упоминание.

[Котофеич]

Ну и какие у Вас возникают концептуальные и математические проблемы с геометризацией

[VladTK]

В случае ОТО проблем с геометризацией не возникло

Ну а в других моделях класса мне даже не ясно какого рода геометрия необходима для такой процедуры. Я уже писал, что не важно знаю математику, и вот что касается геометрий более общих чем Риманова, у меня знаний почти вообще нет. Фактически мое знание той же финслеровой геометрии ограничивается упоминавшейся Вами как-то работой на соискание докторской диссертации по "анизотропной" гравитации.

Прошлый опыт использования геометрии в физике показывает, что геометрическим языком удается добиться удовлетворительного описания систем, которые не удается описать обычным теоретико-полевым языком в виду их сложности. Класс моделей, о которых я веду речь, тоже является по видимому такими системами. По крайней мере успех Эйнштейна заставляет меня так думать

В разрабатываемой мной модели гравитация ведет себя тем же образом что и в ОТО - изменяет метрические коэффициенты в лагранжиане. И скорее всего то же самое справедливо для любой модели класса, хотя явно я это не проверял. Но, в отличие от ОТО, единообразного изменения метрических коэффициентов в различных членах лагранжиана не происходит. Т.е. член лагранжиана с "квадратом" $\eta$ "одевается" гравитацией не так, как член с одним $\eta$ в "квадрате". Вот на этом моменте я и "затормозил" с геометризацией.

[Munin]

VladTK писал(а):

"Одетый" лагранжиан пропорционален тензору энергии-импульса и его производным. Можно показать, что принцип эквивалентности, сформуллированный в форме равенства инертной и гравитационной масс, выполняется автоматически. У Blagojevic-а есть об этом упоминание.

А я слышал, что принцип эквивалентности формулируется в виде ковариантности законов физики, то бишь полной замены всех простых производных на ковариантные.

И потом, "можно показать" - это обещание на будущее. Пока оно не выполнено, верить никто не обязан.

Добавлено спустя 36 минут 31 секунду:

VladTK писал(а):

Ну а в других моделях класса мне даже не ясно какого рода геометрия необходима для такой процедуры.

Я так понимаю, у вас получаются где-то биметрические теории.

VladTK писал(а):

Прошлый опыт использования геометрии в физике показывает, что геометрическим языком удается добиться удовлетворительного описания систем, которые не удается описать обычным теоретико-полевым языком в виду их сложности.

Не-а. Теоретико-полевым языком там тоже всё можно описать. Геометрия даёт другое: позволяет зафиксировать соотношения, которые теория поля оставляет свободными и не может найти мотивации для их фиксации.

[VladTK]

Цитата:

А я слышал, что принцип эквивалентности формулируется в виде ковариантности законов физики, то бишь полной замены всех простых производных на ковариантные.

Я привел традиционную и экспериментально проверенную с высокой точностью формулировку принципа эквивалентности. В такой форме этот принцип выполняется, например, для малой точечной частицы в грав.поле в ОТО (которая является одной из возможных моделей). Другие модели класса имеют аналогичную математическую структуру и этот вывод сохранится и для них. Для вас это не очевидно?

Цитата:

Я так понимаю, у вас получаются где-то биметрические теории.

Почему Вы так думаете?

Цитата:

Не-а. Теоретико-полевым языком там тоже всё можно описать. Геометрия даёт другое: позволяет зафиксировать соотношения, которые теория поля оставляет свободными и не может найти мотивации для их фиксации.

Ну тут правы и Вы и я. Например, имеем мы ОТО и задаемся вопросом: какой у этой модели лагранжиан? Можно пойти в "лоб" и пытаться определить результат действия вышеупомянутой операторной экспоненты на лагранжиан свободного поля спина 2 Паули-Фирца (как это делается в полевой формулировке ОТО), а можно применить геометрические соображения и быстренько получить лагранжиан как скаляр кривизны.

Кстати, приведите и Вы пример "мотивации".

[Котофеич]

VladTK писал(а):

В разрабатываемой мной модели гравитация ведет себя тем же образом что и в ОТО - изменяет метрические коэффициенты в лагранжиане. И скорее всего то же самое справедливо для любой модели класса, хотя явно я это не проверял. Но, в отличие от ОТО, единообразного изменения метрических коэффициентов в различных членах лагранжиана не происходит. Т.е. член лагранжиана с "квадратом" $\eta$ "одевается" гравитацией не так, как член с одним $\eta$ в "квадрате". Вот на этом моменте я и "затормозил" с геометризацией.

Изложите суть Вашей проблемы на языке формул. Я так понял что у Вас есть нечто типа
метрической формы, но оно не риман У меня там другое, там изначально заложена т.н. нериманова деформация канонической ОТО.

[VladTK]

Цитата:

Изложите суть Вашей проблемы на языке формул.

Приступим помолясь

Представим (2) в более удобной форме. Учтем определение вариационной производной и после элементарных преобразований получим:

$$ T^{\mu \nu}=2 \frac {\partial L } {\partial \eta_{\mu \nu}} - D_{\pi} \left( \frac {\partial L} {\partial ( \partial_{\pi} \eta_{\mu \nu} ) \right) } - \eta^{\mu \nu} L $$

Подставим это в (5):

$$ L = L_{(0)} - 2 \varphi_{\mu \nu}\frac {\partial L } {\partial \eta_{\mu \nu}} + 2 \varphi_{\mu \nu} D_{\pi} \left( \frac {\partial L} {\partial ( \partial_{\pi} \eta_{\mu \nu}) \right) } + \varphi_{\lambda}^{\lambda} L $$

Перепишем слагаемое с ковариантной производной:

$$ \varphi_{\mu \nu} D_{\pi} \left( \frac {\partial L} {\partial ( \partial_{\pi} \eta_{\mu \nu}) \right) } = D_{\pi} \left( \varphi_{\mu \nu} \frac {\partial L} {\partial ( \partial_{\pi} \eta_{\mu \nu}) \right) } - D_{\pi} \varphi_{\mu \nu} \frac {\partial L} {\partial ( \partial_{\pi} \eta_{\mu \nu}) } $$

и (как всегда) отбрасывая член с дивергенцией получим для лагранжиана уравнение с производными первого порядка:

$$ 2 \varphi_{\mu \nu}\frac {\partial L } {\partial \eta_{\mu \nu}} + 2 D_{\pi} \varphi_{\mu \nu} \frac {\partial L} {\partial ( \partial_{\pi} \eta_{\mu \nu}) } + ( 1- \varphi_{\lambda}^{\lambda}) L = L_{(0)} $$

Перейдем от частных производных метрики по координатам к символам Кристоффеля 1 рода:

$$ 2 \varphi_{\mu \nu}\frac {\partial L } {\partial \eta_{\mu \nu}} +( D_{\beta} \varphi_{\gamma \alpha} +D_{\gamma} \varphi_{\beta \alpha} - D_{\alpha} \varphi_{\beta \gamma} ) \frac {\partial L} {\partial \Gamma_{\alpha \beta \gamma} } + ( 1- \varphi_{\lambda}^{\lambda}) L = L_{(0)} \verb

Это и есть основное уравнение модели для лагранжиана. Если учесть, что свободный лагранжиан представляет собой сумму лагранжианов "вещества" и свободного грав.поля

$$ L_{(0)} = L_{(0) \verb

то уравнение (6) распадается на аналогичные независимые уравнения для "одетых" лагранжианов вещества и грав.поля.

Добавлено спустя 2 часа 12 минут 49 секунд:

В качестве "подопытного кролика" возьмем скалярное поле со свободным лагранжианом

$$ L_{(0)}= \frac {1} {2} ( D^{\mu} \psi \eta_{\mu \nu} D^{\nu} \psi - m^2 \psi^2 ) $$

Если использовать данный лагранжиан в правой части уравнения (6), то решение следует искать в виде:

$$ L= \frac {1} {2} ( D^{\mu} \psi Q_{\mu \nu}^{1} D^{\nu} \psi - Q^{0} m^2 \psi^2 ) $$

где $Q_{\mu \nu}^{1} , Q^{0} $ - метрические коэффициенты, зависящие от метрики Минковского и грав.тензорного потенциала. Поскольку исходный лагранжиан не зависит от коэффициентов Кристоффеля, то и "одетый" не будет от них зависеть. Метрические коэффициенты удовлетворяют уравнениям:

$$ 2 \varphi_{\alpha \beta} \frac {\partial Q_{\mu \nu}^{1}} {\partial \eta_{\alpha \beta}} + ( 1 - \varphi_{\lambda}^{\lambda} ) Q_{\mu \nu}^{1} = \eta_{\mu \nu} $$

$$ 2 \varphi_{\alpha \beta} \frac {\partial Q^{0}} {\partial \eta_{\alpha \beta}} + ( 1 - \varphi_{\lambda}^{\lambda} ) Q^{0} = 1 $$

Добавлено спустя 12 минут 39 секунд:

Если лагранжиан допускает "геометризацию", то между метрическими коэффициентами должна существовать определенная геометрией связь. Мне удалось показать что, связь, диктуемая например Римановой геометрией, не выполняется для этих коэффициентов. Остается надежда на более общие геометрии. Как это видно из диф.уравнений, зависимость лагранжиана от грав.потенциала становится слишком сложной - она попросту не выражается в элементарных функциях. Может "пушистый" мне поможет?

[Котофеич]

Спасение утопающих дело рук самих утопающих. Завтра подберу что нить для Вас
по более общим гнеометриям.

[Munin]

VladTK писал(а):

Другие модели класса имеют аналогичную математическую структуру и этот вывод сохранится и для них. Для вас это не очевидно?

Нет, не очевидно.

[VladTK]

Цитата:

Нет, не очевидно.

Нет, не очевидно.

Если я покажу Вам независимость уравнения движения малой точечной частицы от ее свойств в любой модели класса, этого будет достаточно?

Цитата:

Спасение утопающих дело рук самих утопающих. Завтра подберу что нить для Вас
по более общим гнеометриям.

Вы сделали почти максимально возможное из того что могли Благодарю. Только если возникнет у меня некое непонимание в этих геометриях, могу я надеются на Вашу поддержку?

[Munin]

VladTK писал(а):

Если я покажу Вам независимость уравнения движения малой точечной частицы от ее свойств в любой модели класса, этого будет достаточно?

Нет, конечно. Чего вы вообще к частице прицепились? Вы для поля с произвольным лагранжианом покажите...

[Котофеич]

Цитата:

Спасение утопающих дело рук самих утопающих. Завтра подберу что нить для Вас
по более общим геометриям.

Есть книжка по достаточно общим геометриям
Clifford and Riemann-Finsler Structures in Geometric Mechanics and Gravity
Authors: S. Vacaru, P. Stavrinos, E. Gaburov, D. Gonţa
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0508023
1.4.3 Generalized Lagrange and Hamilton geometries

[VladTK]

Цитата:

Чего вы вообще к частице прицепились

Просто эта система традиционно рассматривается в ОТО как "пробный конек". Но если Вам хочется "общности", попробую.

Итак, лагранжиан произвольной модели класса можно представить в виде

$$ N=\left( 1 - 2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} + k_2 \left( 2 \varphi_{\mu \nu} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} \right)^2 + ... \right) N_{(0)} $$

с некоторыми коэффициентами $ k_i ( i=2,...,\infty ) $. Разумеется, я предполагаю, что все необходимые математичеcкие условия сходимости данного ряда выполнены. В общем случае, данный ряд будет давать некоторый интегро-дифференциальный оператор

$$ N= \hat F (\varphi) N_{(0)} $$

Какими бы не были коэффициенты ряда $ k_i $, этот оператор обладает важным свойством - он линеен:

$$ \hat F (\varphi) (c_1 f_1(\eta)+c_2 f_2(\eta))= c_1 \hat F (\varphi) f_1(\eta)+c_2 \hat F (\varphi) f_2(\eta) $$

Рассмотрим подробнее структуру свободной лагранжевой плотности

$$ N_{(0)} = \sqrt{\eta} L_{(0)} $$

Свободный лагранжиан можно всегда представить в виде ряда по метрическому тензору и его производным по координатам (или лучше по символам Кристоффеля 1 рода (СК1))

$$ L_{(0)}=\sum\limits_{n,m} L_{n m}(\psi) \eta^n \Gamma^m $$

Здесь все пространственно-временные индексы опущены, $ n,m $ обозначают количество соответствующих множителей, $ L_{n m}(\psi) $ - коэффициенты разложения, зависящие только от динамических переменных "вещества" $ \psi $.

Отсюда, с учетом того что наш оператор действует только на метрику и СК1, получаем для "одетой" гравитацией лагранжевой плотности

$$ N= \sum\limits_{n,m} L_{n m}(\psi) \hat F (\varphi) ( \sqrt{\eta} \eta^n \Gamma^m ) $$

Отсюда можно сделать важный вывод (по сути эквивалентный принципу относительности в "слабой" форме), что по крайней мере лагранжиан "вещества" "одетый" гравитацией (а вместе с ним и полевые уравнения для "вещества"), не изменяет своего функционального вида как функция динамических переменных "вещества" $ \psi $.

Как пример, я приводил уже вывод "одетого" лагранжиана скалярного поля.

Цитата:

Есть книжка по достаточно общим геометриям ...

Спасибо. Обязательно посмотрю. А на русском ничего нормального по теме нет?