Докажем ВТФ для очень ограниченного множества чисел:
Разность соседних кубов - не кубОчевидно, что
Из бинома Ньютона разность соседних кубов:
Допустим
Попытаемся привести левую часть к виду правой. Перенесём единицу:
Первый член слева всегда кратен
3. Чтобы вся левая часть была кратна
3,
также должно быть кратно
3. Далее рассматриваем только кубы с
основанием
c, отвечающим условию:
Получим:
и
Произведение двух соседних чисел далее в данном тексте будем именовать
постквадратом. Приблизим левую часть к такому именно виду. Для этого
пригодны
с, представляющие собой полный квадрат:
Заметим, что
,
что
и
Тогда
Первые два члена образуют искомый
постквадрат, но третий и четвертый -
избыток, нарушающий равенство.
Казалось бы заманчиво уменьшить
с, взяв:
,
но упомянутый избыток недостаточен, чтобы заполнить образующуюся брешь, так как
более, чем втрое превышает
.
Исходное допущение невыполнимо. Теорема доказана для соседних кубов.