Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #594528 писал(а):

Я же доказал ложность только недоказуемых утверждений о существовании решений диофантовых уравнений.

Ладно, я могу согласиться с тем, что доказанно неразрешимые в «минимальной арифметике» высказывания класса $\Sigma^0_1$ арифметической иерархии можно считать ложными. А что делать с высказываниями, доказать неразрешимость которых не удалось? А с высказываниями других классов арифметической иерархии (типа существования простого числа)?

[Феликс Шмидель]

Цитата:

А что делать с высказываниями, доказать неразрешимость которых не удалось? А с высказываниями других классов арифметической иерархии (типа существования простого числа)?

Пытаться доказать эти высказывания в $ZFC$.
Если известно, что это сделать нельзя, ввести аксиому существования недостижимого кардинала и пытаться доказать высказывание в полученной таким образом новой теории множеств.

[Феликс Шмидель]

После получения доказательства задать вопрос, при каких предположениях, оно доказывает истинность доказанного утверждения. Например, если в $ZFC$ будет доказано несуществование нечётного совершенного числа, то это утверждение будет истинно при предположении, что $ZFC$ непротиворечива. Если $ZFC$ противоречива, то это может не повлиять на доказательство, и утверждение останется истинным при предположении непротиворечивости исправленной системы аксиом.
В любом случае, нет оснований подвергать сомнению объективную истинность или ложность арифметических утверждений.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #594760 писал(а):

Пытаться доказать эти высказывания в ZFC.
Если известно, что это сделать нельзя, ввести аксиому существования недостижимого кардинала и пытаться доказать высказывание в полученной таким образом новой теории множеств.

Чем Вам так дались эти теории множеств и недостижимые кардиналы? Известно, что существование простого числа, недоказуемое в "минимальной арифметике", никакая теория множеств ни с какими кардиналами доказать не поможет, если только не "подправить" само понятие натурального числа. А знаете почему? Потому что одна из моделей "натуральных чисел", совместимая с "минимальной арифметикой", - это положительные действительные числа, и вряд ли факт существования этой модели отменят какие-нибудь большие кардиналы.

Феликс Шмидель в сообщении #594784 писал(а):

В любом случае, нет оснований подвергать сомнению объективную истинность или ложность арифметических утверждений.

Подвергать сомнению пока что просто нечего, поскольку про "объективную истинность" некоторых арифметических утверждений ничего неизвестно.

[Феликс Шмидель]

epros в сообщении #594822 писал(а):

Известно, что существование простого числа, недоказуемое в "минимальной арифметике", никакая теория множеств ни с какими кардиналами доказать не поможет

Существование простого числа в стандартных натуральных числах доказуемо в $ZFC$.

[Феликс Шмидель]

Цитата:

Чем Вам так дались эти теории множеств и недостижимые кардиналы?

Цитата:

не поможет, если только не "подправить" само понятие натурального числа.

Цитата:

про "объективную истинность" некоторых арифметических утверждений ничего неизвестно.

Я и предлагаю "подправить". Назовём натуральными числами конечные ординальные числа в теории множеств. Недостижимые кардиналы позволяют доказывать свойства этих чисел, которые без этих кардиналов недоказуемы.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #595102 писал(а):

Существование простого числа в стандартных натуральных числах доказуемо в ZFC.

Весь вопрос в том, что такое «стандартные» натуральные числа.

Феликс Шмидель в сообщении #595106 писал(а):

Я и предлагаю "подправить". Назовём натуральными числами конечные ординальные числа в теории множеств. Недостижимые кардиналы позволяют доказывать свойства этих чисел, которые без этих кардиналов недоказуемы.

До сих пор Вы предлагали называть натуральными числами то, что определяется аксиомами «минимальной арифметики». А это не то же самое. Подправить конечно можно, но каждый раз придётся оговаривать, что и как именно мы подправили. А где же общезначимое понятие натурального числа? Где тот набор аксиом, которые его определяют?

[Skipper]

Интересный вопрос. Пишут что "аксиома выбора" недоказуема исходя из системы аксиом Цермело-Френкеля.
Но если в будущем в "системе аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора" - появится противоречивое утверждение
(которое можно и доказать и опровергнуть) - то из этого последует что "система аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора" - противоречива,
и тем самым будет доказано что сама "аксиома выбора" - неверна.

Правильно я понимаю?

[Someone]

Skipper в сообщении #1321344 писал(а):

Правильно я понимаю?

Ситуация ещё хуже: если ZFС противоречива, то ZF тоже противоречива. Потому что, имея модель ZF, можно определить другую модель ZF, в которой аксиома выбора справедлива (а также справедливы аксиома регулярности и обобщённая континуум-гипотеза).

Далась Вам эта аксиома выбора… Математики уже сто лет как решили, что эта аксиома совершенно естественна и очень полезна, а философы до сих пор спорят.

[arseniiv]

Skipper
Нет, неправильно. Во-первых, аксиома в отдельности сама по себе не может быть «неверна» или «верна»; C или её аналоги можно «подключать» и к другим теориям множеств, в некоторых сразу же получая противоречия, в некоторых не получая (если исходная была непротиворечива). То же самое относительно следования одних аксиом из других: всегда есть контекст.

Плюс, если ZFC противоречива вместе с ZF [ага, по словам Someone это даже всегда будет], будет глупо говорить, что противоречивость в ZFC приносится из-за C.

И, пожалуйста, не ставьте лишние кавычки.

[Skipper]

Цитата:

Ситуация ещё хуже: если ZFС противоречива, то ZF тоже противоречива.

Ого, даже не знал.. Ну тогда получается, поскольку в ZF никто не сомневается, значит аксиома выбора верна..

Цитата:

аксиома в отдельности сама по себе не может быть «неверна» или «верна»

Если приводит к противоречивой системе то неверна.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1321686 писал(а):

Если приводит к противоречивой системе то неверна.

Есть противоречивая система из нескольких аксиом, выкидывание любой делает ее непротиворечивой. Какая из аксиом неверна?

Skipper в сообщении #1321686 писал(а):

Ну тогда получается, поскольку в ZF никто не сомневается, значит аксиома выбора верна

Проблема в том, что если ZF непротиворечива, то непротиворечивы и ZFC и ZF+AD. Вашими рассуждениями получается, что аксиомы выбора и детерменированности обе "верны". Но при этом они противоречат друг другу.
Видимо, вы пользуетесь каким-то странным понятием "верности". Можете написать его определение?

[Skipper]

Цитата:

Видимо, вы пользуетесь каким-то странным понятием "верности". Можете написать его определение?

О любом утверждении (необязательно математическом) - можно сказать одно - 1) оно истинно, или 2) оно ложно.
Значит и аксиома выбора должна быть или истинной или ложной. третьего быть не может.

[Someone]

Skipper в сообщении #1321736 писал(а):

О любом утверждении (необязательно математическом) - можно сказать одно - 1) оно истинно, или 2) оно ложно.

Нет, это не так. Если у нас есть формальная теория, то в ней нет понятия истинности/ложности. Есть только понятие выводимости/невыводимости. Истинность/ложность связана с интерпретацией теории. Интерпретация — это совокупность объектов, которые сопоставляются переменным, константам и вообще всяким термам формального языка. Также интерпретируются функции и отношения. Истинность/ложность существует только в связи с интерпретацией. Интерпретация является моделью теории, если все аксиомы теории истинны, а правила вывода из истинных формул выводят истинные формулы. Для теорий первого порядка справедлива теорема о том, что формула выводима тогда и только тогда, когда она истинна в любой модели.

Так вот, среди моделей ZF есть такие, в которых аксиома выбора (AC) истинна, и есть такие, в которых она ложна. Такое же положение с аксиомой детерминированности (AD). При этом нет моделей, в которых истинны и AC, и AD, поскольку теория ZF+AC+AD противоречива.

И ещё: понятия "верности" аксиомы нет.

[Skipper]

Цитата:

Так вот, среди моделей ZF есть такие, в которых аксиома выбора (AC) истинна, и есть такие, в которых она ложна.

Хорошо, допустим из аксиомы выбора следует какое нибудь утверждение, допустим, что
"Не существует множество имеющее большую мощность чем счетное, но меньшую чем мощность континуума".

Ну так всё таки - такое множество либо существует либо нет. Третьего же не дано.

Или как то оно может "и существовать и не существовать" одновременно?

Цитата:

Истинность/ложность связана с интерпретацией теории. Интерпретация — это совокупность объектов, которые сопоставляются переменным, константам и вообще всяким термам формального языка.
...
Так вот, среди моделей ZF есть такие, в которых аксиома выбора (AC) истинна, и есть такие, в которых она ложна.

Ну я вот и не могу понять. Кто то придумал интерпретацию, в которой аксиома истинна, а кто то - интерпретацию в которой она ложна?
А ест ьли примеры, чтобы сравнить эти "интерпретации" ?

Спасибо,