Трансфинитная индукция и непротиворечивость теории множеств

[Someone]

epros писал(а):

3. Определяем $B^{[\omega 0]}$ как бесконечную последовательность $\{x_{\omega 0}, x_{\omega 1}, x_{\omega 2}, ...\}$ элементов, имеющих номера из цепочки последователей ординала $\omega 0$.

У Вас нестандартные обозначения. Последователи ординала $\omega_0$ обозначаются, естественно, $\omega_0+1$, $\omega_0+2$, $\omega_0+3$,...

А $\omega_1$ обозначает первый несчётный ординал (мощности $\aleph_1$).

epros писал(а):

4. Определяем $A^{[\omega 0]}$ как бесконечную последовательность $\{x_0, x_{\omega 0}, x_1, x_{\omega 1}, x_2, x_{\omega 2}, ...\}$. Очевидно, что она включает все элементы с номерами до $\omega 0 + \omega 0$ (не включительно).

$\omega_0+\omega_0=\omega_0\cdot 2$. Далее, естественно, определяются $\omega_0\cdot 3=\omega_0\cdot 2+\omega_0$ (сложение и умножение именно в таком порядке), $\omega_0\cdot 4=\omega_0\cdot 3+\omega_0$,...
Точная верхняя грань этих ординалов есть $\omega_0\cdot\omega_0=\omega_0^2$.

epros писал(а):

5. Предполагаем, что для данного элемента $x_{\alpha}$ множества $\mathbb{S}$ существует последовательность $C^{[\alpha]} = \{c_0^{[\alpha]}, c_1^{[\alpha]}, c_2^{[\alpha]}, ...\}$, такая что:
- Если номер элемента $\alpha$ является предельным ординалом, то последовательность $C^{[\alpha]}$ включает все элементы множества $\mathbb{S}$, меньшие, чем $x_{\alpha}$.
- А если номер элемента $\alpha$ не является предельным ординалом, то последовательность $C^{[\alpha]}$ включает все элементы множества $\mathbb{S}$, меньшие, чем $x_{\alpha}$, а также все элементы $x_{\alpha}, x_{\alpha + 1}, x_{\alpha + 2}, ...$ с номерами, составляющими цепочку последователей ординала $\alpha$.

Существование такой последовательности надо не предполагать, а доказывать.

Положим, для $x_{\omega_0}$ она существует по определению. А дальше? Откуда возьмётся $C^{[\omega_0\cdot 2]}$? Вы ничего об этом не сказали. А $C^{[\omega_0^2]}$?

[epros]

Someone писал(а):

Существование такой последовательности надо не предполагать, а доказывать.

Положим, для $x_{\omega_0}$ она существует по определению. А дальше? Откуда возьмётся $C^{[\omega_0\cdot 2]}$? Вы ничего об этом не сказали. А $C^{[\omega_0^2]}$?

Вообще-то я предполагал рассуждение по индукции. Так что раз существует для $\omega$, то отсюда доказываем для $\omega + 1$ и т.д.

Но я уже вижу, что до $\omega^2$ эта процедура не дойдёт.

Посему у меня возникла совершенно свежая идея: Использовать Канторовскую диагональную процедуру (против него самого же )

1. Для начала выписываем таблицу первых $\omega^2$ элементов множества в следующем порядке:

$$\begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & x_2 & \ldots \\ x_{\omega} & x_{\omega + 1} & x_{\omega + 2} & \ldots \\ x_{2 \omega} & x_{2 \omega + 1} & x_{2 \omega + 2} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array}$$

Нумеруем их по диагоналям, начиная с угла:
$a_k^{[0, \omega^2)} = x_{i \cdot \omega + j}$, где $k = \frac{(i + j)(i + j + 1)}{2} + i$
Здесь в верхнем индексе показан диапазон ординалов, для которых данная последовательность нумерует элементы множества.

2. Аналогичным образом записываем:
$a_k^{[\omega^2, 2 \omega^2)} = x_{\omega^2 + i \cdot \omega + j}$
$a_k^{[2 \omega^2, 3 \omega^2)} = x_{2 \omega^2 + i \cdot \omega + j}$
...

3. Теперь записываем получившуюся серию последовательностей в такую же таблицу:

$$\begin{array}{cccc} a_0^{[0, \omega^2)} & a_1^{[0, \omega^2)} & a_2^{[0, \omega^2)} & \ldots \\ a_0^{[\omega^2, 2 \omega^2)} & a_1^{[\omega^2, 2 \omega^2)} & a_2^{[\omega^2, 2 \omega^2)} & \ldots \\ a_0^{[2 \omega^2, 3 \omega^2)} & a_1^{[2 \omega^2, 3 \omega^2)} & a_2^{[2 \omega^2, 3 \omega^2)} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array}$$

4 Опять применяя диагональную процедуру, получаем:
$a_k^{[0, \omega^3)} = a_i^{[j \cdot \omega^2, (j + 1) \cdot \omega^2)}$ (напоминаю, что $k = \frac{(i + j)(i + j + 1)}{2} + i$)

5. Поскольку можно пронумеровать диапазон $[x_0, x_{\omega^3})$, то можно пронумеровать и диапазоны $[x_{\omega^3}, x_{ 2 \omega^3})$, $[x_{ 2 \omega^3}, x_{3 \omega^3})$ и т.д., т.е. существуют последовательности:
$a_k^{[\omega^3, 2 \omega^3)}$
$a_k^{[2 \omega^3, 3 \omega^3)}$
...

6. Повторяя шаги 3-5 нужное количество раз, от любого $a_k^{[0, \omega^n)}$ переходим к $a_k^{[0, \omega^{n + 1})}$. Таким образом, по индукции получаем $\forall n \in \mathbb{N} \verb

7. Поскольку элементы множества можно пронумеровать до $\omega^n$, это же самое означает, что их можно пронумеровать до $\omega^{2 n}$, до $\omega^{3 n}$ и т.д. (просто заменяем переменную n). Т.е. существуют последовательности:
$A^{[0, \omega^n)} = \{(k, a_k^{[0, \omega^n)})\}$
$A^{[0, \omega^{2 n})} = \{(k, a_k^{[0, \omega^{2 n})})\}$
$A^{[0, \omega^{3 n})} = \{(k, a_k^{[0, \omega^{3 n})})\}$
...

8. Из второй последовательности удаляем все элементы, имеющиеся в первой, а потом сдвигаем нумерацию (сохраняя порядок, но уплотняя "дыры"). В результате получим последовательность $A^{[\omega^n, \omega^{2 n})}$. После этого из третьей последовательности удаляем все элементы, имеющиеся в первой и во второй, уплотняем, получаем $A^{[\omega^{2 n}, \omega^{3 n})}$. И т.д. по индукции. (В принципе, этот пункт можно было бы не выполнять, если нам достаточно инъекции $\mathbb{R} \to \mathbb{N}$).

9. Получившуюся серию последовательностей опять записываем в виде таблицы:

$$\begin{array}{cccc} a_0^{[0, \omega^n)} & a_1^{[0, \omega^n)} & a_2^{[0, \omega^n)} & \ldots \\ a_0^{[\omega^n, \omega^{2 n})} & a_1^{[\omega^n, \omega^{2 n})} & a_2^{[\omega^n, \omega^{2 n})} & \ldots \\ a_0^{[\omega^{2 n}, \omega^{3 n})} & a_1^{[\omega^{2 n}, \omega^{3 n})} & a_2^{[\omega^{2 n}, \omega^{3 n})} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array}$$

10. Применив в очередной раз процедуру диагональной нумерации, получим последовательность, нумерующую все элементы множества вплоть до $\omega^{\omega}$.

Какой там у нас минимальный несчётный ординал?

[Someone]

Вы неправильно записываете выражения с порядковыми числами (ординалами): при общепринятых обозначениях $2\omega=\omega\neq\omega\cdot 2=\omega+\omega$ и $1+\omega=\omega\neq\omega+1$ ($\omega$ - это, конечно, $\omega_0$; обозначение является достаточно распространённым). Подробнее об этом можно прочесть в книге

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Вам в первую очередь полезно посмотреть главу VI, § 4, и главу VII, §§ 5 - 7.

epros писал(а):

Но я уже вижу, что до $\omega^2$ эта процедура не дойдёт.

Значит, наши беседы были не напрасными.

epros писал(а):

10. Применив в очередной раз процедуру диагональной нумерации, получим последовательность, нумерующую все элементы множества вплоть до $\omega^{\omega}$.

Какой там у нас минимальный несчётный ординал?

Наименьший несчётный ординал обозначается $\omega_1$. До него никакими счётными процедурами не добраться. В частности, $\omega^{\omega}$ - счётный ординал, и ещё "не очень большой". Вы ведь получили $\omega^{\omega}$ как объединение счётного множества счётных множеств $\omega^n$, $n<\omega$. Почитайте книжку, которую я Вам рекомендовал.

[epros]

Someone писал(а):

Вы неправильно записываете выражения с порядковыми числами (ординалами): при общепринятых обозначениях $2\omega=\omega\neq\omega\cdot 2=\omega+\omega$ и $1+\omega=\omega\neq\omega+1$ ($\omega$ - это, конечно, $\omega_0$; обозначение является достаточно распространённым). Подробнее об этом можно прочесть в книге

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Вам в первую очередь полезно посмотреть главу VI, § 4, и главу VII, §§ 5 - 7.

Спасибо, скачаю - буду смотреть.

Someone писал(а):

Наименьший несчётный ординал обозначается $\omega_1$. До него никакими счётными процедурами не добраться. В частности, $\omega^{\omega}$ - счётный ординал, и ещё "не очень большой". Вы ведь получили $\omega^{\omega}$ как объединение счётного множества счётных множеств $\omega^n$, $n<\omega$. Почитайте книжку, которую я Вам рекомендовал.

Если я ни в чём не ошибся, то описанную мной выше процедуру можно продолжить и далее $\omega^{\omega}$, в частности, до $\omega^{(\omega^{\omega})}$ и далее.

Что касается недостижимости $\omega_1$ счётными процедурами, то получается, что он недостижим и никакими "арифметическими" процедурами над $\omega_0$, т.е. вообще никакая функция от $\omega_0$ не даст нам $\omega_1$?

Это как-то очень странно, потому что к $\omega_0$ мы легко переходим, поставив его сразу после бесконечной последовательности $\{0,1,2,...\}$. Каким образом тогда можно применять трансфинитную индукцию на $\omega_1$ и далее? Вот вывод о верности уверждения для $\omega_0$ мы можем сделать, если оно верно для всех членов последовательности $\{0,1,2,...\}$, а можем ли мы сделать вывод о верности утверждения для $\omega_1$, если оно верно для "любой функции" от $\omega_0$?

[Someone]

epros писал(а):

Если я ни в чём не ошибся, то описанную мной выше процедуру можно продолжить и далее $\omega^{\omega}$, в частности, до $\omega^{(\omega^{\omega})}$ и далее.

Вы очень усложняете вопрос. Если Вы вполне упорядочили множество действительных чисел, то множество $\{x_{\alpha}:\alpha<\beta\}$ будет счётным (или конечным) для любого счётного (или конечного) ординала $\beta$, так что его заведомо можно занумеровать натуральными числами. Но Вам хочется строить новую последовательность, используя ранее построенные, а сложность такого построения зависит от сложности рассматриваемого ординала.
Между тем, счётные ординалы могут быть устроены весьма сложно. В той книге, на которую я ссылался, определяются так называемые "эпсилоновые ординалы". Они получаются так. Берём любой конечный или счётный ординал $\gamma_0$ и определяем последовательность формулой $\gamma_{n+1}=\omega_0^{\gamma_n}$ для $n<\omega_0$. Тогда $\gamma_0<\gamma_1<\gamma_2<\ldots$. Определяем $\varepsilon(\gamma_0)=\sup\{\gamma_n:n<\omega_0\}$. Полученный таким образом ординал и называется эпсилоновым. Он счётный и удовлетворяет соотношению $\omega_0^{\varepsilon(\gamma_0)}=\varepsilon(\gamma_0)$.

epros писал(а):

Что касается недостижимости $\omega_1$ счётными процедурами, то получается, что он недостижим и никакими "арифметическими" процедурами над $\omega_0$, т.е. вообще никакая функция от $\omega_0$ не даст нам $\omega_1$?

"Вообще никакая" - это, конечно, чересчур. Я имел в виду функции, значения которых на счётных ординалах являются также счётными ординалами, и точную верхнюю грань счётного множества счётных ординалов.

epros писал(а):

Это как-то очень странно, потому что к $\omega_0$ мы легко переходим, поставив его сразу после бесконечной последовательности $\{0,1,2,...\}$.

Но мы ведь не можем получить $\omega_0$ посредством конечной процедуры. И получаем его после бесконечного числа шагов. Почему Вас удивляет, что первый несчётный ординал получается только после несчётного числа шагов?

epros писал(а):

Каким образом тогда можно применять трансфинитную индукцию на $\omega_1$ и далее? Вот вывод о верности уверждения для $\omega_0$ мы можем сделать, если оно верно для всех членов последовательности $\{0,1,2,...\}$

Это смотря какое утверждение. Оно может быть таким, что на $\omega_0$ не распространяется (например, утверждение о конечности какого-нибудь множества, которое строится путём пошагового добавления попарно различных элементов). Такая же ситуация и для $\omega_1$: одни утверждения позволяют продолжать индукцию далее $\omega_1$, другие - нет (например, Ваше утверждение о счётности множества).

[epros]

Ещё раз хочу сказать спасибо за конкретные указания где и что почитать. Книжку я скачал и по мере наличия времени и возможности буду её изучать. Не судите строго, если я, не успев разобраться в каком-то моменте, буду задавать глупые вопросы.

Someone писал(а):

Вы очень усложняете вопрос. Если Вы вполне упорядочили множество действительных чисел, то множество $\{x_{\alpha}:\alpha<\beta\}$ будет счётным (или конечным) для любого счётного (или конечного) ординала $\beta$, так что его заведомо можно занумеровать натуральными числами.

Это я понимаю. Просто я априорно не знал, какие ординалы являются счётными, и мне показалось, что наиболее убедительный способ прояснения этого вопроса - предложить конкретную процедуру нумерации.

Someone писал(а):

Но Вам хочется строить новую последовательность, используя ранее построенные, а сложность такого построения зависит от сложности рассматриваемого ординала.
Между тем, счётные ординалы могут быть устроены весьма сложно.

Думаю, здесь дело не только в сложности. Я ведь просто нумеровал ординалы в том порядке, в котором они следуют, - куда смог добраться, применяя индуктивные рассуждения, туда добрался. Вопрос в том, куда и, главное, почему я не смогу добраться.

Someone писал(а):

В той книге, на которую я ссылался, определяются так называемые "эпсилоновые ординалы". Они получаются так. Берём любой конечный или счётный ординал $\gamma_0$ и определяем последовательность формулой $\gamma_{n+1}=\omega_0^{\gamma_n}$ для $n<\omega_0$. Тогда $\gamma_0<\gamma_1<\gamma_2<\ldots$. Определяем $\varepsilon(\gamma_0)=\sup\{\gamma_n:n<\omega_0\}$. Полученный таким образом ординал и называется эпсилоновым. Он счётный и удовлетворяет соотношению $\omega_0^{\varepsilon(\gamma_0)}=\varepsilon(\gamma_0)$.

Да, я прочитал. Как я понял, процедура нумерации заведомо проходит:
1. Через любые арифметические операции над ординалами: инкремент, сложение, умножение, возведение в степень. И даже через такую экзотическую арифметическую операцию $\alpha_n(\beta)$, как возведение ординала $\beta$ в степень самого себя $n \in \mathbb{N}$ раз, т.е.: $\alpha_{n + 1}(\beta) = \beta^{\alpha_n(\beta)}$, $\alpha_1(\beta) = \beta$.
2. Через операцию взятия предела последовательности счётных ординалов $\phi(n)$, где $n \in \mathbb{N}$, т.е. если $\beta = \lim\limits_{n < \omega_0} \phi(n)$, то $\beta$ - счётный ординал.

Соответственно, поскольку эпсилоновый ординал определяется как $\epsilon_0= \lim\limits_{n < \omega_0} \alpha_n(\omega_0)$, то он тоже счётный. Я правильно рассуждаю?

Someone писал(а):

epros писал(а):

Что касается недостижимости $\omega_1$ счётными процедурами, то получается, что он недостижим и никакими "арифметическими" процедурами над $\omega_0$, т.е. вообще никакая функция от $\omega_0$ не даст нам $\omega_1$?

"Вообще никакая" - это, конечно, чересчур. Я имел в виду функции, значения которых на счётных ординалах являются также счётными ординалами, и точную верхнюю грань счётного множества счётных ординалов.

Как я понимаю, никакими арифметическими операциями (перечисленными выше) и операцией взятия предела последовательности счётных ординалов мы дальше ординала $\epsilon_0$ не уйдём. Потому что и $\epsilon_0^{\epsilon_0}$, и $\alpha_n(\epsilon_0)$ и даже $\alpha_{\omega_0}(\epsilon_0) = \lim\limits_{n < \omega_0}\alpha_n(\epsilon_0)$ - всё это равно всё тому же $\epsilon_0$. Правильно?

Дальнейший вопрос для меня заключается вот в чём: Если ординал $\beta < \omega_1$ (первого несчётного ординала), можно ли утверждать, что $\beta \leqslant \epsilon_0$?

К тому же мне пока так и не стало понятным, что именно помешает нам построить процедуру нумерации таким образом, чтобы относительно утверждения $P(\beta)$ о счётности ординала $\beta$ можно было утверждать: $\forall \beta < \omega_1 : P(\beta) \to P(\omega_1)$? Раз "существует" процедура перехода от счётного множества к несчётному (взятие множества мощности), то, наверное, ей должна соответствовать и какая-то функция $f : \omega_1 = f(\omega_0)$ над ординалами. Разве её нельзя выразить через арифметические операции и предел последовательности?

Например, для конечных ординалов эта функция: $f(n) = 2^{n}$. Почему её нельзя рассмотреть в пределе $n \to \omega_0$ и таким образом сопоставить операции взятия мощности для счётного множества функцию $f(\omega_0) = 2^{\omega_0}$ над ординалами?

Someone писал(а):

Но мы ведь не можем получить $\omega_0$ посредством конечной процедуры. И получаем его после бесконечного числа шагов. Почему Вас удивляет, что первый несчётный ординал получается только после несчётного числа шагов?

Да, я хорошо понимаю, почему конечная процедура не доказывает $P(\omega_0)$. Потому что она не даёт нам $\forall n < \omega_0 : P(n) \to P(\omega_0)$, а значит мы не можем применить индукцию, даже если имеем $\forall n < \omega_0 : P(n)$.

Someone писал(а):

Это смотря какое утверждение. Оно может быть таким, что на $\omega_0$ не распространяется (например, утверждение о конечности какого-нибудь множества, которое строится путём пошагового добавления попарно различных элементов). Такая же ситуация и для $\omega_1$: одни утверждения позволяют продолжать индукцию далее $\omega_1$, другие - нет (например, Ваше утверждение о счётности множества).

Честно говоря, не могу представить себе ни одного утверждения относительно ординалов, которое бы можно было продолжить до $\omega_1$. Для этого необходимо иметь $\forall \beta < \omega_1 : P(\beta) \to P(\omega_1)$, а где же мы его возьмём без каких-то соображений о том, что это такое за множество $\{\beta | \beta < \omega_1\}$?

[Someone]

epros писал(а):

Соответственно, поскольку эпсилоновый ординал определяется как $\epsilon_0= \lim\limits_{n < \omega_0} \alpha_n(\omega_0)$, то он тоже счётный. Я правильно рассуждаю?

Правильно.

epros писал(а):

Как я понимаю, никакими арифметическими операциями (перечисленными выше) и операцией взятия предела последовательности счётных ординалов мы дальше ординала $\epsilon_0$ не уйдём. Потому что и $\epsilon_0^{\epsilon_0}$, и $\alpha_n(\epsilon_0)$ и даже $\alpha_{\omega_0}(\epsilon_0) = \lim\limits_{n < \omega_0}\alpha_n(\epsilon_0)$ - всё это равно всё тому же $\epsilon_0$. Правильно?

Ну почему же? Прибавляя единицу на непредельных шагах и беря точную верхнюю грань уже построенного множества ординалов на предельных мы можем продвинуться до любого ординала, в том числе и до любого несчётного (только нужно понимать, что на несчётных шагах эта верхняя грань будет определяться для несчётного множества).

epros писал(а):

Дальнейший вопрос для меня заключается вот в чём: Если ординал $\beta < \omega_1$ (первого несчётного ординала), можно ли утверждать, что $\beta \leqslant \epsilon_0$?

Нет, конечно. С какой стати? $\epsilon_0+1>\epsilon_0$, но, разумеется, счётен.

epros писал(а):

К тому же мне пока так и не стало понятным, что именно помешает нам построить процедуру нумерации таким образом, чтобы относительно утверждения $P(\beta)$ о счётности ординала $\beta$ можно было утверждать: $\forall \beta < \omega_1 : P(\beta) \to P(\omega_1)$?

Предположим, у нас есть некоторый ординал $\alpha$, и для всех $\beta<\alpha$ существует нумерация ординала $\beta$ натуральными числами (обычно ординал отождествляется с множеством всех ординалов, которые меньше него, но, если хотите, можно говорить о множестве действительных чисел, занумерованных ординалами). Нумерация ординала $0$ имеется, поскольку меньших ординалов нет, то есть, нумерующая последовательность - пустая. Поэтому у нас будет $\alpha>0$. Нужно рассмотреть три случая.
1) $\alpha$ - непредельный ординал, то есть, существует такой ординал $\beta$, что $\alpha=\beta+1$, то есть, $\alpha=\beta\cup\{\beta\}$. Берём нумерующую последовательность для $\beta$ (она существует по индуктивному предположению), и в её начало вписываем ординал $\beta$, сдвигая на один шаг всё ранее перенумерованное. Получаем нумерацию $\alpha$.
2) $\alpha$ - счётный предельный ординал. Строить нумерацию $\alpha$ непосредственно по нумерациям всех $\beta<\alpha$ сложно, но у нас есть такой мощный инструмент, как теорема о счётности объединения счётного множества счётных множеств: $\alpha=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}\beta$ есть как раз такое объединение, поэтому требуемая нумерация ординала $\alpha$ существует.
3) $\alpha$ - первый несчётный ординал. В этом случае у нас нет способа построить нумерующую последовательность. Более того, поскольку этот ординал - несчётный, требуемая нумерация не существует по определению.

epros писал(а):

Раз "существует" процедура перехода от счётного множества к несчётному (взятие множества мощности), то, наверное, ей должна соответствовать и какая-то функция $f : \omega_1 = f(\omega_0)$ над ординалами. Разве её нельзя выразить через арифметические операции и предел последовательности?

Например, для конечных ординалов эта функция: $f(n) = 2^{n}$. Почему её нельзя рассмотреть в пределе $n \to \omega_0$ и таким образом сопоставить операции взятия мощности для счётного множества функцию $f(\omega_0) = 2^{\omega_0}$ над ординалами?

Здесь, боюсь, есть недоразумение, основанное на сходстве обозначений. Кроме того, кардиналы часто отождествляют с наименьшими ординалами соответствующей мощности ($\aleph_0$ c $\omega_0$, $\aleph_1$ с $\omega_1$, и так далее), и это добавляет поводов для путаницы. Операция $2^{\alpha}$ имеет совершенно разный смысл в случаях, когда $\alpha$ - ординал, и когда $\alpha$ - кардинал: $2^{\omega_0}=\lim\limits_{n<\omega_0}2^n=\omega_0$, в то время как $2^{\aleph_0}=\mathfrac c$ есть мощность множества подмножеств бесконечного счётного множества, то есть, континуум.

epros писал(а):

Честно говоря, не могу представить себе ни одного утверждения относительно ординалов, которое бы можно было продолжить до $\omega_1$. Для этого необходимо иметь $\forall \beta < \omega_1 : P(\beta) \to P(\omega_1)$, а где же мы его возьмём без каких-то соображений о том, что это такое за множество $\{\beta | \beta < \omega_1\}$?

Ну, опыта поднаберётесь, всё станет яснее.
Попробуйте, например, с помощью трансфинитной индукции построить на плоскости множество, которое с каждой прямой пересекается ровно в двух точках (не больше и не меньше). Множество всех прямых на плоскости имеет мощность континуум, и начать нужно с того, что перенумеровать все прямые ординалами, меньшими первого ординала мощности континуум. Если Вы догадаетесь, что дальше делать, то увидите, что несчётные ординалы, имеющие мощность меньше континуума (если они вообще есть), нисколько не мешают.

[epros]

Someone писал(а):

Ну почему же? Прибавляя единицу на непредельных шагах и беря точную верхнюю грань уже построенного множества ординалов на предельных мы можем продвинуться до любого ординала, в том числе и до любого несчётного (только нужно понимать, что на несчётных шагах эта верхняя грань будет определяться для несчётного множества).

Точно, я как-то упустил из виду, что $\epsilon_0+1>\epsilon_0$
Но ведь, рассуждая далее по индукции, мы можем пронумеровать следующие ординалы, каждый следующий из которых строго больше предыдущего:

1. $\epsilon_0+n$
2. $\epsilon_0+\omega_0$
3. $\epsilon_0+\omega_0 \cdot n$
4. $\epsilon_0+\omega_0^2$
5. $\epsilon_0+\omega_0^n$
6. $\epsilon_0+\omega_0^{\omega_0}$
7. $\epsilon_0+\epsilon_0 = \epsilon_0 \cdot 2$
8. $\epsilon_0 \cdot n$
9. $\epsilon_0 \cdot \omega_0$
10. $\epsilon_0 \cdot (\omega_0 + 1)$
11. $\epsilon_0 \cdot (\omega_0 + n)$
12. $\epsilon_0 \cdot (\omega_0 \cdot 2)$ (я намеренно не раскрываю скобку)
13. $\epsilon_0 \cdot (\omega_0 \cdot n)$
14. $\epsilon_0 \cdot \omega_0^2$
15. $\epsilon_0 \cdot \omega_0^n$
16. $\epsilon_0 \cdot \omega_0^{\omega_0}$
17. $\epsilon_0 \cdot \epsilon_0 = \epsilon_0^2$
18. $\epsilon_0^n$
19. $\epsilon_0^{\omega_0}$
20. $\epsilon_0^{\omega_0 + 1}$
21. $\epsilon_0^{\omega_0 + n}$
22. $\epsilon_0^{\omega_0 \cdot 2}$
23. $\epsilon_0^{\omega_0 \cdot n}$
24. $\epsilon_0^{\omega_0^2}$
25. $\epsilon_0^{\omega_0^n}$
26. $\epsilon_0^{\omega_0^{\omega0}}$
27. $\epsilon_0^{\epsilon_0}$

Но ведь $\epsilon_0^{\epsilon_0} = \epsilon_0^$, а поскольку все ординалы в цепочке строго больше предыдущих, это противоречит транзитивности отношения полного порядка.

Где я ошибся?

P.S. Сорри, я кажется был неправ, когда писал $\epsilon_0^{\epsilon_0} = \epsilon_0^$. Похоже там предвидится цепочка бесконечных определений новых ординалов, причём все они оказываются счётными...

Прав ли я буду, если определю $\epsilon_{n + 1} = \alpha_{\omega_0}(\epsilon_n)$, где $\alpha_{\omega_0}(\beta) = \lim\limits_{n < \omega_0} \alpha_n (\beta)$, а $\alpha_{n + 1} (\beta) = \omega_0^{\alpha_n (\beta)}$, при $\alpha_1 (\beta) = \beta$, и скажу, что все эти ординалы счётные и $\epsilon_{n + 1} > \epsilon_n$?

Прав ли я также буду, если определю класс функций $\gamma_{n + 1}(\beta) = \alpha_{\omega_0}(\gamma_n (\beta))$, при $\gamma_0 (\beta) = \beta$, и скажу, что все ординалы типа $\gamma_n (\omega_0)$, которые составляют последовательность $\{\omega_0, \epsilon_0, \epsilon_{\omega_0}, ...\}$ тоже каждый больше предыдущего и каждый является счётным?

И что я могу определить функцию $\delta_{n + 1}(\beta) = \gamma_{\omega_0}(\delta_n (\beta))$ и с её помощью снова могу построить последовательность ординалов типа $\delta_n (\omega_0)$, которые будут каждый больше предыдущего и каждый будет счётным?

И т.д.?

Someone писал(а):

3) $\alpha$ - первый несчётный ординал. В этом случае у нас нет способа построить нумерующую последовательность. Более того, поскольку этот ординал - несчётный, требуемая нумерация не существует по определению.

Видите ли в чём дело, моя задача - доказать противоречивость аксиоматики. Поэтому мне нет смысла изначально исходить из теоремы Кантора, согласно которой несчётные ординалы существуют. А больше нам утверждение об их существовании, насколько я понимаю, взять неоткуда.

Someone писал(а):

Здесь, боюсь, есть недоразумение, основанное на сходстве обозначений. Кроме того, кардиналы часто отождествляют с наименьшими ординалами соответствующей мощности ($\aleph_0$ c $\omega_0$, $\aleph_1$ с $\omega_1$, и так далее), и это добавляет поводов для путаницы. Операция $2^{\alpha}$ имеет совершенно разный смысл в случаях, когда $\alpha$ - ординал, и когда $\alpha$ - кардинал: $2^{\omega_0}=\lim\limits_{n<\omega_0}2^n=\omega_0$, в то время как $2^{\aleph_0}=\mathfrac c$ есть мощность множества подмножеств бесконечного счётного множества, то есть, континуум.

Я понял, что Вы имеете в виду. Я не подразумеваю равенства между соответствующими ординалами и кардиналами, поэтому формулу $f(\beta) = 2^{\beta}$ я беру не из арифметики кардиналов.

Идея функции от ординалов $f(\beta)$ у меня такова:
$f(\beta) = Ord(P[\{\alpha | \alpha < \beta\}])$, где $Ord(A)$ - минимальный ординал, превышающий номера всех элементов множества $A$, а $P[A]$ множество мощности для множества $A$.

Нетрудно убедиться, что $\forall n \in \mathbb{N} : f(n) = 2^n$.
Тем не менее, $f(\omega_0) = \omega_1$, т.е. $\lim\limits_{n < \omega_0} f(n) \neq f(\omega_0)$, т.е. функция "разрывна в $\omega_0$", что довольно странно...

Someone писал(а):

Попробуйте, например, с помощью трансфинитной индукции построить на плоскости множество, которое с каждой прямой пересекается ровно в двух точках (не больше и не меньше). Множество всех прямых на плоскости имеет мощность континуум, и начать нужно с того, что перенумеровать все прямые ординалами, меньшими первого ординала мощности континуум. Если Вы догадаетесь, что дальше делать, то увидите, что несчётные ординалы, имеющие мощность меньше континуума (если они вообще есть), нисколько не мешают.

Возможно, соображу со временем. Просто сейчас мозги другим заняты...

[Someone]

epros писал(а):

Но ведь $\epsilon_0^{\epsilon_0} = \epsilon_0^$, а поскольку все ординалы в цепочке строго больше предыдущих, это противоречит транзитивности отношения полного порядка.

Где я ошибся?

Я как-то раньше не обратил внимание на это Ваше утверждение. С чего Вы взяли, что это так? Имеется равенство $\omega_0^{\epsilon_0}=\epsilon_0$, а того, что Вы пишете, никто не обещал.

Добавление. Пока я писал Вам ответ, Вы отредактировали своё сообщение и, как вижу, всё поняли правильно.

epros писал(а):

Someone писал(а):

3) $\alpha$ - первый несчётный ординал. В этом случае у нас нет способа построить нумерующую последовательность. Более того, поскольку этот ординал - несчётный, требуемая нумерация не существует по определению.

Видите ли в чём дело, моя задача - доказать противоречивость аксиоматики. Поэтому мне нет смысла изначально исходить из теоремы Кантора, согласно которой несчётные ординалы существуют. А больше нам утверждение об их существовании, насколько я понимаю, взять неоткуда.

Ну-ну. Тогда стройте нумерацию $\omega_1$ непосредственно.

Вообще, если бы противоречие существовало на таком уровне, его нашли бы сто лет назад.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Здесь, боюсь, есть недоразумение, основанное на сходстве обозначений. Кроме того, кардиналы часто отождествляют с наименьшими ординалами соответствующей мощности ($\aleph_0$ c $\omega_0$, $\aleph_1$ с $\omega_1$, и так далее), и это добавляет поводов для путаницы. Операция $2^{\alpha}$ имеет совершенно разный смысл в случаях, когда $\alpha$ - ординал, и когда $\alpha$ - кардинал: $2^{\omega_0}=\lim\limits_{n<\omega_0}2^n=\omega_0$, в то время как $2^{\aleph_0}=\mathfrac c$ есть мощность множества подмножеств бесконечного счётного множества, то есть, континуум.

Я понял, что Вы имеете в виду. Я не подразумеваю равенства между соответствующими ординалами и кардиналами, поэтому формулу $f(\beta) = 2^{\beta}$ я беру не из арифметики кардиналов.

Идея функции от ординалов $f(\beta)$ у меня такова:
$f(\beta) = Ord(P[\{\alpha | \alpha < \beta\}])$, где $Ord(A)$ - минимальный ординал, превышающий номера всех элементов множества $A$, а $P[A]$ множество мощности для множества $A$.

Я не понял, что такое "множество мощности для множества $A$". И откуда взялись номера у элементов произвольного множества. В общем, мне непонятно, какую функцию Вы определили.
Мощность множества $A$ я привык обозначать $|A|$, хотя встречал и другие обозначения, например, $Card(A)$ или $\Bar{\Bar A}$. А наименьший ординал, превышающий все ординалы из множества $A$, можно записать как $\sup\{\alpha+1:\alpha\in A\}$; если же достаточно, чтобы он был $\geqslant$ всех элементов множества $A$, то как $\sup\{\alpha:\alpha\in A\}=\sup A$.

epros писал(а):

Нетрудно убедиться, что $\forall n \in \mathbb{N} : f(n) = 2^n$.
Тем не менее, $f(\omega_0) = \omega_1$, т.е. $\lim\limits_{n < \omega_0} f(n) \neq f(\omega_0)$, т.е. функция "разрывна в $\omega_0$", что довольно странно...

Уточните свои определения, тогда посмотрим.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Попробуйте, например, с помощью трансфинитной индукции построить на плоскости множество, которое с каждой прямой пересекается ровно в двух точках (не больше и не меньше). Множество всех прямых на плоскости имеет мощность континуум, и начать нужно с того, что перенумеровать все прямые ординалами, меньшими первого ординала мощности континуум. Если Вы догадаетесь, что дальше делать, то увидите, что несчётные ординалы, имеющие мощность меньше континуума (если они вообще есть), нисколько не мешают.

Возможно, соображу со временем. Просто сейчас мозги другим заняты...

Жаль. А я надеялся направить Вас в более полезном направлении.

Вы, если не секрет, учитесь? И где?

[epros]

Someone писал(а):

Я как-то раньше не обратил внимание на это Ваше утверждение. С чего Вы взяли, что это так? Имеется равенство $\omega_0^{\epsilon_0}=\epsilon_0$, а того, что Вы пишете, никто не обещал.

Да, я уже успел заметить. См. выше.

Someone писал(а):

Ну-ну. Тогда стройте нумерацию $\omega_1$ непосредственно.

Рад бы, да не имею никакого понятия о том, что такое $\omega_1$

Someone писал(а):

Вообще, если бы противоречие существовало на таком уровне, его нашли бы сто лет назад.

Будем постепенно повышать свой уровень

Меня на эти мысли натолкнул парадокс Сколема. Существует куча объяснений того, что это на самом деле никакой и не парадокс, но как-то мне они не кажутся достаточно убедительными. Я понимаю, что к формальному логическому противоречию его привести, наверное, не получается, но всё же на каком-то уровне понятий я никак не могу совместить теорему Кантора с выводами теоремы Лёвенхейма-Сколема.

Someone писал(а):

epros писал(а):

Идея функции от ординалов $f(\beta)$ у меня такова:
$f(\beta) = Ord(P[\{\alpha | \alpha < \beta\}])$, где $Ord(A)$ - минимальный ординал, превышающий номера всех элементов множества $A$, а $P[A]$ множество мощности для множества $A$.

Я не понял, что такое "множество мощности для множества $A$". И откуда взялись номера у элементов произвольного множества. В общем, мне непонятно, какую функцию Вы определили.

Множество мощности (power set) - множество всех подмножеств данного множества, которое существует согласно аксиоме множества подмножеств. Может быть я неправильный термин употребил?

"Номера" у элементов произвольного множества - это ординалы, начиная с 0, которые задают на нём отношение полного порядка, которое существует для любого множества согласно теореме Цемерло.

Someone писал(а):

Вы, если не секрет, учитесь? И где?

Давно уже нет. Интересуюсь. Всем тем, чего в своё время не доучил.

[Someone]

epros писал(а):

Someone писал(а):

Я как-то раньше не обратил внимание на это Ваше утверждение. С чего Вы взяли, что это так? Имеется равенство $\omega_0^{\epsilon_0}=\epsilon_0$, а того, что Вы пишете, никто не обещал.

Да, я уже успел заметить. См. выше.

Я это заметил и вставил дополнение. См. выше.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Ну-ну. Тогда стройте нумерацию $\omega_1$ непосредственно.

Рад бы, да не имею никакого понятия о том, что такое $\omega_1$

Вы можете понимать $\omega_1$ как множество всех счётных (и конечных )ординалов. Как Вы уже могли заметить, всякие счётные построения, осуществляемые внутри этого множества, за его пределы не выводят. И если у нас есть последовательность счётных ординалов $\alpha_n$, $n<\omega_0$, то она заведомо все счётные ординалы не содержит: ординал $\beta=\sup\{\alpha_n+1:n<\omega_0\}$ заведомо больше всех $\alpha_n$, $n<\omega_0$, и потому в последовательность не входит. Поэтому не вижу я, как Вы хотите построить требуемую нумерацию.

epros писал(а):

Меня на эти мысли натолкнул парадокс Сколема. Существует куча объяснений того, что это на самом деле никакой и не парадокс, но как-то мне они не кажутся достаточно убедительными. Я понимаю, что к формальному логическому противоречию его привести, наверное, не получается, но всё же на каком-то уровне понятий я никак не могу совместить теорему Кантора с выводами теоремы Лёвенхейма-Сколема.

Ну, в каждом из нас после знакомства с теорией множеств и понятием мощности сидит убеждение, что мощность является абсолютным понятием, то есть, если уж множество счётно, то оно "всегда" счётно. А теория моделей подкидывает удивительный сюрприз, с которым довольно трудно свыкнуться: мощность множества может зависеть от того, в какой модели его рассматривать. Методом вынуждения (или форсинга, как его чаще называют) можно целенаправленно сдвигать кардиналы, строя модели с определёнными соотношениями между кардиналами. Есть довольно сложная книга на эту тему:

П.Дж.Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969.

Там можете найти что-нибудь созвучное своим попыткам, но, повторяю, книга трудная. Сдвиг мощностей осуществляется путём принудительного определения взаимно однозначного соответствия.
Есть ещё

Т.Йех. Теория множеств и метод форсинга. "Мир", Москва, 1973.

epros писал(а):

Множество мощности (power set) - множество всех подмножеств данного множества, которое существует согласно аксиоме множества подмножеств. Может быть я неправильный термин употребил?

Да. "Power set" - это "множество-степень", по-русски обычно называется "множество подмножеств".

epros писал(а):

"Номера" у элементов произвольного множества - это ординалы, начиная с 0, которые задают на нём отношение полного порядка, которое существует для любого множества согласно теореме Цемерло.

Ну тогда надо как-нибудь канонизировать, какой именно полный порядок имеется в виду. Допустим, брать наименьший ординал. Тогда Вашу функцию $f(\beta)$ можно определить как наименьший ординал мощности $2^{|\beta|}$, где $|\beta|$ - мощность ординала $\beta$. Но она через арифметику ординалов, по-моему, не определяется. И она не только разрывна в том смысле, как Вы заметили. Она, вообще говоря, даёт ординалы не любой мощности, но описать её без дополнительных теоретико-множественных гипотез типа обобщённой континуум-гипотезы нельзя. Например, если очень хочется, можно считать, что $f(\omega_0)=\omega_{10}$, лишь бы это не противоречило другим подобным предположениям. Например, должно быть $f(\omega_1)\geqslant f(\omega_0)$, но будет ли между ними равенство или строгое неравенство - это другая гипотеза. Однако нельзя предполагать, что $f(\omega_0)=\omega_{\omega_0}$, это будет противоречить свойствам континуума. А $f(\omega_0)=\omega_{\omega_0+1}$ - вполне законное значение.

Но Вы это, вероятно, найдёте в книжке Куратовского и Мостовского...

[epros]

Someone писал(а):

Вы можете понимать $\omega_1$ как множество всех счётных (и конечных )ординалов.

Это надо обдумать. Пока я не представляю себе, как с этим объектом можно работать. Мне вообще обороты типа "множество всех..." представляются неочевидными, а когда речь идёт об ординалах, для записи которых даже общей формулы нет...

Someone писал(а):

Как Вы уже могли заметить, всякие счётные построения, осуществляемые внутри этого множества, за его пределы не выводят.

Ну, понятное дело, что если результатом построения является счётный ординал, то такое построение по определению не выводит нас за пределы множества всех счётных ординалов.

Someone писал(а):

И если у нас есть последовательность счётных ординалов $\alpha_n$, $n<\omega_0$, то она заведомо все счётные ординалы не содержит: ординал $\beta=\sup\{\alpha_n+1:n<\omega_0\}$ заведомо больше всех $\alpha_n$, $n<\omega_0$, и потому в последовательность не входит. Поэтому не вижу я, как Вы хотите построить требуемую нумерацию.

Обоснование несчётности множества всех счётных ординалов вроде бы понятно.

А вот ранее Вы упоминали о возможности существования несчётных ординалов меньших чем $\omega_1$. (Как я понимаю, это может быть в случае неверности континуум-гипотезы?) Но ведь если $\omega_1$ - множество всех счётных ординалов, то такого не может быть?

Someone писал(а):

Ну, в каждом из нас после знакомства с теорией множеств и понятием мощности сидит убеждение, что мощность является абсолютным понятием, то есть, если уж множество счётно, то оно "всегда" счётно. А теория моделей подкидывает удивительный сюрприз, с которым довольно трудно свыкнуться: мощность множества может зависеть от того, в какой модели его рассматривать.

Меня смущает не столько "релятивизация" понятия счётности, сколько то, что теорема Кантора доказывается без всяких построений моделей, т.е. непосредственно из аксиоматики теории множеств. А потом мы в той же аксиоматике доказываем утверждение о существовании счётной модели теории множеств, которая (модель) содержит все выводы теории множеств - и теорему Кантора в том числе...

Someone писал(а):

Методом вынуждения (или форсинга, как его чаще называют) можно целенаправленно сдвигать кардиналы, строя модели с определёнными соотношениями между кардиналами. Есть довольно сложная книга на эту тему:

П.Дж.Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969.

Там можете найти что-нибудь созвучное своим попыткам, но, повторяю, книга трудная. Сдвиг мощностей осуществляется путём принудительного определения взаимно однозначного соответствия.
Есть ещё

Т.Йех. Теория множеств и метод форсинга. "Мир", Москва, 1973.

Боюсь, что я пока не готов одолеть их. Но интересно.

Someone писал(а):

Тогда Вашу функцию $f(\beta)$ можно определить как наименьший ординал мощности $2^{|\beta|}$, где $|\beta|$ - мощность ординала $\beta$.

Да, именно это я и имел в виду.

Someone писал(а):

Но она через арифметику ординалов, по-моему, не определяется. И она не только разрывна в том смысле, как Вы заметили. Она, вообще говоря, даёт ординалы не любой мощности, но описать её без дополнительных теоретико-множественных гипотез типа обобщённой континуум-гипотезы нельзя. Например, если очень хочется, можно считать, что $f(\omega_0)=\omega_{10}$, лишь бы это не противоречило другим подобным предположениям. Например, должно быть $f(\omega_1)\geqslant f(\omega_0)$, но будет ли между ними равенство или строгое неравенство - это другая гипотеза. Однако нельзя предполагать, что $f(\omega_0)=\omega_{\omega_0}$, это будет противоречить свойствам континуума. А $f(\omega_0)=\omega_{\omega_0+1}$ - вполне законное значение.

А это я не совсем понял. Насколько я понимаю, $|\omega_0| = \aleph_0$, а $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ ? Соответственно, разве наименьший ординал мощности $\aleph_1$ - это не $\omega_1$? Как же тогда может быть $f(\omega_0) = \omega_{10}$ и т.п.?

[Someone]

epros писал(а):

А вот ранее Вы упоминали о возможности существования несчётных ординалов меньших чем $\omega_1$. (Как я понимаю, это может быть в случае неверности континуум-гипотезы?) Но ведь если $\omega_1$ - множество всех счётных ординалов, то такого не может быть?

Нет, это не так. Я даже не могу догадаться, какую из моих фраз Вы могли так истолковать. Я говорил о том, что $\omega_1$ - наименьший несчётный ординал. Кроме того, я говорил, что часто отождествляют кардиналы с наименьшими ординалами соответствующих мощностей, и, в частности, $\aleph_1$ с $\omega_1$ (я, тем не менее, предпочитаю этого не делать и пишу $|\omega_1|=\aleph_1$, хотя, если автор статьи, которую я читаю, напишет $\omega_1$ вместо $\aleph_1$, я протестовать не буду). Наконец, я писал равенство $2^{\aleph_0}=\mathfrac c$, где $\mathfrac c$ - мощность континуума (множества действительных чисел $\mathbb R$). О соотношении $\aleph_1$ и $\mathfrac c$ из аксиом теории множеств следует только неравенство $\aleph_1\leqslant\mathfrac c$. Упомянутая Вами континуум-гипотеза ($[CH]$) выражается равенством $\aleph_1=\mathfrac c$, а её отрицание ($[\neg CH]$) - неравенством $\aleph_1<\mathfrac c$. В случае $[\neg CH]$ на положение $\mathfrac c$ в ряду алефов есть только одно ограничение: континуум нельзя представить как сумму счётного множества меньших мощностей, поэтому в равенстве $\mathfrac c=\aleph_{\alpha}$ ординал $\alpha$ не может быть пределом возрастающей последовательности ординалов $\alpha_0<\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\ldots$, $n<\omega_0$.

epros писал(а):

Меня смущает не столько "релятивизация" понятия счётности, сколько то, что теорема Кантора доказывается без всяких построений моделей, т.е. непосредственно из аксиоматики теории множеств. А потом мы в той же аксиоматике доказываем утверждение о существовании счётной модели теории множеств, которая (модель) содержит все выводы теории множеств - и теорему Кантора в том числе...

Здесь ситуация не такая, как Вы себе представляете. У нас есть теория множеств со своим набором аксиом. Ни о каких моделях никто не говорит, потому что понятие модели теории множеств не принадлежит теории множеств. Теория не может обсуждать свои собственные модели. Теорема Кантора (имеется в виду теорема о том, что множество подмножеств любого множества имеет большую мощность, чем исходное множество) следует из аксиом теории множеств и ни от каких моделей не зависит. Это - теорема теории множеств.
Если мы хотим формализовать теорию множеств, то мы должны определить язык этой теории (алфавит, правила образования термов и формул, правила вывода, список аксиом). Для этого нам нужна другая теория, которая называется метатеорией. В качестве метатеории часто выступает обычный язык, но если мы хотим строить модели теории множеств, то в качестве метатеории мы должны взять какую-то достаточно богатую теорию. В качестве таковой проще всего взять опять же теорию множеств, причём, также в достаточной мере формализованную (это означает, что появляется ещё и метаметатеория, в которой мы будем описывать метатеорию). Будьте здесь внимательны! Хотя теория и метатеория у нас обе называются "теория множеств" и даже, может быть, имеют "одинаковый" (в некотором неформальном смысле) набор аксиом, но это РАЗНЫЕ теории.
В метатеории у нас описан алфавит, термы, формулы и аксиомы теории. Все перечисленные "предметы" являются объектами метатеории, но не самой теории. В метатеории мы и строим модели нашей теории. Если алфавит теории и список её аксиом являются счётными, то, как утверждает теорема Лёвенхейма-Сколема, можно построить модель, которая является (не более чем) счётным множеством метатеории. Но эта теорема не принадлежит нашей теории множеств. Она принадлежит метатеории (является метатеоремой), и никак не может быть сопоставлена с теоремой Кантора, которая принадлежит не метатеории, а самой теории множеств.

Итог: теорема Кантора и теорема Лёвенхейма-Сколема принадлежат разным теориям и относятся к разным объектам, поэтому они никак противоречить друг другу не могут.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Тогда Вашу функцию $f(\beta)$ можно определить как наименьший ординал мощности $2^{|\beta|}$, где $|\beta|$ - мощность ординала $\beta$.

Да, именно это я и имел в виду.
...
А это я не совсем понял. Насколько я понимаю, $|\omega_0| = \aleph_0$, а $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ ? Соответственно, разве наименьший ординал мощности $\aleph_1$ - это не $\omega_1$? Как же тогда может быть $f(\omega_0) = \omega_{10}$ и т.п.?

Нет. $2^{\aleph_0}=\mathfrac c=\aleph_{\alpha}$, где ординал $\alpha$ неизвестен (я писал об этом выше). Равенство $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ означает справедливость континуум-гипотезы. Вы определяете $f(\omega_0)$ как наименьший ординал мощности $2^{|\omega_0|}=2^{\aleph_0}=\mathfrac c=\aleph_{\alpha}$, то есть, $f(\omega_0)=\omega_{\alpha}$ с неизвестным ординалом $\alpha$, а равенство $f(\omega_0)=\omega_1$ равносильно континуум-гипотезе.

[epros]

Someone писал(а):

Нет, это не так. Я даже не могу догадаться, какую из моих фраз Вы могли так истолковать. Я говорил о том, что $\omega_1$ - наименьший несчётный ординал. Кроме того, я говорил, что часто отождествляют кардиналы с наименьшими ординалами соответствующих мощностей, и, в частности, $\aleph_1$ с $\omega_1$ (я, тем не менее, предпочитаю этого не делать и пишу $|\omega_1|=\aleph_1$, хотя, если автор статьи, которую я читаю, напишет $\omega_1$ вместо $\aleph_1$, я протестовать не буду). Наконец, я писал равенство $2^{\aleph_0}=\mathfrac c$, где $\mathfrac c$ - мощность континуума (множества действительных чисел $\mathbb R$). О соотношении $\aleph_1$ и $\mathfrac c$ из аксиом теории множеств следует только неравенство $\aleph_1\leqslant\mathfrac c$. Упомянутая Вами континуум-гипотеза ($[CH]$) выражается равенством $\aleph_1=\mathfrac c$, а её отрицание ($[\neg CH]$) - неравенством $\aleph_1<\mathfrac c$. В случае $[\neg CH]$ на положение $\mathfrac c$ в ряду алефов есть только одно ограничение: континуум нельзя представить как сумму счётного множества меньших мощностей, поэтому в равенстве $\mathfrac c=\aleph_{\alpha}$ ординал $\alpha$ не может быть пределом возрастающей последовательности ординалов $\alpha_0<\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\ldots$, $n<\omega_0$.

Someone писал(а):

Нет. $2^{\aleph_0}=\mathfrac c=\aleph_{\alpha}$, где ординал $\alpha$ неизвестен (я писал об этом выше). Равенство $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ означает справедливость континуум-гипотезы. Вы определяете $f(\omega_0)$ как наименьший ординал мощности $2^{|\omega_0|}=2^{\aleph_0}=\mathfrac c=\aleph_{\alpha}$, то есть, $f(\omega_0)=\omega_{\alpha}$ с неизвестным ординалом $\alpha$, а равенство $f(\omega_0)=\omega_1$ равносильно континуум-гипотезе.

Понятно. Просто я почему-то решил, что $\omega_1$ - это наименьший ординал мощности континуума. Теперь вижу, что ошибался.

Someone писал(а):

epros писал(а):

Меня смущает не столько "релятивизация" понятия счётности, сколько то, что теорема Кантора доказывается без всяких построений моделей, т.е. непосредственно из аксиоматики теории множеств. А потом мы в той же аксиоматике доказываем утверждение о существовании счётной модели теории множеств, которая (модель) содержит все выводы теории множеств - и теорему Кантора в том числе...

Здесь ситуация не такая, как Вы себе представляете. У нас есть теория множеств со своим набором аксиом. Ни о каких моделях никто не говорит, потому что понятие модели теории множеств не принадлежит теории множеств. Теория не может обсуждать свои собственные модели. Теорема Кантора (имеется в виду теорема о том, что множество подмножеств любого множества имеет большую мощность, чем исходное множество) следует из аксиом теории множеств и ни от каких моделей не зависит. Это - теорема теории множеств.

Согласен. Собственно, это полностью совпадает с тем, что я написал.

Someone писал(а):

Если мы хотим формализовать теорию множеств, то мы должны определить язык этой теории (алфавит, правила образования термов и формул, правила вывода, список аксиом). Для этого нам нужна другая теория, которая называется метатеорией. В качестве метатеории часто выступает обычный язык, но если мы хотим строить модели теории множеств, то в качестве метатеории мы должны взять какую-то достаточно богатую теорию. В качестве таковой проще всего взять опять же теорию множеств, причём, также в достаточной мере формализованную (это означает, что появляется ещё и метаметатеория, в которой мы будем описывать метатеорию).

Да, я понимаю, что теорема Лёвенхейма-Сколема - это метатеорема, может быть даже метаметатеорема.

Someone писал(а):

Будьте здесь внимательны! Хотя теория и метатеория у нас обе называются "теория множеств" и даже, может быть, имеют "одинаковый" (в некотором неформальном смысле) набор аксиом, но это РАЗНЫЕ теории.
В метатеории у нас описан алфавит, термы, формулы и аксиомы теории. Все перечисленные "предметы" являются объектами метатеории, но не самой теории.

Да, это тоже полностью соответствует моему пониманию. Мне кажется очевидным, что все эти "вспомогательные объекты", которые нужны только для того, чтобы с их помощью определить модель, в саму модель войти не могут.

Просто есть точка зрения (которую я не разделяю), что в теории уже "изначально есть" все объекты, которые в ней в принципе можно определить. С этой точки зрения теория множеств изначально является "вполне формализованной теорией" и никакие метатеоретические описания алфавита, термов, формул и аксиом ничего к ней не добавляют.

Someone писал(а):

В метатеории мы и строим модели нашей теории. Если алфавит теории и список её аксиом являются счётными, то, как утверждает теорема Лёвенхейма-Сколема, можно построить модель, которая является (не более чем) счётным множеством метатеории. Но эта теорема не принадлежит нашей теории множеств. Она принадлежит метатеории (является метатеоремой), и никак не может быть сопоставлена с теоремой Кантора, которая принадлежит не метатеории, а самой теории множеств.

Итог: теорема Кантора и теорема Лёвенхейма-Сколема принадлежат разным теориям и относятся к разным объектам, поэтому они никак противоречить друг другу не могут.

Я с этим вполне согласен. Моя точка зрения на данный момент такова, что две теории, даже если они совершенно совпадают по языку, по аксиоматике и по правилам вывода, всё равно могут оказаться разными на уровне каких-то интерпретаций всего вышеназванного (языка, аксимоматики и правил вывода).

Меня такая ситуация вполне устраивает, а поэтому я могу понять, что парадокс Сколема, собственно, не сводится к прямому логическому противоречию. Но с другой стороны, мне представляется, что такая интерпретация наносит удар по незыблемости теоретико-множественных оснований математики (которая для кого-то, возможно, является "символом веры"). Получается, что теория множеств зависима от интерпретаций на уровне языка и т.п...

[Someone]

epros писал(а):

Меня такая ситуация вполне устраивает, а поэтому я могу понять, что парадокс Сколема, собственно, не сводится к прямому логическому противоречию.

Ну Вы же вроде согласились, что "противоречащие" друг другу теоремы относятся к разным теориям и никаких контактов между собой на формальном уровне не имеют. Откуда же взяться противоречию? "Противоречие" есть только на уровне бытовой логики, которая сваливает всё в одну бесформенную кучу.

epros писал(а):

Но с другой стороны, мне представляется, что такая интерпретация наносит удар по незыблемости теоретико-множественных оснований математики (которая для кого-то, возможно, является "символом веры"). Получается, что теория множеств зависима от интерпретаций на уровне языка и т.п...

Теория множеств является "основанием" математики исключительно в том смысле, что подавляющая часть математических понятий может быть интерпретирована в терминах теории множеств, то есть, в рамках теории множеств можно построить модели соответствующих объектов. Удобство и полезность этих моделей последовательно убывают по мере того, как мы переходим от теории множеств к топологии, теории пределов, непрерывности, дифференцированию, интегрированию и так далее. В общей алгебре теорией множеств почти не пользуются, предпочитая категорный подход и не заморачиваясь вопросами мощности. Сама теория множеств обоснована нисколько не более, чем любая другая математическая теория.

Что касается зависимости от интерпретации, то что Вас, собственно говоря, удивляет? Все формализованные теории зависимы от интерпретации, включая арифметику натуральных чисел. Вы не слышали о нестандартных моделях арифметики Пеано? Например, с несчётным натуральным рядом.