Числа Фибоначчи и треугольники Герона

[Sandor]

nnosipov в сообщении #579915 писал(а):

То есть, взяв произвольное целое $u$, разложим $u^2-1$ в произведение двух сомножителей одинаковой чётности, после чего по ним найдём $v$ и $w$. Зачем нужна эта груда формул? Тем более, что этот банальный алгоритм не решает поставленной задачи.

Не решает какой поставленной задачи? Уравнения ${\text{u}}^2 + v^2 - w^2 = 1$? Напишите почему?

С уважением: Sándor

[scwec]

Вот две серии решений уравнения $u^2+v^2-w^2=1$.
1. $u=2t^2-1, v=2t, w=2t^2$,
2. $u=t^2+t-1, v=2t+1, w=t^2+t+1$.
$u,v$ можно переставлять местами.
$t$ - целое число.
Но они не дают всех решений.

[Sandor]

scwec в сообщении #580163 писал(а):

Вот две серии решений уравнения $u^2+v^2-w^2=1$.
1. $u=2t^2-1, v=2t, w=2t^2$,
2. $u=t^2+t-1, v=2t+1, w=t^2+t+1$.
$u,v$ можно переставлять местами.
$t$ - целое число.
Но они не дают всех решений.

Метод решения использует транзитивные свойства чисел, поэтому вводится уравнительный одночлен ${\text{r}}{\text{.}}$ Равенство сторон уравнения принципиально возможно при любых натуральных значениях уравнительного одночлена, также при его степенных значениях ${\text{r}}^{\text{n}} ,$ в зависимости от значений переменных. Следовательно, вопрос можно поставить и так: « В уравнениях с четырьмя переменными (и не только), например типа

$$x^2 - y^2 = z^2 - w^2 ,x^2 - y^2 = r^n = z^2 - w^2 ,$$

при каких значениях переменных ${\text{x}}{\text{, y}}{\text{, z}}{\text{, w}}$ уравнительный одночлен приобретает определённые степенные значения ${\text{r}}^{\text{1}} {\text{, r}}^{\text{2}} {\text{, r}}^{\text{3}} , \cdot \cdot \cdot {\text{, r}}^{\text{n}} $”! Безусловно, при ${\text{r}}^{\text{1}} $ получаем все возможные решения уравнения, тк. ${\text{ r}}^{\text{n}} = r_1^1 ,$ при ${\text{ r}}^{\text{2}} {\text{, r}}^{\text{3}} , \cdot \cdot \cdot {\text{, r}}^{\text{n}} - $ частные.

В вопросном уравнении уравнительный одночлен может иметь только первую степень!

Решение конкретного примера:

При произвольном значении $\Psi _{\text{1}} $ из ${\text{N}}$ , допустим $\Psi _{\text{1}} = 315$ , имеем:

$$\Psi _2 = \Psi _1 {\text{ + 2 = 315 + 2 = 317}}{\text{, r = }}\Psi _1 \Psi _2 = 315 \cdot 317 = 98855 = Q_1 Q_2 .$$

Факторизацией значения уравнительного одночлена, получаем возможные значения ${\text{Q}}_{\text{1}} {\text{, Q}}_{\text{2}} $ . В настоящем примере их четыре:

$${\text{r = }}\Psi _1 \Psi _2 = Q_1 Q_2 = 98855 = 1 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 1163,Q_1 Q_2 = 1 \cdot 98855 = 5 \cdot 19771 = 17 \cdot 5815 = 85 \cdot 1163.$$

Определим значения переменных по вариантам:

Первый вариант:${\text{Q}}_{\text{1}} {\text{ = 1}}{\text{, Q}}_{\text{2}} = 98855,$

$$u = \frac{{\Psi _2 + \Psi _1 }}{{\text{2}}} = \frac{{317 + 315}}{{\text{2}}} = 316,$$

$$w = \frac{{Q_2 + Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{98855 + 1}} {{\text{2}}} = 49428,v = \frac{{Q_2 - Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{98855 - 1}}{{\text{2}}} = 49427.$$

Второй вариант: ${\text{Q}}_{\text{1}} {\text{ = 5}}{\text{, Q}}_{\text{2}} = 19771,$

$$u = \frac{{\Psi _2 + \Psi _1 }}{{\text{2}}} = \frac{{317 + 315}}{{\text{2}}} = 316,$$

$$w = \frac{{Q_2 + Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{19771 + 5}} {{\text{2}}} = 9888,v = \frac{{Q_2 - Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{19771 - 5}}{{\text{2}}} = 9883.$$

Третий вариант:${\text{Q}}_{\text{1}} {\text{ = 17}}{\text{, Q}}_{\text{2}} = 5815,$

$$u = \frac{{\Psi _2 + \Psi _1 }}{{\text{2}}} = \frac{{317 + 315}} {{\text{2}}} = 316,$$

$$w = \frac{{Q_2 + Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{5815 + 17}}{{\text{2}}} = 2916,v = \frac{{Q_2 - Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{5815 - 17}}{{\text{2}}} = 2899.$$

Четвёртый вариант: ${\text{Q}}_{\text{1}} {\text{ = 85}}{\text{, Q}}_{\text{2}} = 1163,$

$$u = \frac{{\Psi _2 + \Psi _1 }}{{\text{2}}} = \frac{{317 + 315}} {{\text{2}}} = 316,$$

$$w = \frac{{Q_2 + Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{1163 + 85}}{{\text{2}}} = 624,v = \frac{{Q_2 - Q_1 }}{{\text{2}}} = \frac{{1163 - 85}}{{\text{2}}} = 539.$$

И тд. для всех нечётных и чётных значений $\Psi _{\text{1}} $ , пробегающих по ${\text{N}}$.

С уважением: Sándor

[scwec]

Sandor, так как Вы предлагаете, решать уравнение можно.
Но вопрос стоял о нахождении параметрического решения.
Прочтите внимательно предыдущие сообщения и Вы увидите слово параметризация.
Ваш способ её не даёт.

[Sandor]

scwec в сообщении #580374 писал(а):

Sandor, так как Вы предлагаете, решать уравнение можно.
Но вопрос стоял о нахождении параметрического решения.
Прочтите внимательно предыдущие сообщения и Вы увидите слово параметризация.
Ваш способ её не даёт.

Верно! Но общее непараметрическое решение наводит на отрицательное доказательство существования общего параметрического решения. Из него следует, что уравнение имеет решение при всех значениях ${\text{u }}$ из множества ${\text{N}}$. И любая параметризация ${\text{u }}$, кроме ${\text{u = t + 1}}$, является частной. Например:

$${\text{1/}}{\text{. u = 2t}}^{\text{2}} - 1 = 1,7,17,31,71, \cdot \cdot \cdot ;2/.{\text{u = t}}^{\text{2}} + t - 1 = 1,5,11,19,55, \cdot \cdot \cdot .$$

Однако даже параметризация ${\text{u = t + 1}}$ может привести только к частному решению, так как – согласно непараметрическому общему решению – к каждому фиксированному значению ${\text{u }}$ относится множество значений пар ${\text{w }}{\text{, v }}$. А для их получения требуется различная параметризация переменных ${\text{w }}{\text{, v }}$. Следовательно, общее параметрическое решение не существует!

С уважением: Sándor

[scwec]

Параметров может быть и несколько,т.е. $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n), w=w(t_1,t_2,...,t_n)$.

[Sandor]

scwec в сообщении #581596 писал(а):

Параметров может быть и несколько,т.е. $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n), w=w(t_1,t_2,...,t_n)$.

Допустим, существует параметризация ${\text{u = u}}\left( {{\text{t}}_{\text{1}} ,t_2 , \cdot \cdot \cdot ,t_n } \right)$, генерирующая все значения ${\text{u}} \geqslant {\text{1}}$ из множества ${\text{N}}$. Однако при фиксированном значении ${\text{u }}$ (выбранных значениях ${\text{t}}_{\text{1}} ,t_2 , \cdot \cdot \cdot ,t_n $ ) параметризация ${\text{w = w}}\left( {{\text{t}}_{\text{1}} ,t_2 , \cdot \cdot \cdot ,t_n } \right)$ и параметризация ${\text{v = v}}\left( {{\text{t}}_{\text{1}} ,t_2 , \cdot \cdot \cdot ,t_n } \right)$ может генерировать значения только одной фиксированной пары ${\text{w }}{\text{, v }}$. А к каждому фиксированному значению ${\text{u }}$ относится множество значений пар ${\text{w }}{\text{, v }}$.

С уважением: Sándor

[scwec]

Фиксированному значению $u=u_0$, в принципе, может соответствовать несколько наборов параметров $t_1,t_2,...,t_n$ и, следовательно, несколько пар $w,v$.

[Sandor]

scwec в сообщении #581866 писал(а):

Фиксированному значению $u=u_0$, в принципе, может соответствовать несколько наборов параметров $t_1,t_2,...,t_n$ и, следовательно, несколько пар $w,v$.

Такая параметризация может быть тоже только частной, так как число фиксированных значений ${\text{u = u}}_{\text{0}} $ стремится к бесконечности, число пар ${\text{w }}{\text{, v}}$, относящихся к каждому фиксированному значению ${\text{u = u}}_{\text{0}} $, неизвестное, различное и тоже может стремиться к бесконечности. А это влечёт за собой бесконечное число требуемых наборов параметров ${\text{t}}_{\text{1}} ,t_2 , \cdot \cdot \cdot ,t_n $. Не говоря о том, что общую параметризацию исключает также неизвестное число пар ${\text{w }}{\text{, v }}$, относящихся к каждому фиксированному значению ${\text{u = u}}_{\text{0}} {\text{ }}$.

С уважением: Sándor

[nnosipov]

Sandor в сообщении #582187 писал(а):

Такая параметризация может быть тоже только частной, так как число фиксированных значений ${\text{u = u}}_{\text{0}} $ стремится к бесконечности, число пар ${\text{w }}{\text{, v}}$, относящихся к каждому фиксированному значению ${\text{u = u}}_{\text{0}} $, неизвестное, различное и тоже может стремиться к бесконечности. А это влечёт за собой бесконечное число требуемых наборов параметров ${\text{t}}_{\text{1}} ,t_2 , \cdot \cdot \cdot ,t_n $. Не говоря о том, что общую параметризацию исключает также неизвестное число пар ${\text{w }}{\text{, v }}$, относящихся к каждому фиксированному значению ${\text{u = u}}_{\text{0}} {\text{ }}$.

С таким же успехом Вы можете доказать, что и уравнение $u^2+v^2=w^2$ не допускает полной параметризации. Однако она есть и всем хорошо известна.

[Sandor]

nnosipov в сообщении #582212 писал(а):

С таким же успехом Вы можете доказать, что и уравнение $u^2+v^2=w^2$ не допускает полной параметризации. Однако она есть и всем хорошо известна.

Параметризация уравнения не является полной. Получение всех решений уравнения предполагает – кроме «полной параметризации» – и другие приёмы решения. Например, определение множества пифагоровых треугольников, относящихся к выбранному значению параметра, требует факторизации этого значения. Без факторизации параметризация не приводит к общему решению. В качестве примера полной параметризации служат два варианта scwec, в которых значения параметра без дополнительных приёмов, генерируют соответствующие частные решения. Полная параметризация и общее решение – несвязанные понятия. Подобная «полная параметризация» представима и для решения уравнения ${\text{u}}^{\text{2}} - {\text{1 = w}}^{\text{2}} - {\text{ v}}^{\text{2}} $, при неизбежном использовании итогов его непараметрического общего решения.

Из непараметрического общего решения получаем необходимую информацию:

$${\text{u}}^{\text{2}} - {\text{1 = r}}^{\text{1}} {\text{ = }}\Psi _{\text{1}} {\text{ }}\left( {\Psi _{\text{1}} + 2} \right){\text{ = w}}^{\text{2}} - {\text{ v}}^{\text{2}} = \left( {w - v} \right)\left( {w + v} \right) = Q_{1n} Q_{2n} ,$$

${\text{r}}^{\text{1}} - $ уравнительный одночлен, параметр, $Q_{1n} ,Q_{2n} - $ значения множителей, получаемые факторизацией ${\text{r}}^{\text{1}} $, $\Psi _1 = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot ,n$.

Из уравнения, имеем: $w - v = Q_{1n} ,w = v + Q_{1n} $. Из уравнения ${\text{ r }} = \left( {w - v} \right)\left( {w + v} \right)$, после подстановки, также имеем:

$${\text{ r }} = Q_{1n} \left( {v + Q_{1n} + v} \right) = Q_{1n}^2 + 2vQ_{1n} ,v = \frac{{r - Q_{1n}^2 }}{{2Q_{1n} }},w = \frac{{r - Q_{1n}^2 }}{{2Q_{1n} }} + Q_{1n} {\text{ = }}\frac{{r + Q_{1n}^2 }}{{2Q_{1n} }}{\text{. }}$$

В итоге:

$${\text{u }} = \Psi _1 + 1,{\text{ }}v = \frac{{r - Q_{1n}^2 }}{{2Q_{1n} }},w = \frac{{r + Q_{1n}^2 }}{{2Q_{1n} }}{\text{,}}$$

${\text{r}}^{\text{1}} ,Q_{1n} - $ одинаковой чётности (определение значений ${\text{u }} = \Psi _1 + 1,Q_{1n} $ не имеет отношения к «полной параметризации»!).

При простом значении одночлена ${\text{r}}$ существует одна пара решений $v_1 ,w_1 $, при составном – много пар $v_n ,w_n $, в зависимости от числа и чётности простых множителей ${\text{r}}$.

С уважением: Sándor

[nnosipov]

Sandor, Вы так и не поняли, о какой задаче идёт речь. И, судя по Вашим бредовым текстам, вряд ли поймёте.

[scwec]

Возвращаясь к числам Фибоначчи и треугольникам.
Докажите, что произведение четырех последовательных чисел Фибоначчи $F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}$ всегда является конгруэнтным числом.

[scwec]

Видоизменю задачу.
Нужно доказать, что $F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}$ не может быть полным квадратом.

[Батороев]

scwec в сообщении #575591 писал(а):

По моему общего решения для $u^2+v^2-w^2=1$ так и не было найдено. Если бы оно было, то через него и решение исходного уравнения известно.
Или я ошибаюсь, и соответствующая параметризация существует?

Не совсем уловил, в чем сложность параметризации данного уравнения?
Стоит переписать:
$u^2-1=w^2-v^2$
и перед нами открывается представление в виде разности квадратов некоего числа $N=a\cdot b=c\cdot d$, такого, что $a=b\pm2$, а $c, d$ либо оба четные, либо оба нечетные.
Cоответственно: $u=\dfrac {a+b}{2}$, $w=\dfrac{c+d}{2}$, $v=\dfrac {c-d}{2}$.
Таким образом, перебирая $a$, выявляем $b,c,d$. Вот пожалуй, и вся параметризация.