Задача на идеалы и смежные классы

[Joker_vD]

AV_77
Ну понятно, что в евклидовом кольце НОД определен с точностью до умножения на единицу, и в общем случае выбрать из них какой-то один нет никаких оснований. Но в кольцах многочленов над полем это сделать можно.

Naatikin в сообщении #587041 писал(а):

нормированный многочлен - старший коэфициент равен 1?

Да.

Naatikin в сообщении #587041 писал(а):

$x^2+2$ не принадлежит $F^*$? почему нормированный многочлен в $F^*$ только 1?

Давайте еще раз и сначала. Что такое $F^*$? И откуда берутся коэффициенты у нашего многочлена $g(x)$?

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #587044 писал(а):

Давайте еще раз и сначала. Что такое $F^*$?

абелева группа по умножению, из ненулевых элементов поля.
коэффиценты для $g(x)$ берутся из $F$.

-- 20.06.2012, 00:16 --

$F$ бесконечномерное, тогда получается, что обратные элементы это только 1? потому как я не знаю обратного элемента для $x$ при умножении.

[Joker_vD]

Я никак не могу понять, какой миф у вас сидит в голове, поэтому мне так сложно его разрушить. Есть поле $F$ — то есть некоторое множество, элементы из которого можно складывать, вычитать, умножать и делить. Есть кольцо многочленов $F[x]$ — множество сумм вида $a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$, где $x$ — закорючка, $a_i\in F$, а операции определены известным вам образом. Мы берем многочлены $f(x),g(x)\in F[x]$ и ищем их общий делитель: такой многочлен $d(x)$, что для каких-то $q_1(x),q_2(x)\in F[x]$ выполняется $f(x)=d(x)q_1(x)$, $g(x)=d(x)q_2(x)$. Потом из всех этих делителей выбирается наибольший: общий делитель $d(x)$ называется наибольшим, если любой общий делитель $f(x),g(x)$ является так же и делителем $d(x)$.

У $x$ нету обратного, потому что его степень $=1$, степень единицы $=0$, а при переменожении многочленов над полем их степени складываются: гипотетический обратный имел бы степень $-1$, но таких многочленов не бывает.

P.S. "Бесконечномерное поле"? Что это и как из этого следует, что обратимые элементы — это только $1$?

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #587078 писал(а):

"Бесконечномерное поле"? Что это и как из этого следует, что обратимые элементы — это только 1 ?

бесконечное поле.
я хотел сказать, что $x$ не имеет обратного элемента, поэтому он не входит в $F^*$.
Да и все полиномы степени больше 1 не входят в $F^*$, т.е. $F^*$ это только числа.

-- 20.06.2012, 01:09 --

Ещё вопрос НОД для двух полиномов может принимать рациональные значения?

[Joker_vD]

Господи, да $x\notin F$. $x^2+1\notin F$. И так далее.

Naatikin в сообщении #587082 писал(а):

Ещё вопрос НОД для двух полиномов может принимать рациональные значения?

Только в том смысле, что у взаимно-простых многочленов НОД равен единице. У всех остальных многочленов НОДом является многочлен ненулевой степени. Многочлен. Ненулевой степени. То есть не элемент из $F$ вообще ни разу.

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #587088 писал(а):

Господи, да . . И так далее.

$F^*$

[Joker_vD]

$F^*=F\mathbin{\diagdown}\{0\}$.

[Naatikin]

полиномы в НОДе ведь должны быть нормированными?

-- 20.06.2012, 09:31 --

нашёл - задача отыскания НОД двух произвольных многочленов сводится к задаче отыскания НОД примитивных полиномов.

-- 20.06.2012, 09:47 --

НОД$(x, x+1)=1$ и $ x, x+1 \in F$. какой обратный элемент к x?

[Joker_vD]

Naatikin
Что с вами произошло? Вы же вроде более-менее разбирались в предмете, и вдруг какую-то совершенно левую околесицу начинаете нести. Для нахождения $\text{НОД}(f(x),g(x))$ ни $f(x)$, ни $g(x)$ не обязаны быть нормированными. А та фраза из Википедии про "задача отыскания НОД двух произвольных многочленов сводится к задаче отыскания НОД примитивных полиномов" относится к задаче отыскания НОД в $\mathbb Z[x]$ которая к вашей задаче абсолютно никаким боком не причастна.

-- Ср июн 20, 2012 09:50:13 --

$x,x+1\in F$ — это что у вас за поле $F$ такое? Поделитесь.

[Naatikin]

а разве не может быть поле полиномов? вроде все условия выполняются

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #587176 писал(а):

а разве не может быть поле полиномов?

Впервые слышу. Расскажите? У обычных людей полиномы образуют кольцо.

[Naatikin]

ведь полиномы по сложению могут образовать целостное кольцо, а по умножению они коммутативны и любой не нулевой элемента имеет обратный по сложению

в $F^*$ находятся рацональные числа?

-- 20.06.2012, 10:13 --

мб я определения неправильно понимаю

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #587185 писал(а):

ведь полиномы по сложению могут образовать целостное кольцо, а по умножению они коммутативны и любой не нулевой элемента имеет обратный по сложению

Ну да. И что? Это еще не поле, в поле каждый ненулевой элемент имеет обратный по умножению.

Naatikin в сообщении #587185 писал(а):

в $F^*$ находятся рацональные числа?

В $F^*$ находятся все-все элементы поля $F$ за исключением нуля и больше ничего.

[Naatikin]

насчёт элементов $F$ и $F^*$ я понял.
но вот НОД$(x, x+1)=1$ и $x, x+1 \in F[x]$. какой обратный класс у $(x+(x+1))$?

[Joker_vD]

Он сам, $x+(x+1)$.

-- Ср июн 20, 2012 10:35:00 --

Это очевидно, если вы найдет "канонический" представитель: $x+(x+1)=-1+(x+1)$; а обратный к $-1$ всегда она сама.