Задача на идеалы и смежные классы

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #586085 писал(а):

$F^*$ это мультипликативная группа поле без нуля, а тогда если доказывать от противного - нужно предположить что НОД равен 0, это выполняется если оба элемента равны 0.

Строго говоря, НОД определен на множестве целых чисел, а на классах вычетов не определен (хотя его там можно определить красиво).

Ладно, пусть это верно. Тогда что мы таким образом доказали для $\mathbb{Z}_7^{\times}$?

[Naatikin]

$a\cdot b\ne0(\mod 7)$

[Naatikin]

для $Z_{10}$ взаимнообратные элементы: 1-9, 2-8, 3-7,4-6,5-5.
тогда $a+10 \in Z/Z_{10}$ если НОД$(a,10) \in Z^*$
$ab+10c = Z^* \Longleftrightarrow ab =Z^{*} (\mod 10)$, следовательно должен существовать противоположный $a=b^{-1}Z^{*} (\mod 10)$

-- 18.06.2012, 10:17 --

какой обратный элемент для $x^2+2$ в поле $F$?

[Naatikin]

придумал такое доказательство от противного: пусть НОД=0, тогда $g(x)b(x)=0(\mod f(x))$ и следовательно обратного элемента нет для $g(x)$. Получем противоречие и следовательно НОД не может быть 0, тогда подходит всё поле кроме 0.

[Joker_vD]

Ну хорошо, вот вам $f(x)=x^2+2x+1$ над полем $\mathbb F_3$, какой многочлен является обратным для $g(x)=x+1$ в кольце $\mathbb F_3[x]/(f(x))$?

[Naatikin]

$x+1$ обратен сам себе вроде

[Joker_vD]

Naatikin
"Вроде"? Вы умножать, что ли, разучились? Если сам себе обратный — так продемонстрируйте.

[Naatikin]

я не прав - посчитал, единичный элемент 0, а это 1.
тогда обратный к $x+1$ - это $x+2$. Перемножим их получим $x^2+2x+2$ и поделим по модулю $x^2+2x+1$ получим 1. так?

[Joker_vD]

Нет, не так. $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, остаток от деления будет $x+1$.

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #586806 писал(а):

Вы умножать, что ли, разучились?

да(

[Naatikin]

мб его нет?

[Joker_vD]

Да, его действительно нет, и быть не может: если бы $ax+b$ был обратным к нему, то

$$0=(ax+b)0=(ax+b)(x^2+2x+1)=(ax+b)(x+1)^2=\bigl((ax+b)(x+1)\bigr)(x+1)=1(x+1)=x+1.$$

[Naatikin]

полагаю ваше доказательство можно применить в задаче, но я не знаю как. можно ещё наводящих вопросов?

[Joker_vD]

Все доказательство — уже есть в самом первом сообщении Sonic86 и моем самом первом. Ну хорошо, пойдем с самого начала.

Есть класс $g(x)+(f(x))$, вы ищете класс $s(x)+(f(x))$ такой, чтобы $(g(x)+(f(x)))\cdot(s(x)+(f(x)))=1+(f(x))$. Перепишите это равенство в терминах элементов кольца $F[x]$.

[Naatikin]

что значит в терминах элемента кольца?