Составить функцию Лагранжа (из Ландау/Лифшица)

[AN-kun]

Здравствуйте. Такой вопрос. Читаю Теормех по Ландау/Лифшицу, самое начало. В конце главы примеры. Нужно составить функцию Лагранжа. Застрял на задачке где декартовы координаты выражаются явно через время. Далее сама задача:

Как получается переход от уравнений координат к самой функции, такой ответ никак не выходит. Я беру производную по углу маятника и по времени, надо как-то по-другому? Примечание после задачи тоже непонятно, откуда взялись такие члены. Помогите пожалуйста.

[lek]

Здесь все верно. Приведите подробно (в TeXe) ваши вычисления. Тогда понятно будет, где ошибка. Кстати, "члены, зависящие от только времени" это слагаемое $m(a\gamma)^2/2-mga\sin\gamma t$.

[AN-kun]

Ну сначала я беру производную:
$x'=-a\gamma\sin \gamma t+l\varphi'\cos \varphi $
$y'=-a\gamma\cos \gamma t-l\varphi'\sin \varphi $

Дальше возвожу в квадрат каждую сумму:
$x'^2=l^2\varphi'^2\cos^2 \varphi -2a\gamma l\varphi' \sin \gamma t \cos\varphi +a^2\gamma^2\sin^2 \gamma t$
$y'^2=l^2\varphi'^2\sin^2 \varphi +2a\gamma l\varphi' \cos \gamma t \sin\varphi +a^2\gamma^2\cos^2 \gamma t$

Дальше складываю квадраты производных и умножаю на m/2, потом уже добавляю потенциальную энергию. Но мне кажется ошибка уже где-то здесь, в тех вычислениях, что я привел.

[lek]

Да нет, пока все верно. Складывайте и затем используйте формулу для синуса разности...

[Munin]

Здесь, вроде, нет, приводите дальше. Что у вас получается в сумме квадратов? Производную по $t$ принято обозначать точкой (в TeX $\dot{...}$), чтобы легко отличать её от производных по другим переменным (у вас здесь их целый мешок, если не использовать точку, то надо всё честно указывать).

[AN-kun]

$\dot{x}^2+\dot{y}^2=l^2\dot{\varphi}^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi) + a^2\gamma^2(\sin^2\gamma t+\cos^2\gamma t) +2l\dot{\varphi}a\gamma\sin(\varphi-\gamma t)$
Вот дальше так...

[lek]

Теперь запишите выражение для функции Лагранжа (заметьте, что сумма квадратов синуса и косинуса равна 1).

[AN-kun]

Потенциальная энергия:
$mga\sin\gamma t + mglcos\varphi$
Первый член можно опустить, тк не зависит от обобщенной координаты.

[lek]

Все так (только минус перед первым членом). Теперь возьмите производную от времени от $mal\gamma\cos(\phi-\gamma t)$ и добавьте (прибавьте или отнимите, догадайтесь как надо!) ее к функции Лагранжа (поскольку последняя определена с точностью до полной производной по времени от произвольной функции, такая операция законна). Что получилось?

[AN-kun]

Кинетическая энергия:
$m/2l^2\dot{\varphi}^2+ml\dot{\varphi}a\gamma\sin(\varphi - \gamma t)$

-- 19.06.2012, 21:38 --

Что дальше делать и как не понятно, поидее ведь надо просто сложить две энергии?

[lek]

Не сложить, а вычесть! Напишите итоговое выражение для функции Лагранжа (то, что у вас получилось) и затем сделайте то, о чем я говорил в предыдущем посту. Кстати, исправьте выражение для кинетической энергии (неаккуратно записали!).

[AN-kun]

$L=(m/2)l^2\dot{\varphi}^2+(m/2)a^2\gamma^2+ml\dot{\varphi}a\gamma\sin(\varphi-\gamma t) -mga\sin(\gamma t)+mgl\cos\varphi$

И к этому выражению я должен прибавить ту производную, про которую вы говорили, те:
$mal\gamma^2\sin(\varphi-\gamma t)$

[lek]

Производную по времени от $mal\gamma\cos(\phi-\gamma t)$ вы нашли неверно. Это сложная функция (от времени) и в результате должно получиться 2 слагаемых.

[AN-kun]

Понятно, тогда так получается?
$mal\gamma^2\sin(\varphi-\gamma t) - mal\gamma\dot{\varphi}\sin(\varphi-\gamma t)$

[lek]

Отлично! Добавляете это выражение к функции Лагранжа и получаете функцию $L+f(t)$, где $L$ - функция Лагранжа ЛЛ.