Асимптотическая плоскость

[svv]

Shtorm

(Оффтоп)

Shtorm писал(а):

Я честно говоря, тоже хотел написать статью по асимптотическим плоскостям, но перед этим посоветоваться и спросить разрешения (взять в соавторы) Алексея К., ИСН, ewert, АКМ, и т.д.

И меня... это... в соавторы... можно?
Я хоть и не помогал Вам в этом вопросе, но я человек хороший, правда!

А я Вас за это тоже как-нибудь в соавторы запишу, и да процветает наше содружество!

[Алексей К.]

svv,

раз уж Вы, наконец, подключились, прокомментируйте мою идею. Или "идею".
Уж Вы-то не только Эвклидову ДГ знаете, а во всяких прочих умеете ковыряться. Небось, даже семимерное пространство для Вас --- г.в.

Я типо подумал, что ежели заданную поверхность $x,y,z(u,v)$ преобразовать в

$$\xi(u,v)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2},\quad \eta(u,v)=\text{аналогично},\quad \zeta(u,v)=\text{аналогично},$$

(ну Вы понимаете, как оно называется), то вместо кучи ewert'овых бесконечностей

ewert в сообщении #580923 писал(а):

уж слишком много там разных бесконечностей.

мы получим кучу (возможно) точек (0,0,0) на новой поверхности. И каждая бывшая асимптотическая плоскость превратится в сферу. И как бы мне почудилось, что это проще исследовать. Как бы для каждой нулевой точки $\xi,\eta,\zeta(u,v)$ сосчитать кривизны нормальных сечений, и потребовать, чтобы все они были одинаковы (или частично одинаковы, в каком-то диапазоне углов; соотв., и плоскость будет "частично асимптотической").

Короче, вопросы:
(1) Это я придумал лишь от того, что не умею изучать асимптотику на бесконечностях, и предпочитаю всё в ноль загнать? Профессионал так поступать не будет?
(2) Попытка определить такую соприкасающуюся сферу будет (по геморройности) эквивалентна несостоявшейся попытке определения асимптотической плоскости?

Ну, я спрашиваю в предположении, что Вы всю эту хрень сразу ощущаете, и не будете брать stylo и долго исследовать вопрос... А если это гениально, то сами напишите статью. И поскорее. А то ТС разузнает, как это преобразование называется, и...

[svv]

Так я сюда за сливками только.
OK, подумаю.
Кстати, мне до спеца ещё... Мои познания -- справочники, Википедия.

[Shtorm]

svv в сообщении #585296 писал(а):

Так я сюда за сливками только.

Да нальём и сливок и молока и статьи напишем в соавторстве. Главное - познать истину.

svv в сообщении #585296 писал(а):

OK, подумаю.

Очень ждём.

svv в сообщении #585296 писал(а):

Кстати, мне до спеца ещё... Мои познания -- справочники, Википедия.

Ну тогда начнём со справочников: В справочниках упоминается "Асимптотическое направление" и как раз используется понятие нулевой нормальной кривизны. В современных справочниках (советских и российских) нет понятия "Асимптотическая плоскость", зато есть "Асимптотическое направление". А в древолюционной энциклопедии Ефрона и Брокгауза есть понятие "Асимптотическая плоскость". Так вот Вам вопрос, svv, не подменяет ли одно понятие другое?

[svv]

Читаю, дошёл до третьей страницы.
А Вы остановились на каком-то определении? И на каком?
(сам не знаю, к кому обращен вопрос; возможно, ответы разных участников будут разными)

[Shtorm]

svv в сообщении #585371 писал(а):

А Вы остановились на каком-то определении? И на каком?

Мы всё время модифицировали определения, искали в них изъяны. На данный момент времени, изначальное моё определение, скорректированное, звучит так:

"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии по поверхности в бесконечность. Причём расстояния от всех точек этой линии до плоскости одинаковы, и линия не образована пересечением рассматриваемой поверхности и асимптотической плоскости. Причём на поверхности может лежать только часть этой линии, достаточная для исследования."

И поскольку, такое определения состоит из многих уточнений, изначально данное определение Алексея К., скорректированное, смотрится предпочтительнее:

"Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует такое семейство параллельных плоскостей $N \perp P$, что прямая, образованная пересечением любой плоскости семейства $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением той же $N$ и $S$."

Естественно, после внимательного изучения становится понятно, что в некоторых частях поверхности это семейство плоскостей становится очень ограниченным или даже вообще вырождается в одну плоскость. Поэтому, я так думаю, Алексей К. дал опредление асимптотической плоскости через нормальную кривизну.

[svv]

Я возьму определение, которое дал Алексей К. Но не потому, что он Алексей К., а Вы Shtorm. А вот почему.

Давайте считать для простоты, что плоскость, которую надо проверить на асимптотичность, -- это плоскость $z=0$. Всегда ведь можно так выбрать систему координат, а определение от выбора СК зависеть не должно.
Так как Вы указываете, что расстояния от всех точек линии до плоскости одинаковы, но линия не есть пересечение плоскости и поверхности, значит, Ваша линия образована пересечением поверхности и другой плоскости $z=\operatorname{const}\neq 0$. Можно без потери общности считать, что $z>0$.
Я понял, что линия может быть лишь частью пересечения поверхности и другой плоскости, хорошо.

Теперь устремим $z$ к нулю. Я понимаю, что Вам хочется, чтобы линия пересечения начала по всем направлениям отступать от оси $Oz$. Ну, или, по крайней мере, вести себя понятным образом. Но тут же куча вариантов. Линия эта может быть не связной, а состоять из множества кусков, и это типичный случай. Допустим даже, куски замкнутые. При изменении $z$ куски эти могут появляться, исчезать, сливаться, разделяться и Бог знает что ещё. Чтобы наглядно себе это представить, посмотрите на горизонтали на топографической карте и как будет меняться их форма при изменении высоты.

При такой картине я совершенно не понимаю, как можно силком заставить линию пересечения поверхности и другой плоскости удаляться в бесконечность, чтобы посмотреть, что при этом будет происходить с высотой. Операция "определённое $z\to$ определённая форма линии", по крайней мере, определена, обратная же операция -- никак.

Ну вот у Вас есть Джомолунгма, и на высоте 7000 метров её окружает линия сложной формы, не факт, что состоящая из одного куска. Что надо сделать, чтобы эту линию удалить в бесконечность с сохранением одинаковости высоты по всей линии? А ведь эта операция должна быть определена для любой поверхности+плоскости, мы ведь только проверяем асимптотичность.

[Shtorm]

svv, я Вас понял. Но не означает ли это, что если при удалении линии в бесконечность, форма этой линии скачет так, что высота меняется - то и асимптотической плоскости нет? А если не скачет - то асимптотическая плоскость (А.П.) есть?...Хм...пока писал, сам тут подумал, а ведь может быть асимптотическая поверхность такая вся холмистая? То есть, хоть поверхность и холмистая, но постепенно приближается к некоторой плоскости, которая и будет А.П. Как наподобие, функция $y=e^{-x}\sin(x)$ на плоскости, вся такая холмистая, а приближается к прямой $y=0$. Тогда надо моё определение либо забраковывать полностью, либо корректировать. Спрашивается, а почему я так к нему привязался? Так ведь из него же выводятся формулы, для нахождения асимптотической плоскости, которые я там выше написал. Я правда не выводил их, а написал по аналогии с асимптотой в двухмерке.

[Shtorm]

формулы, которые я там выше написал

[Алексей К.]

(Оффтоп)

svv в сообщении #585371 писал(а):

Читаю, дошёл до третьей страницы.

svv, видит Бог, в мои планы не входило так глубоко Вас впутывать в это дело.
(Когда однажды мне реально захотелось впутать Вас, я явно об этом написал )

Shtorm в сообщении #584500 писал(а):

но перед этим посоветоваться и спросить разрешения (взять в соавторы) Алексея К., ИСН, ewert, АКМ, и т.д.

Мне кажется, надо взять в соавторы кого-то из администрации форума. Площадку-то они создали...

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #585656 писал(а):

(Оффтоп)

Мне кажется, надо взять в соавторы кого-то из администрации форума. Площадку-то они создали...

(Оффтоп)

Да без проблем Главное найти истину в данном вопросе. Так сказать дойти до логического конца.

Кстати, я тут подумал: если поверхность вся такая холмистая и при этом приближается к асимптотической плоскости - то уже нормальные кривизны не равны нулю. Или я не прав?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #585681 писал(а):

Кстати, я тут подумал: если поверхность вся такая холмистая и при этом приближается к асимптотической плоскости - то уже нормальные кривизны не равны нулю. Или я не прав?

Для обсуждения нормальных кривизн нужно нормальное определение асимптотической плоскости.
Соответственно, при нынешних определениях можно обсуждать только ненормальные кривизны.

[svv]

Алексей К.
Первое впечатление: да, пожалуй, что так проще. Инверсия сводит исследование некоторого глобального свойства поверхности к исследованию некоторого локального (дифференциального) свойства другой поверхности. А это проще.

[Shtorm]

svv,
а вообще говоря я всё же прихожу к выводу, что если поверхность имеет асимптотическую плоскость, то на бесконечности, все овраги, холмы и изломы должны уплощаться - то есть исчезать, в итоге оставляя ровную плоскость.

Вот например $z=\frac {\sin(x)+\sin(y)}{xy}$



имеет множество скал и глубоких оврагов, но при уходе на бесконечность всё это исчезает:


Что отрадно заметить, "мои формулы" и сопутствующие гипотезы работают. Конечно, тогда нужно моё определение доработать каким-то образом, например, написать, что расстояние от всех точек линии до плоскости равны лишь на бесконечности. Можно было бы взять определение Алексея К. с перпендикулярными плоскостями, но как тогда выводить формулы, ведь необходимо рассмотреть стремление к бесконечностям по х и по y, а для этого нужно брать другие перепендикулярные плоскости, а в них уже не всегда будет появляться асимптота.
Алексей К., ну естественно, что при таких условиях на бесконечности - даже невооружённом глазом видно, что все нормальные кривизны будут равны нулю. Ну хорошо, а как из определения, данного через нормальные кривизны вывести формулы для нахождения коэффициентов уравнения асимптотической плоскости?

[ИСН]

Shtorm, так нельзя. У всякого человека, включая присутствующих, знания конечны, но остальные как-то чувствуют свои границы. Я не возьмусь, например, человеку резать аппендицит, потому что понятно, что вышла бы хрень. Но Вы-то почему полагаете, что можете делать выводы на основании одной случайной формулы и плохо построенного графика?