Вы имеете в виду, что эти множества предбазу образуют?
Почему предбазу? Базу.
Тогда получается, что была дана база топологии (или предбаза), а не сама топология.
Указание окрестностей всех точек - это один из стандартных способов задания топологии. Прямое определение топологии (семейства всех открытых множеств) - дело обычно весьма нетривиальное.
Просто я привык, что "окрестность точки" и "открытое множество, содержащее точку" - одно и то же.
Если топология уже задана, то Вы можете определить открытую окрестность точки как любое открытое множество, содержащее эту точку. Но если топология пока не определена, и Ваша задача - определить эту какую-нибудь топологию, то откуда взять это самое "одно и то же"?
Один из способов определения топологии - это указание окрестностей точек. У нас имеется некоторое множество

. Мы для всех точек

определяем непустые семейства

подмножеств множества

, удовлетворяющие следующим аксиомам.
O1. Если

, то

.
O2. Если

и

, то существует такое

, что

.
O3. Если

и

, то существует такое

, что

.
Элементы семейства

,

, называются
открытыми окрестностями точки

.
Далее можно определять всякие топологические понятия, используя эти окрестности. Например, множество

называется
открытым, если для каждой точки

существует такая окрестность

, что

.
Легко проверить, что в обсуждаемом примере из учебника Колмогорова и Фомина указанные выше три аксиомы выполняются.